MATEMATICA C3

MATEMATICA DOLCE 1 - LICEI Testo per il primo biennio
della Scuola Secondaria di II grado
Numeri naturali

Versione accessibile Edizione - 2022

Matematica C3 Matematica dolce 1 - licei

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Coordinatori del Progetto: Daniele Zambelli.

Autori: Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.

Hanno Collaborato: Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.

Progettazione e Implementazione in LaTeX: Dimitrios Vrettos, Daniele Zambelli.

Collaboratori: Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli.

Collaborazione, commenti e suggerimenti: Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica Dolce o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi a daniele.zambelli@gmail.com.

Versione del documento: 10.0.0del 31 agosto 2022.

Stampa edizione 2022: agosto 2022.

ISBN 9788899988005

DATI TECNICI PER LADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

Titolo: Matematica C3, Matematica dolce 1 - licei -2022.

Codice ISBN: 9788899988005

Editore:

Anno di edizione: 2022.

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Formato: ebook (PDF).

Indice

Numeri naturali
 1.1 L’origine dei numeri
 1.2 I numeri naturali
 1.3 Cosa sono
 1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale
  1.4.1 Rappresentazione geometrica
 1.5 Confronto tra numeri naturali
 1.6 Operazioni con i numeri naturali
  1.6.1 Funzioni
  1.6.2 Proprietà delle operazioni
  1.6.3 Addizione in N : (N; +)
  1.6.4 Sottrazione in N : (N; )
  1.6.5 Moltiplicazione in N : (N; ×)
  1.6.6 Divisione in N : (N; : )
  1.6.7 Proprietà distributiva
  1.6.8 Potenza in N : (N; )
  1.6.9 Operazioni inverse
  1.6.10 Tabella dei nomi e simboli
 1.7 Espressioni numeriche
  1.7.1 Soluzione con grafo ad albero
  1.7.2 Metodo sequenziale
 1.8 Espressioni con un buco
  1.8.1 Soluzione con grafo ad albero
  1.8.2 Soluzione sequenziale
 1.9 Divisibilità e numeri primi
  1.9.1 Quoziente intero e resto
  1.9.2 Algoritmo della divisione in N
  1.9.3 Divisori, numeri primi, numeri composti
 1.10 Scomposizione in fattori primi
  1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero
  1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale
 1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo
 1.12 Esercizi
  1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi
  1.12.2 Esercizi riepilogativi

Capitolo 1
Numeri naturali

1.1 L’origine dei numeri

L’origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamo documenti sufficienti per capire come l’uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana. Sono stati ritrovati reperti fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delle incisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Osso di Ishango” 1 in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congo tra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino dei numeri o dei calcoli. L’osso risale a circa 20 000 anni fa.

Possiamo immaginare che i pastori per contare i capi del proprio gregge, facessero delle tacche su dei bastoni mano a mano che le pecore entravano nel recinto una alla volta: una tacca per ogni pecora. Tuttavia, questo metodo di associazione uno ad uno (una tacca per una pecora) non è efficace per greggi, o gruppi di oggetti, di grandi dimensioni. Si immagini, per esempio, la difficoltà di tracciare cinquecento tacche su un bastone.
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È possibile allora che, per rappresentare numeri grandi, si siano cominciati a usare simboli specifici che richiamassero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regole per associare questi simboli.

Sappiamo per certo che circa 6 000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sulla pietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10:

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Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 3673 così:

PIC

I Romani per rappresentare i numeri usavano sette lettere maiuscole: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Il numero MM rappresenta 1000 + 1000 = 2000; il numero VI rappresenta 5 + 1 = 6, mentre il numero IV rappresenta 5 1 = 4.

Nel medioevo si diffuse anche in Italia, e poi in Europa, la notazione usata dagli arabi di allora che a loro volta l’avevano appresa dagli abitanti dell’India. Non fu un passaggio facile: le cifre arabe richiesero alcuni secoli per essere accettate dagli europei e soppiantare i simboli romani.

1.2 I numeri naturali

I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone si chiamano numeri naturali

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

L’insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera N.

Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie? Evidentemente il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti i gruppi formati da 5 oggetti. Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a sé stante, un oggetto astratto di tipo matematico.

Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto cardinale del numero), vengono usati anche per rappresentare l’ordine con cui si presentano gli oggetti, (aspetto ordinale), l’ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo, secondo, terzo, …

Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli e nonostante l’umanità li usi da tempi antichissimi, una loro piena comprensione non è semplice, come dimostra il fatto che ancora oggi ci siano dei problemi aperti relativi a questi numeri. Il dibattito su cosa sono i numeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del XX secolo, quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tanti altri. Oggi ci sono diversi punti di vista.

1.3 Cosa sono

I numeri naturali sono alla base dell’aritmetica, tutti gli altri numeri si possono costruire a partire da questi. Tutti noi abbiamo una idea di cosa siano i numeri naturali e, in generale, in questo testo ci riferiremo a questa idea ingenua di numeri naturali.

Ci sono diversi modi per definirli a partire da concetti più primitivi come, ad esempio, gli insiemi o da assiomi. Di seguito sono presentati gli assiomi di Peano2 che permettono di definire i numeri naturali a partire da due concetti primitivi e da 5 assiomi, cioè affermazioni su cui siamo d’accordo.

I concetti primitivi per definire i numeri naturali sono:

Lo zero è il numero che serve per contare gli elementi di un gruppo con il minore numero di oggetti possibile: un gruppo vuoto.

Il successore di un numero naturale n è quel numero che viene subito dopo n e che rappresenta il numero di oggetti di un gruppo quando se ne aggiunge uno.

Le seguenti affermazioni possono quindi individuare i numeri naturali:

1.
Zero è un numero naturale.
2.
Per ogni numero naturale, anche il suo successore è un numero naturale.
3.
Numeri diversi hanno successori diversi.
4.
Lo zero non è successore di nessun numero naturale.
5.
Se una proprietà vale per lo zero e, valendo per un numero naturale qualsiasi, vale anche per il suo successore, allora vale per ogni numero naturale.

