Matematica $C^3$– Matematica dolce 5 - licei - accessibile

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Daniele Zambelli.

Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli .

Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini .

Dimitrios Vrettos.

Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli .

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Versione del documento: 8.0.0 del 27 agosto 2021.

Stampa edizione 2021: agosto 2021.

ISBN 9788899988074

Dati tecnici per l’adozione del libro a scuola

Titolo: Matematica $C^3$, Matematica dolce 5 - licei - accessibile -2021.

Codice ISBN: 9788899988074

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2021.

Prezzo pdf:  0,00.

Formato: ebook (pdf).

Funzioni: continuità e limiti

Continuità

Spesso per analizzare un fenomeno, e la funzione che lo rappresenta, lo si valuta in vari punti di un intervallo $\left[a;~b\right]$ durante il quale si svolge.

Considerando i valori di $f$ in un numero finito di punti non si può dire di conoscere appieno le caratteristiche del fenomeno, ma, se è sufficientemente regolare, può darsi che i valori nei punti considerati diano già un’idea del fenomeno con una buona approssimazione.

Tanto è maggiore il numero dei punti considerati, tanto più ricca è l’informazione che si ricava.

Non solo, ma si possono fare delle considerazioni, più o meno attendibili, sull’andamento globale del fenomeno confrontando a due a due i valori rilevati.

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Se la funzione è poco regolare, tracciare solo i punti corrispondenti ad alcuni valori può servirci poco.

Sono infinite le funzioni che passano per quell’insieme di punti. Se inoltre nel grafico ci sono dei salti, come nel secondo grafico in $x_4$ e $x_7$, risulta difficile tracciarla basandosi solo sui punti individuati, anche aumentando il loro numero.

Abbiamo detto che la curva deve essere “sufficientemente regolare”, ma cosa significa essere sufficientemente regolare?

Nella prossima sezione parleremo di un certo tipo di regolarità molto importante che è la continuità di una funzione in un intervallo.

Definizione di continuità in un punto

Intuitivamente possiamo dire che una funzione è continua in un intervallo se è rappresentata da una linea senza interruzioni e salti

Per precisare questo concetto, partiamo da definire cos’è una funzione continua in un punto interno al suo insieme di definizione.

Diremo che una funzione è continua in un punto $c$ non isolato, se è definita in $c$ e, quando $x$ è infinitamente vicino a $c$, allora $f(x)$ è infinitamente vicino a $f(c)$,

e si scrive $f$ è continua nel punto $c$ se: $\forall x \approx c \quad f(x) \approx f(c)$

oppure: $\forall \varepsilon\approx 0 \quad f(c + \varepsilon) \approx f(c)$

oppure: $\forall \varepsilon\approx 0 \quad f(c + \varepsilon) - f(c) \approx 0$

o ancora: $~~\text{se }~~ \mathop{\mathrm{st}}\left( x \right) = c \quad\text{allora}\quad \mathop{\mathrm{st}}\left( f(x) \right) = f(c)$

Data la funzione $f(x)=-x^2+5$ dimostrare che $f(x)$ è continua in 1.

La funzione è continua in 1 se per ogni $x$ infinitamente vicino a 1 $f(x)$ è infinitamente vicino a $f(1)$,
cioè se $\forall \varepsilon\quad f(1 + \varepsilon) - f(1) \approx 0$ Dimostrazione $$\begin{aligned} f(1+\varepsilon) - f(1) &= -\left( 1+\varepsilon \right)^2+5-\left( -1^2+5 \right)=\\ &={-1}-2\varepsilon-\varepsilon^2 {+5}~ {+1}~{-5} = \\ &=-2\varepsilon-\varepsilon^2 = \varepsilon\left( -2 - \varepsilon \right)\end{aligned}$$

Ora, il prodotto tra un infinitesimo e un finito è un infinitesimo, quindi, se la distanza tra $x$ e $1$ è infinitesima, anche la distanza tra $f(x)$ e $f(1)$ è infinitesima.