In pratica i numeri naturali sono la sequenza:

zero, uno, due, tre, …, centoventitre, centoventiquattro, …

Un modo comodo per esprimere qualunque numero naturale è usare dei segni appositi, le cifre, e un sistema per rappresentarli:

0, 1, 2, 3, …, 123, 124, …

1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale

Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero può essere rappresentato da una sequenza ordinata di cifre, anche ripetute.

Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra. Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: un’asta vuota rappresenta la cifra zero, aggiungendo dischetti possiamo arrivare alla cifra 9 e così abbiamo riempito tutta un’asta. Se vogliamo aggiungere ancora un dischetto, svuotiamo tutta l’asta e ne mettiamo uno sull’asta più a sinistra. Il numero successore del nove viene così rappresentato da un uno seguito da uno zero.

I dischetti sull’ultima asta rappresentano il numero 9; un dischetto sulla penultima rappresenta il numero dieci: 10. Un dischetto sulla terzultima rappresentare il numero cento: 100. In questo modo possiamo rappresentare tutti i numeri.

Le potenze di 10 sono importanti nel sistema decimale poiché rappresentano il peso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti.

Tre dischetti nella terza asta rappresentano tre centinaia, cioè il numero 3 102 = 300. Il numero 479 significa quattro centinaia più sette decine più nove unità: 4 102 + 7 10 + 9.

Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è:

1.4.1 Rappresentazione geometrica

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l’origine della semiretta, i numeri aumentano allontanandosi dall’origine e si deve scegliere un segmento che rappresenti un passo unitario. Partendo dall’origine, a ogni passo si va al numero successivo.

.012345678911u..01nità

Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L’insieme N ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo.

1.5 Confronto tra numeri naturali

I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che ci si allontana dall’origine. L’origine e la freccia indicano chiaramente in quale verso i numeri crescono. Noi, in generale disponiamo la semiretta in modo che i numeri crescano da sinistra a destra.

Ogni numero è minore del suo successore. Questa proprietà si può estendere anche al successore del successore e al successore del successore del successore ….

Tra i numeri naturali possiamo individuare una relazione di equivalenza: ‘essere uguale indicata dal simbolo “=”. Questa relazione ha le seguenti proprietà:

1.
riflessiva: a = a;
2.
simmetrica: se a = b allora b = a;
3.
transitiva: se a = b e b = c allora a = c;

Tra i numeri naturali possiamo individuare una relazione d’ordine: essere minore o uguale indicata dal simbolo “”. Questa relazione ha le seguenti proprietà:

1.
riflessiva: a a;
2.
antisimmetrica: se a b allora b a;
3.
transitiva: se a b e b c allora a c;

Tra i numeri naturali possiamo riconoscere le seguenti relazioni d’ordine:

Principio 1.1 (di tricotomia): Dati due numeri naturali n e m vale sempre una delle seguenti tre relazioni:

n < m,n = m, n > m

1.6 Operazioni con i numeri naturali

Possiamo vedere le operazioni matematiche come dei meccanismi, delle regole, che associano ad alcuni oggetti matematici, detti operandi, un altro oggetto matematico, il risultato.

Di seguito riprendiamo rapidamente le prime cinque operazioni aritmetiche nei numeri naturali.

1.6.1 Funzioni

Prima di affrontare le operazioni introduciamo uno dei concetti più importanti nella matematica moderna: il concetto di funzione.

Definizione 1.1: Chiamiamo funzione un qualunque procedimento che, a partire da alcuni oggetti che sono gli argomenti, ne produce uno che è il risultato della funzione.

Anche le operazioni aritmetiche possono essere viste come particolari funzioni. Sono delle funzioni binarie perché hanno due argomenti e, ovviamente, un risultato.

Data l’importanza delle funzioni e il loro uso in molti contesti diversi, vengono anche usati molti modi diversi per rappresentarle. Di seguito ne vediamo alcuni dove applichiamo la rappresentazione al caso dell’addizione.

risultato = f unzione (parametro1; parametro2 )
somma : (addendo1; addendo2 ) addendo1 + addendo2

Possono essere usate anche delle rappresentazioni grafiche:

Funzione rappresentata con grafi

faarurringgsuz12ltato
fuaarnrrizggsultato|
---12-----

Rappresentazioni dell’espressione:

7 + 5 = 12

a751d2d

|--|
ad751d2-

Una funzione può anche essere definita in un linguaggio di programmazione (nel caso seguente usiamo Python):

def add(parametro_1, parametro_2): 
   return parametro_1 + parametro_2

Interpretazione di queste due righe di programma:

“add”

è il nome della funzione;

“parametro_1” e “parametro_2”

sono i parametri della funzione;

il risultato dell’espressione che segue la parola “return”

è il risultato della funzione;

“def” e “return”

sono delle parole riservate del linguaggio Python.

Il risultato della funzione può essere visualizzato con la seguente istruzione:

print(add(5, 7))

“print”

è un comando per visualizzare qualcosa sullo schermo;

“5” e “7”

sono gli argomenti della funzione.

La funzione “add” ha due parametri (“parametro_1” e “parametro_2”) e, per eseguirla, dobbiamo passarle due argomenti (“5” e “7”).

Oservazioni 1.1: 

1.6.2 Proprietà delle operazioni

Prima ancora di affrontare le operazioni aritmetiche con i numeri naturali, vediamo le proprietà delle operazioni in generale. In generale vuol dire che ora non stiamo a precisare né di quale insieme numerico parliamo, né di quale operazione. Quindi useremo delle lettere per indicare operandi e risultato mentre, per l’operazione, useremo un simbolo diverso da quelli delle quattro operazioni. Un’operazione che indicheremo con il simbolo :

1.
si dice legge di composizione interna se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi;
2.
gode della proprietà associativa se per ogni a, b e c: (a b) c = a (b c);
3.
possiede un elemento neutro se esiste un elemento u tale che per ogni a: a u = u a = a
4.
possiede un elemento assorbente se esiste un elemento z tale che per ogni a: a z = z a = z
5.
possiede elemento inverso se per ogni elemento a dell’insieme, esiste un elemento a dell’insieme per cui a a= a a = u dove u è l’elemento neutro;
6.
gode della proprietà commutativa se per ogni a e b: a b = b a.

Vediamo ora alcune operazioni con i numeri naturali, le loro proprietà e le strutture algebriche sui naturali.

1.6.3 Addizione in N : (N; +)

L’addizione è collegata all’operazione concreta di aggiungere gli elementi di un gruppo di oggetti agli elementi di un altro gruppo per poi considerarli riuniti in un unico gruppo.

Definizione 1.2 (Addizione): Dati due numeri naturali nm, l’addizione associa quel numero s, che si ottiene partendo da n e procedendo verso i successori m volte. Si scrive n + m = s.

Gli operandi dell’addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

Ad esempio: sommare 5 a 3 significa partire da 3 e spostarsi verso il successore per 5 volte.

3 + 5 = 8
.01234567893812345..|
---
3+8aasoddddm+eemnna5dodo

Funzione addizione

L’addizione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

|-----|-|
aaasdddodddmeemnnaddoo12-

|--|
ad751d2||
----

Proprietà dell’addizione

Per come è definita, e dato che il successore di un numero naturale è un numero naturale, la somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che l’addizione nei numeri naturali presenta le seguenti proprietà:

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica (N; +) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano3)

1.6.4 Sottrazione in N : (N; )

La sottrazione è collegata all’operazione concreta di togliere degli oggetti da un gruppo di oggetti.

Definizione 1.3 (Sottrazione): Dati due numeri naturali mn, la sottrazione associa quel numero naturale d, se esiste, che aggiunto ad n dà come somma m.

Si scrive m n = d.

Il primo operando si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza.

Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.

7 5 = 2 perché 2 + 5 = 7
|-|
.01234567897212345..-
7−2msdiotif−ntrfueae5nenreddnooza

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.

Se consideriamo solo numeri naturali non è sempre possibile trovare la differenza tra due numeri. Ad esempio, la differenza tra 5 e 7 non è un numero naturale, infatti se partendo dal 5 andiamo indietro di 7 posizioni usciamo dalla semiretta dei numeri naturali.

|-|
.01234567891234567.5?.

Questo corrisponde al fatto che se ho solo 5 oggetti non ne posso togliere 7!

Si può osservare allora che in N la sottrazione a b è possibile solo se a b.

Funzione sottrazione

Nei naturali la sottrazione è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale solo se il minuendo non è minore del sottraendo:

|---------|
sumsdbiointfutr feaenerdnenodzoa-|
-----------

|-|
su752b-

Oservazioni 1.2: 

Proprietà della sottrazione

La sottrazione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali dato che alcune sottrazioni non danno come risultato un numero naturale.

Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti a 0 = a, ma in generale non si può fare 0 a.

Una proprietà interessante della sottrazione, e molto utile nei calcoli, è:

Definizione 1.4 (Proprietà invariantiva della sottrazione): aggiungendo o togliendo ad entrambi i termini di una sottrazione la stessa quantità, c, la differenza non cambia.

a b = (a c) (b c) = (a + c) (b + c)

1.6.5 Moltiplicazione in N : (N; ×)

La moltiplicazione è legata all’azione di contare oggetti disposti in uno schieramento rettangolare.

Definizione 1.5 (Moltiplicazione): Dati due numeri naturali mn, l’operazione di moltiplicazione associa il numero p che si ottiene aggiungendo a 0 n addendi uguali a m:

m ×n = 0 + m + m + + m n volte = p

Gli operandi della moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto.

Ad esempio: moltiplicare 3 per 4 volte significa partire da 0 e aggiungere 3 per 4 volte.

3 4 = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 4 volte = 12
3×1ffp2aar×ttttodooo4reretto

Funzione moltiplicazione

La moltiplicazione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

|-------|
mpufafarlttottdoooreret12to--
|--|
mu341l2-

Proprietà della moltiplicazione

Dato che per eseguire una moltiplicazione ripeto delle addizioni, anche il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è una legge di composizione interna ai naturali e presenta le seguenti proprietà:

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica (N; ×) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano).

Un’altra importante proprietà che utilizzeremo spesso anche in seguito è:

Principio 1.2 (di annullamento del prodotto): il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se e solo se almeno uno dei fattori è nullo.

a b = 0 a = 0oppureb = 0

Questa legge dice che se il risultato di una moltiplicazione è zero di sicuro almeno uno dei fattori deve essere zero. Attenzione: questa proprietà non vale per tutti gli insiemi numerici in cui è definita la moltiplicazione.

1.6.6 Divisione in N : (N; : )

La divisione è collegata all’operazione concreta di dividere una certa quantità di oggetti in gruppi con lo stesso numero di oggetti.

Definizione 1.6: Dati due numeri naturali mn, con n0, la divisione associa quel numero naturale q, se esiste, che moltiplicato per n dà come prodotto m.

Si scrive m : n = q.

Il primo operando si chiama dividendo e il secondo divisore, il risultato si dice quoziente esatto.

Ad esempio: dividere 12 per 4 significa trovare quante volte il numero 4 è contenuto nel numero 12.

12 : 4 = 3 perché 3 4 = 12
1:3ddq2iiuvivio:dsozienren4detoe

Non sempre si può effettuare la divisione nei numeri naturali ad esempio: 10 : 4 = non è un numero naturale. Se esiste il quoziente esatto tra i numeri m e n, si dice che:

Esempio 1.1: Alcuni esempi:

1.
20 è divisibile per 4 perché 20 : 4 = 5;  4 è un divisore di 20; 20 è un multiplo di 4.
2.
7 è divisore di 35 perché 35 : 7 = 5;  35 è divisibile per 7; 35 è un multiplo di 7.
3.
6 è multiplo di 3 perché 6 = 2 ×3;  6 è divisibile per 3; 3 è un divisore di 6.
4.
5 non è multiplo di 3; non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 dia 5.

Oservazioni 1.3 (Divisione per 0): La divisione per zero non è definita.

Funzione divisione

La divisione è una funzione che ha come argomento una coppia ordinata di numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

diddqvivivuiiodszeoienrendtoe|
----------

|--||
di143v2||

Oservazioni 1.4: 

Proprietà della divisione

Dato che non dà sempre un risultato, la divisione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali.

Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti a : 1 = a, ma in generale non si può fare 1 : a.

L’unica proprietà interessante della divisione è la proprietà

Definizione 1.7 (Proprietà invariantiva della divisione): Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una divisione per la stessa quantità, diversa da zero, il quoziente non cambia4.