Esercizi

Esercizi dei singoli paragrafi

1.1

[ese:03.1] Ricavare dal grafico della funzione rappresentata le seguenti caratteristiche:

dominio;

punti di discontinuità e loro classificazione;

asintoti.

[ese:03.1] Individua e classifica gli eventuali punti di discontinuità, in $\mathbb{R}$, delle seguenti funzioni:

2

1. $y = \dfrac{3 + x}{x^4 + 3 x^3}$

2. $y = \dfrac{5}{3 + 5^{\frac{1}{x}}}$

3. $y = \dfrac{3 x - 3}{x^2 - 1}$

4. $y = \dfrac{1}{3^{\frac{1}{x}}-1}$

5. $y = \dfrac{x - 4}{x^2 - 16}$

6. $y = \dfrac{6}{2^{\frac{1}{x-3}} + 4}$

[ese:03.1] Determina per quale valore di $k$ le seguenti funzioni sono continue:

1. $y=\begin{cases} 0 & \mbox{se } x \leqslant 1 \\ x^2-2x+1 & \mbox{se } 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ 3x+k & \mbox{se } x > 3 \end{cases}$

2. $y=\begin{cases} x^2-2x+k & \mbox{se } x \leqslant 0 \\ \dfrac{2x-6}{x+3} & \mbox{se } x > 0 \end{cases}$

3. $y=\begin{cases} kx-2 & \mbox{se } x < 1 \\ \dfrac{k}{x+1} & \mbox{se } x \geqslant> 0 \end{cases}$

[ese:03.1] Studia la continuità delle seguenti funzioni e poi rappresentale:

1. $f(x)=\begin{cases} -x^2+3 & \mbox{se } x < 0 \\ e^x+2 & \mbox{se } x \geqslant 0 \end{cases}$

2. $f(x)=\begin{cases} 1-2^x & \mbox{se } 0 \leqslant x < 1 \\ -\sqrt{x} & \mbox{se } 1 \leqslant x \leqslant 4 \end{cases}$

3. $f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{se } x \leqslant -1 \\ 2x+3 & \mbox{se } -1 < x < 0 \\ 4 & \mbox{se } x \geqslant 0 \end{cases}$

[ese:03.1] Studia la continuità delle seguenti funzioni e poi rappresentale:

2

1. $y = x+\dfrac{1}{x}$

2. $y = \dfrac{xe^x}{\sqrt{2x-1}}$

3. $\dfrac{x^3+1}{x^2}$

4. $\dfrac{x^2+4}{x-1}$

[ese:03.1] Disegnare il grafico di una funzione che abbia le seguenti caratteristiche:

è definita in $\left( -\infty;~-1 \right) \cup \left( -1;~0 \right) \cup \left( 0;~+1 \right) \cup \left( +1;~+\infty \right)$;

ha come asintoti verticali solo le rette $x= -1;~x=0;~x=1$;

ha come asintoto orizzontale la retta $y=0$;

è positiva per $-1<x<0 \quad e \quad x>1$;

è simmetrica rispetto all’origine.

[sec:cont_limiti]

[ese:03.1] Calcola i seguenti limiti:

2

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \left( x^2-4x+2 \right)$ $\left[ -1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left( 4x^2-5x+8 \right)$ $\left[ +7 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \left( 7x^2+3x+5 \right)$ $\left[ +9 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} \left( 3x^2+2x+6 \right)$ $\left[ +14 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2-4x+2}{x-1}$ $\left[ -2 \right]$

[ese:03.1] Calcola i seguenti limiti:

2

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \left( x^2-4 \right)$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-4x}{2x^2+3x}$ $\left[ -\frac{4}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^3}{\left( x+1 \right)^2}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\left( x+1 \right)^2 \left( x-1 \right)}{x^3+1}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-2x^2+x}{2x^3+x^2-2x}$ $\left[ -\frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2+2x+3}{\left( x-1 \right)^2}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4-4x^3+x^2}{x^3+x^2+x}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+x^2-2}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left( x+1 \right)^2}{2-x}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^2-3x+2}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x+2x^{-1}}{x+4x^{-1}}$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-3x+2}{x^2-2x}$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)$ $\left[ -1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-2x}$ $\left[ \frac{3}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2+5}{x^2-3}$ $\left[ 9 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{3x^4-4x^3+1}{\left( x-1 \right)^2}$ $\left[ 6 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x+6}{x^3+8}$ $\left[ \frac{1}{4} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x-1}$ $\left[ 3 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}$ $\left[ -\frac{2}{5} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-2x+1}{x^3-x}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2+7x-44}{x^2-6x+8}$ $\left[ \frac{15}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^3-5x+4}{x^3-1}$ $\left[ -\frac{2}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ $\left[ 4 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ $\left[ 4 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{1}{x^2-1}-\frac{2}{x^4-1} \right)$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

[ese:03.1] Calcola i seguenti limiti:

2

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-1}{2x^2+1}$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3+x^2-4}{2x^3+x+11}$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^2+2x-1}{x^3-x+2}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x^3}{x^2+2}-x \right)$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x-4}{3x^2-2x+5}$ $\left[ \frac{1}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{x^2+6x-9}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x^2+x-1}{2x^2-x+1} \right)^3$ $\left[ \frac{1}{8} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+2x+1}{5x}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3+x^4-1}{2x^5+x-x^2}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left( \sqrt{x^2+1}+x \right)^2}{\sqrt[3]{x^6+1}}$ $\left[ 4 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^6+7x^4-40}{1-x-5x^7}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}{3x^2+6x-5}$ $\left[ \frac{1}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{3x^2+2x+1}{x^2-3x+2} \right)^4$ $\left[ 81 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{5x^3-x^2+x}{1-x-3x^2}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1+x-3x^3}{1+x^2+3x^3}$ $\left[ -1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \left( \frac{x^3-8}{x^4+16} \right)^10$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)}{x^4+x-11}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{8x-2x^5+x^6}{11x+5x^3+3x^5}$ $\left[ -\infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{2x+1} \right)$ $\left[ \frac{1}{4} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^2-\frac{x^4-1}{x^2-2} \right)$ $\left[ -2 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left( x-1 \right)^{100}\left( 6x+1 \right)^{200}}{\left( 3x+5 \right)^{300}}$ $\left[ \left( \frac{4}{3} \right)^{100} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[4]{x^5}+\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[6]{x^8}} {\sqrt[3]{x^4+2}}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)} {2x^2\left( 5x-8 \right)\left( x+6 \right)}$ $\left[ \frac{3}{5} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{2x^8+8x^6+6x^4}{4x^8-x^6+12x^4} \right)^5$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

[ese:03.1] Calcola i seguenti limiti:

2

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{3x}$ $\left[ \frac{1}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ $\left[ -1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-25}$ $\left[ \frac{1}{40} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-5x^2+3x+9}$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{27-\sqrt{x^3}}$ $\left[ \frac{1}{27} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$ $\left[ \frac{2}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{2}{3}}-1}{x^{\frac{2}{5}}-1}$ $\left[ \frac{10}{9} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt[n]{x}}{1-\sqrt[m]{x}}$ $\left[ \frac{m}{n} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x-2}-\sqrt{x} \right)$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2-x}-x \right)$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \left( \sqrt{x^2-x}-x \right)$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x-3}-\sqrt{x} \right)$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}\left( \sqrt{x-3}-\sqrt{x} \right)$ $\left[ -\frac{3}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x\left( \sqrt{x^2+1}-x \right)$ $\left[ \frac{1}{2} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x\left( \sqrt{x^2+1}-x \right)$ $\left[ -\infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2+1}-x \right)$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \left( \sqrt{x^2+1}-x \right)$ $\left[ \infty \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}-5}$ $\left[ 1 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-9}}{6x}$ $\left[ \frac{1}{3} \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+9}-\sqrt{x^2-9}}{6x}$ $\left[ 0 \right]$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x-1}-2x}{x-7}$ $\left[ -2 \right]$