1.6.7 Proprietà distributiva

Oltre alle proprietà valide per le singole operazioni, ce n’è una che riguarda due operazioni contemporaneamente, è la proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

Rispetto all’addizione Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.

a (b + c) = a b + a c

(a + b) c = a c + b c

3 (2 + 4) = 3 6 = 18; 3 (2 + 4) = 3 2 + 3 4 = 6 + 12 = 18

(3 + 5) 4 = 8 4 = 32; (3 + 5) 4 = 3 4 + 5 4 = 12 + 20 = 32

Rispetto alla sottrazione In maniera analoga:

a (b c) = a b a c

(a b) c = a c b c

5 (7 4) = 5 3 = 15; 5 (7 4) = 5 7 5 4 = 35 20 = 15

(9 4) 2 = 5 2 = 10; (9 4) 2 = 9 2 4 2 = 18 8 = 10

Proprietà distributiva della divisione

Rispetto all’addizione Solo se le somme sono a sinistra:

(a + b) : c = a : c + b : c
(20 + 10) : 5 = 30 : 5 = 6
(20 + 10) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 = 4 + 2 = 6

Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra: 120 : (3 + 5). Infatti eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente 120 : 8 = 15. Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene 120 : 3 + 120 : 5 = 40 + 24 = 64. Il risultato corretto è solo il primo.

Rispetto alla sottrazione Solo se la sottrazione è a sinistra:

(a b) : c = a : c b : c
(24 18) : 6 = 6 : 6 = 1
(24 18) : 6 = 24 : 6 18 : 6 = 4 3 = 1

Se, però, la sottrazione è a destra:

120 : (5 3) = 120 : 2 = 60120 : 5 120 : 3 = 24 40 = che non ha soluzione inN

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica (N; +; ×) viene chiamata semianello commutativo (o abeliano).

Oservazione 1.1: Nonostante la grande utilità dei numeri naturali e il fascino dei problemi presenti nei naturali che non sono ancora risolti, una struttura a semianello è piuttosto debole: non permette di risolvere neppure equazioni del tipo ax b = 0.

all’addizione,

1.6.8 Potenza in N : (N; )

La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.

Definizione 1.8 (Potenza): Dati due numeri naturali  b  e  e,  non entrambi nulli, l’operazione di potenza associa un terzo numero p che si ottiene moltiplicando 1 per e fattori uguali a b:

Se  b = 0ee = 0benon è definita         altrimentibe = 1 b b b e volte = p

Gli operandi si chiamano base e esponente mentre il risultato si chiama potenza.

2ebp3spao =osetennenza1t×e 2× 2× 2 = 8
        ◟--◝◜--◞
         3 volte
3
2↑8baespospteoneneznate

Funzione potenza

La potenza è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

|-------||
pobepwasposeotenneznate-

|--|
p253o2w-

Proprietà delle potenze

Nei numeri naturali, la potenza è una legge di composizione interna ma non è né associativa, né commutativa. Presenta comunque cinque proprietà importanti perché verranno utilizzate all’interno di altri argomenti che incontreremo in seguito come, ad esempio, nel calcolo letterale e nello studio di funzioni esponenziali e logaritmiche.

1. Il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

am an ap = am+n+p
75 76 73 = 75+6+3 = 714
infatti:
am an = (1 a a a m volte)(1 a a a n volte)(1 a a a p volte) = (1 a a a a a) m+n+p volte = am+n+p

2. Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

am : an = amn
45 : 43 = 453 = 42
infatti:
am : an = am an = 1 a
/  a
/  a
/  a m volte 1 /a  /a  /a  n volte = amn

3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

(am)n = amn
(62)5 = 625 = 610
infatti:
(am)n = 1 am am am n volte = (1 a a a m volte) (1 a a a m volte) (1 a a a m volte) n volte = amn

4. Il prodotto di più potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

an bn cn = (a b c)n
28 58 38 = (2 5 3)8
infatti:
an bn = (1 a a n volte)(1 b b n volte)(1 c c n volte) = 1 (a b c) (a b c) (a b c) n volte = (a b c)n

5. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

an : bn = (a : b)n
64 : 34 = (6 : 3)4
infatti:
an : bn = an bn = 1 a a a n volte 1 b b b n volte = 1 a b a b a b n volte = (a b ) n

Si può vedere come i casi particolari delle potenze con esponente uguale a 0 e uguale a 1 siano in accordo con le proprietà delle potenze.

a0 = ann = an : an = 1 es. : 40 = 433 = 43 : 43 = 64 : 64 = 1
a1 = an(n1) = an : a(n1) = a es. : 81 = 843 = /8  /8  /8  8 /8  /8  /8  = 8

Oservazione 1.2: Alla potenza 00 non si assegna alcun valore perché applicando la definizione di a0 si dovrebbe ottenere 1; applicando la definizione 0a si dovrebbe ottenere 0. Nonostante ciò, in molti linguaggi di programmazione 00 dà per risultato 1.

1.6.9 Operazioni inverse

L’operazione inversa di una certa operazione è quella che permette di calcolare uno degli operandi conoscendo l’altro operando e il risultato.

Esempio 1.2: Completa le seguenti uguaglianze.

Nella prima colonna manca un operando, e nella seconda mancano l’operazione e il risultato che deve essere uguale all’operando mancante.

Operazione Op. inversa
 1. + 3 = 8 perché: 83 =
 2. 6 + = 10 perché: 106 =
 3. 3 = 12 perché: 123 =
 4. 9 = 2 perché: 92 =
 5. 4 = 28 perché: 284 =
 6. 3 = 27 perché: 273 =
 7. : 3 = 12 perché: 123 =
 8. 18 : = 2 perché: 182 =
 9. 4 = 81 perché: =
10. 2 = 32 perché: =

Vediamo ora le cinque operazioni e le loro inverse facendo riferimento all’esempio 1.11.

Addizione:

L’operazione inversa dell’addizione è la sottrazione (vedi punti 1 e 2).

Sottrazione:

La sottrazione non ha un’operazione inversa: per calcolare il minuendo serve un’addizione; per calcolare il sottraendo bisogna operare una sottrazione tra il minuendo e la differenza (vedi punti 3 e 4);
min sott = di f f min = di f f + sott sott = min di f f .

Moltiplicazione:

L’operazione inversa della moltiplicazione è la divisione (vedi punti 5 e 6).

Divisione:

La divisione non ha un’operazione inversa: per calcolare il dividendo serve una moltiplicazione; per calcolare il divisore bisogna operare una divisione tra il dividendo e il quoziente (vedi punti 7 e 8);
divid : divis = quoz divid = quoz divis divis = divd : quoz.

Potenza:

La potenza non ha un’operazione inversa: per calcolare la base si usa la radice; per calcolare l’esponente serve il logaritmo che, a partire dalla base e dal risultato, dà l’esponente (vedi punti 9 e 10);
baseesp = pot base = potesp esp = log basepot.

1.6.10 Tabella dei nomi e simboli

Operazione 1ˇr operando 2ˇr operando risultato simboli
addizione addendo addendo somma +
sottrazione minuendo sottraendo differenza
moltiplicazione fattore fattore prodotto ; ×;
divisione dividendo divisore quoziente : ; ÷; /; x y
potenza base esponente potenza xy; ; ;
radice radicando indice radice xy
logaritmo base argomento logaritmo log xy

1.7 Espressioni numeriche

Spesso in matematica abbiamo a che fare con più operazioni combinate assieme. In questo caso parliamo di espressioni.

Definizione 1.9: Un’espressione aritmetica è un modo per rappresentare una successione di operazioni.

Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue, per esempio: «La vecchia porta la sbarra». Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire, dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le operazioni.

Per esempio, l’espressione 7 + 5 × 2 può valere 24 oppure 17, infatti: se eseguiamo le operazioni da sinistra verso destra otteniamo un risultato, se eseguiamo prima la moltiplicazione ne otteniamo un altro. La regola più semplice sarebbe "eseguire da sinistra a destra", ma i matematici hanno scoperto che risulta più comodo eseguire prima le moltiplicazioni e dopo le addizioni.

Associatività a sinistra: 7+1×224+ 5 ×  2

Precedenza algebrica: 7×1+1 +07 5 × 2

Oservazione 1.3: Alcune calcolatrici, quelle “aritmetiche” svolgono le operazioni man mano che sono inserite, si dice che applicano l’associatività a sinistra. Altre, le calcolatrici “scientifiche” seguono le regole dell’algebra. Esegui la seguente sequenza di operazioni sulla tua calcolatrice (le barre verticali separano i diversi tasti da premere):

|7|+ |5|×|2|= |

Osserva il risultato e confrontalo poi con quello ottenuto dai tuoi compagni. Diverse calcolatrici possono fornire risultati diversi (mai fidarsi delle macchine).

La precedenza algebrica prevede che:

1.
in una espressione senza parentesi si svolgono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni;
2.
le operazioni con la stessa precedenza si svolgono da sinistra verso destra;
3.
se ci sono parentesi, si svolgono prima le espressioni nelle parentesi più interne.

1.7.1 Soluzione con grafo ad albero

I grafi sono disegni formati da punti collegati tra loro da linee. I grafi ad albero sono dei particolari grafi.

Definizione 1.10 (Grafo ad albero): Un grafo ad albero è un disegno formato da punti detti nodi collegati tra loro da linee dette rami dove c’è un solo modo per andare da un nodo ad un altro senza ripassare su un ramo.

In un grafo ad albero si può scegliere un nodo come nodo iniziale, questo nodo si chiama radice la radice è un nodo da cui partono dei rami, a cui non arriva alcun ramo. I nodi da cui non parte alcun ramo si chiamano foglie.

Nell’esempio a fianco, il nodo n0 è la radice, i nodi n2, n3, n5, n6 e n7 sono le foglie, n1 e n4 sono nodi intermedi o semplicemente nodi.

nnnnnnnn02147653

Useremo grafi ad albero per risolvere le espressioni: gli operandi sono le foglie dell’albero, il risultato è la radice. Il movimento, in questo caso, va dalle foglie alla radice (come la linfa discendente. Costruiamo il grafo tenendo conto delle seguenti indicazioni:

Procedura 1.1: Per risolvere un’espressione usando un grafo:

1.
in ogni nodo viene riportata l’operazione eseguita e il risultato;
2.
costruiamo l’albero disegnando ogni nodo esattamente sotto l’operazione corrispondente;
3.
disegniamo le parentesi attorno al nodo che contiene il risultato di tutta un’espressione racchiusa tra parentesi.

Esempio 1.3: 49 [24 ×(14 : 7) + 10] =

Prima realizziamo il grafo ad albero vuoto, ponendo attenzione alla precedenza delle operazioni.

4↑÷()×+[]−9 −  [24 × (14 : 7) + 10] =

Poi eseguiamo le operazioni e scriviamo i risultati negli appositi spazi.

4↑1÷2()×3+4[]−779622 − [24 × (14 : 7) + 10] =

Esempio 1.4: 89 × 85 : (83)4 : [412 : (42)5] + 272 : 92 =

Se per risolvere un’espressione dobbiamo utilizzare le proprietà delle potenze, al posto del simbolo di operazione scriveremo le sigle “p1”, “p2”, …

 9141210222    5    3 4    12    2 5      2   2
8p8p8p4p3p8p4↑9↑6↑1[]÷4+111335224633 × 8  : (8 ) : [4 : (4) ] + 27  : 9 =

1.7.2 Metodo sequenziale

In alcuni casi può non essere comodo, o praticabile, l’uso di un grafo ad albero per risolvere espressioni. Vediamo allora il metodo sequenziale che prevede di copiare tutta o in parte l’espressione rendendola via via più semplice. Possiamo applicare le seguenti indicazioni:

Procedura 1.2: Per risolvere un’espressione in modo sequenziale:

1.
scorriamo tutta l’espressione da sinistra a destra e sottolineiamo tutte le operazioni che si possono eseguire;
2.
riscriviamo l’espressione sostituendo, alle operazioni sottolineate, i loro risultati.

Partiamo da una nuova espressione:

2 + 6 × 2 ÷ [ (4 2) × 32 3 × 5] + (52 + 23 ) ÷ 3 =

Scorrendo l’espressione vediamo che l’operazione 2 + 6 è seguita da una moltiplicazione; poiché la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione, non possiamo eseguire 2 + 6. La prossima espressione che incontriamo è 6 × 2 dato che è seguita da una divisione possiamo eseguirla e quindi la sottolineiamo. Procediamo così sottolineando tutte le operazioni che possiamo eseguire rispettando le precedenze algebriche:

Sottolineo:       2 + 6 × 2̲ ÷ [ (4 2)̲ ×32̲ 3 × 5̲] + (52̲ + 23̲ ) ÷ 3 =

Ricopiamo l’espressione sostituendo al posto delle operazioni sottolineate il loro risultato:

Eseguo:       = 2 + 12 ÷ [2 × 9 15| + (25 + 8) ÷ 3 =

Otteniamo così un’espressione a cui applicare nuovamente i due passi precedenti fino ad averla ridotta ad un numero.

Sottolineo:  = 2 + 12 ÷ [2 × 9̲ 15| + (25 + 8)̲ ÷ 3 = Eseguo:  = 2 + 12 ÷ [18 15| + 33 ÷ 3 = Sottolineo:  = 2 + 12 ÷ [18 15|̲ + 33 ÷ 3̲ = Eseguo:  = 2 + 12 ÷ 3 + 11 = Sottolineo:  = 2 + 12 ÷ 3̲ + 11 = Eseguo:  = 2 + 4 + 11 = Sottolineo:  = 2 + 4̲ + 11 = Eseguo:  = 6 + 11 = 17

Nell’ultimo passaggio, essendo rimasta una sola operazione, è inutile sottolinearla. Avremmo anche potuto risolvere con un passaggio in meno calcolando assieme le due addizioni:

= 2 + 4 + 11 = 17

Esempio 1.5: Possiamo confrontare i due metodi applicati alla stessa espressione:

Con un albero:

 23     2         2   2
[↑2↑2p5↑2×5−2()−223755505  − (5 ×  2 − 10  : 2 ) =

Con il metodo sequenziale:

33̲ (52̲ × 2 102 : 22̲ ) =
= 27 (25 × 2̲ 52̲ ) =
= 27 (50 25̲) =
= 27 25̲ =
= 2

1.8 Espressioni con un buco

A volte potrà succedere che, nell’espressione, manchi un numero. Conoscendo il risultato possiamo trovare il numero mancante.

1.8.1 Soluzione con grafo ad albero

Procedura 1.3: Per trovare l’operando mancante usando il grafo ad albero:

1.
costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili;
2.
con un colore diverso scriviamo il risultato nella radice e completiamo il grafo risalendo fino al numero mancante.

È più difficile da immaginare che da fare…vedi l’esempio.

Esempio 1.6: Nella seguente espressione manca un esponente:

[4 × 5 + 16 : 2 (13 2) × 2] : 2 = 9

Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Usando un colore diverso, scriviamo nella radice il risultato dell’espressione.

Ora poniamo attenzione al nodo vuoto che precede il risultato, il nodo contrassegnato dalla stella. Dobbiamo trovare il numero che diviso per 2 dia come risultato 9. È facile: il numero cercato è 18. Scriviamo allora 18 in questo nodo e poniamo l’attenzione a quello che lo precede.

[4×2÷8↑+2−()×−[]÷9⋆08× 5 +  16 : 2 − (13 − 2...) × 2] : 2 = 9

                         ...
[×2÷8↑+2−()×−[]÷91⋆4088 × 5 + 16 : 2 − (13 − 2 ) × 2] : 2 = 9

Ora dobbiamo trovare quel numero che tolto da 28 dia come risultato 18. Anche questo è facile da trovare: è 10.

Lo scriviamo e ci spostiamo sul nodo precedente. Procedendo in questo modo possiamo risalire fino al dato mancante.

Il numero che moltiplicato per 210 è 5.

Partendo da 13 per ottenere 5 devo togliere 8.

Infine, l’esponente da dare a 2 per ottenere 8 è 3.

[4×2÷8↑+2−()×−[]÷9115830880× 5 +  16 : 2 − (13 − 2...) × 2] : 2 = 9

Esempio 1.7: Se c’è un “buco” in una espressione da risolvere con le proprietà delle potenze, si procede allo stesso modo:

(34)3 × 3 : (33)5 23 × 2 ×(20 3 × 5) = 1

Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Rimangono vuoti tutti i nodi che collegano la radice all’elemento mancante. Usando un colore diverso, a partire dalla radice, completiamo il grafo. Scriviamo nella radice il risultato dell’espressione, e poniamo attenzione al nodo vuoto che lo precede.

 1215243     ...   3 5    3
(p3p3p8×1p↑1−5()p↑⋆×8−1333251620 ) ×  3 : (3 ) − 2  × 2 × (20 − 3 × 5) =  1
  • questo numero meno 80 deve dare come risultato 1: il numero cercato è 81;
  • nel nodo precedente: qui ci va una potenza che deve dare come risultato 81, potrebbe essere 9234, ma dato che sopra posso usare le proprietà delle potenze con base 3, conviene usare 34;
  • nel nodo precedente: questo esponente meno 15 deve dare come risultato 4, l’esponente qui deve essere 19;
  • e infine: 12 sommato a questo esponente deve dare come risultato 19: il valore mancante è quindi: 7.

1.8.2 Soluzione sequenziale

Procedura 1.4: Per trovare l’operando mancante usando il metodo sequenziale:

1.
risolviamo l’espressione lasciando il buco ogni volta che dobbiamo eseguire un’operazione tra un numero e un buco;
2.
con un colore diverso scriviamo il risultato dopo l’ultima operazione e risaliamo dalla soluzione al dato mancante.

Esempio 1.8:  [4 × 5 + 16 ÷ 2 (13 2 ) × 2] ÷ 2 = 9

Sottolineiamo le operazioni che dobbiamo eseguire, sostituiamo le operazioni sottolineate con il loro risultato o con un buco, poi risaliamo riempiendo i buchi:

  • il numero che diviso per 2 dà 9 è 18;
  • il numero che tolto da 28 dà 18 è 10;
  • il numero che moltiplicato per 2 dà 10 è 5;
  • il numero che tolto da 13 dà 5 è 8;
  • l’esponente da dare a 2 per ottenere 8 è 3.
[4 × 5̲ + 16 ÷ 2̲ (13 2̲ ) × 2] ÷ 2 = 9

[20 + 8̲ (13 )̲ × 2] ÷ 2 = 9

[28 × 2̲] ÷ 2 = 9

[28 ]̲ ÷ 2 = 9

÷ 2̲ = 9

Esempio 1.9:  (34 ) 3 3 ÷ (33 ) 5 23 2 (20 3 5) = 1

Qui possiamo applicare le proprietà delle potenze:

(34 ) 3̲ 3 ÷ (33 ) 5̲ 23 2̲ (20 3 5̲) =

312 3̲ ÷ 315 24̲ (20 15)̲ =

3 ÷ 315̲ 16 5̲ =

3̲ 80 =

80̲ = 1

La risalita non dovrebbe creare problemi.

1.9 Divisibilità e numeri primi

1.9.1 Quoziente intero e resto

La divisione esatta nei numeri naturali, mn, non è sempre possibile: si può fare solo se m è multiplo di n. Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto. La divisione con resto è una funzione che dà due risultati: il quoziente e il resto. Questa è una funzione che ha due argomenti e per risultato una coppia ordinata di numeri.

Definizione 1.11: Dati due numeri naturali mn, con n0, esistono due numeri q e r con 0 r < n tali che:

m = n q + r

q si dice quoziente e r si dice resto della divisione.

Esempio 1.10: 25 : 7

Nella divisione con resto tra 25 e 7 si ha quoziente 3 (infatti 7 ×3 = 21, mentre 7 ×4 = 28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 3 × 7 + 4 = 25).
73224dqdre51ivuoivsiszidtooieerenntedo

Esempio 1.11: Alcune semplici divisioni con il resto:

Un’operazione che dà due risultati a volte è scomoda quindi i matematici hanno ricavato, dalla divisione con resto, due nuove operazioni: la divisione intera e il resto modulo o modulo.

Definizione 1.12: Dati due numeri naturali mn, con n0, la divisione intera m div n è l’operazione che dà il più grande numero naturale q (il quoziente) per il quale si ha

q ×n m

Esempio 1.12: Alcune semplici divisioni intere:

Definizione 1.13: Dati due numeri naturali mn, con n0, l’operazione che restituisce il resto della divisione intera tra mn si chiama modulo di m rispetto a n e viene indicata con m mod n.

Esempio 1.13: Alcuni esempi di resto delle divisioni:

1.9.2 Algoritmo della divisione in N

Ripassiamo l’algoritmo della divisione tra numeri naturali; questo algoritmo risulterà particolarmente utile nel seguito.

   M  C D U               M C D  U              M  C D U
   1  5 2 3 7             1 5 2  3 7            1  5 2 3 7
 - 1  4     2           - 1 4      2 1        - 1  4     2  1 7
      1     C               1 2    C D             1 2   C  D U
                            - 7                    - 7
                              5                      5 3
                                                   - 4 9
pppaaassssssooo123                                                 4

Vediamo assieme i vari passi dell’algoritmo:

1.
Non cisono abbastanza migliaia per dividerle per 7, ma ci sono 15 centinaia. Il 7 nelle 15 centinaia è contenuto 2 centinaia di volte:
2.
riporto a fianco del resto delle centinaia la cifra delle decine, ripeto lo stesso procedimento calcolando quante decine di volte 7 è contenuto in 12 decine e calcolo sotto alle decine il resto ottenuto: 5;
3.
riporto a fianco il numero di unità, ripeto lo stesso meccanismo ottenendo alla fine il resto di unità.

In definitiva, nel 1523 il 7 è contenuto 217 volte con il resto di 4.:
1523 : 7 Q = 217 e R = 4 Infatti: 217 7 + 4 = 1519 + 4 = 1523 e: 4 7

Alcuni altri esempi:

   3  2 7 2 3        1  3 2 9 1  0 7        1 2 5  9 4 3 1  7 1
 - 2  3   1 4      - 1  0 7   1  2        - 1 1 9  7     7  3 6
      9 7               2 5 9                   6  2 4
   -  9 2            -  2 1 4                 - 5  1 3
        5                 4 5                   1  1 1 3
                                              - 1  0 2 6
QQQ === 1174236 RRR===54587                                      8 7

1.9.3 Divisori, numeri primi, numeri composti

Definizione 1.14: Il numero n si dice divisore di m, e m multiplo di n, se il resto della divisione intera è zero:

m mod n = 0

Prima di proseguire, disegna nel quaderno la seguente tabella e completala.

Nella prima colonna scrivi i numeri fino al 50, nella seconda scrivi tutti i divisori di quel numero ordinati dal minore al maggiore, nella terza scrivi quanti sono i divisori.

numero

divisori

numero di divisori
0

tutti i numeri naturali

1

1

1
2

1, 2

2
3

1, 3

2
4

1, 2, 4

3
5

1, 5

2

50

(a)
Quale sarà il prossimo numero con un numero dispari di divisori? (facile)
(b)
Quale sarà il prossimo numero con esattamente 2 divisori? (difficile)

Guardando la tabella dei divisori si può osservare che ogni numero è divisibile per 1 e per se stesso. Poi può avere altri divisori, questi altri divisori si chiamano divisori propri.

Definizione 1.15: Chiamiamo divisore proprio di un numero un divisore diverso dal numero stesso e dall’unità.

Per quanto riguarda il numero dei divisori possiamo anche osservare che due numeri sono particolari:

Dopo queste osservazioni possiamo dare le seguenti definizioni:

Definizione 1.16: Un numero si dice primo se ha esattamente due divisori.

Definizione 1.17: Un numero si dice composto se ha più di due, ma non infiniti, divisori.

Oservazioni 1.5: 

Ma quanti sono i numeri primi? La risposta a questa domanda venne data da Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome:

Teorema 1.3 (di Euclide): I numeri primi sono infiniti.

La dimostrazione è ingegnosa, ma semplice: cercala e presentala ai tuoi compagni.

Criteri di divisibilità

Per vedere se un numero divide un altro basta eseguire la divisione e osservare se si ottiene un resto uguale a zero. Ma questo non sempre è comodo da fare, i matematici hanno scoperto dei trucchi per capire se un numero divide un altro senza dover eseguire la divisione: sono i criteri di divisibilità. Di seguito sono riportati i criteri relativi ai primi numeri naturali.

0: 

Nessun numero è divisibile per 0.

1: 

Tutti i numeri sono divisibili per 1.

2: 

0, 2, 4, 6, 8 sono divisibili per 2 e un numero è divisibile per 2 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 2.

3: 

0, 3, 6, 9 sono divisibili per 3 e un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3.

4: 

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …, 96, sono divisibili per 4 e un numero è divisibile per 4 se e solo se il numero formato dalle sue ultime 2 cifre, è divisibile per 4.

5: 

0, 5 sono divisibili per 5 e un numero è divisibile per 5 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 5.

6: 

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile per 2 e per 3.

7: 

0, 7 sono divisibili per 7 e un numero maggiore di 10 è divisibile per 7 se la differenza, in valore assoluto, fra il numero ottenuto togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è divisibile per 7.
Il numero 273 è divisibile per 7, infatti  |27 2 3| = 21 che è multiplo di 7.
Il numero 887 non è divisibile per 7, infatti  |88 2 7| = 74 che non è divisibile per 7.

8: 

0, 8, 16, 24, 32, …, 200, …, 992, sono divisibili per 8 e un numero è divisibile per 8 se e solo se il numero formato dalle sue ultime 3 cifre, è divisibile per 8.

9: 

0, 9 sono divisibili per 9, e un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero è divisibile per 9.

10: 

0 è divisibile per 10 e un numero è divisibile per 10 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 10.

11: 

0 è divisibile per 11 e un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è un numero divisibile per 11.
Il numero 8261 è divisibile per 11, infatti  |(8 + 6) (2 + 1)| = 11;
Il numero 887 non è divisibile per 11, infatti  |8 (8 + 7)| = 7.

12: 

Un numero è divisibile per 12 se è divisibile per 3 e per 4.

un numero qualunque: 

Un numero a è divisibile per un numero d se e solo se a n d è divisibile per d (dove n è un numero naturale qualsiasi).
Il numero 253 è divisibile per 23 perché 253 10 23 = 253 230 = 23 che è divisibile per 23.
Il numero 1894 è divisibile per 17 se e solo se lo è anche 1894 100 17 = 1894 1700 = 194 che è divisibile per 17 se e solo se lo è anche 194 10 17 = 194 170 = 24. Poiché 24 non è divisibile per 17 non lo sarà neppure 1894.

1.10 Scomposizione in fattori primi

Scomporre in fattori un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali.

Teorema 1.4 (Teorema fondamentale dell’Aritmetica): Ogni numero naturale n > 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.

Per scomporre in fattori primi un numero, per prima cosa lo scomponiamo in due fattori, senza preoccuparci che siano primi, poi scomponiamo i fattori non primi fino ad ottenere solo fattori primi.

1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero

Anche per scomporre numeri possiamo usare un grafo ad albero come è illustrato negli esempi seguenti.

Esempio 1.14: Scomporre in fattori primi il numero 630.

12563273031         630 = 2⋅32⋅5 ⋅7

In generale, un numero può essere scomposto in fattori seguendo percorsi diversi. Per esempio, 630 può essere scomposto attraverso questi alberi diversi:

7712593300         630 = 2⋅32⋅5 ⋅7

7235793052          630 = 2⋅32 ⋅5 ⋅7

Qualunque strada si segua per effettuare la scomposizione, otterremo sempre lo stesso risultato.

1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale

Possiamo anche usare un metodo sequenziale: Sottolinea e scomponi.

Esempio 1.15: Scomporre in fattori primi il numero 1260.

1260̲ = 22 32 5 7

10̲ 126̲

5 2 2 63̲

5 2 2 7 9̲

5 2 2 7 32

1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo

Definizione 1.18: Il massimo comune divisore di numeri naturali ab è il più grande tra tutti i divisori comuni ad ab e si indica con MCD (a,b).

Esempio 1.16: Applicando la definizione, calcola il MCD (18,12) = 6.

I divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
I divisori di 12: 1, 2, 4, 6, 12 I divisori comuni: 1, 2, 6,
il più grande è 6, quindi: MCD (18,12) = 6.

Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente procedura:

Procedura 1.5: Calcolo del MCD di due o più numeri naturali:

(a)
si scompongono i numeri in fattori primi;
(b)
si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con l’esponente minore.

Esempio 1.17: Calcolare: MCD (60,48,36).

Si scompongono in fattori i numeri: 60 = 22 3 5; 48 = 24 3; 36 = 22 32
Fattori comuni con esponente minimo: 22 e 3
Massimo comune divisore: MCD (60,48,36) = 22 3 = 12.

Esempio 1.18: Calcolare: MCD (60,120,90).

Si scompongono in fattori i numeri: 60 = 22 3 5; 120 = 23 3 5; 90 = 2 32 5
Fattori comuni con esponente minimo: 2, 3, 5:
Massimo comune divisore: MCD (60,120,90) = 2 3 5 = 30

Definizione 1.19: Due numeri ab si dicono primi tra loro o coprimi se MCD (a,b) = 1.

Esempio 1.19: Numeri primi tra loro:

Definizione 1.20: Il minimo comune multiplo di due numeri naturali ab è il più piccolo tra tutti i multipli comuni non nulli dei due numeri e si indica con mcm (a,b).

Esempio 1.20: Applicando la definizione, calcola il mcm (6,15).

I primi multipli di 6: 0,6,12,18,24,30̲,36,42,48,54,60,66,
I primi multipli di 15: 0,15,30̲,45,60,75,90,
I multipli comuni non nulli: 30,60,90,
il più piccolo è 30, quindi: mcm (6,15) = 30.

Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente procedura:

Procedura 1.6: Calcolo del mcm di due o più numeri naturali:

(a)
si scompongono i numeri in fattori primi;
(b)
si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore .

Esempio 1.21: Calcolare: mcm (60,48,36).

Si scompongono in fattori i numeri: 60 = 22 3 5; 48 = 24 3; 36 = 22 32
Fattori comuni e non comuni con esponente massimo: 23,32, 5.
Minimo comune multiplo: mcm (60,48,36) = 23 32 5 = 720.

Esempio 1.22: Calcolare il mcm (20,24,450).

Si scompongono in fattori i numeri: 20 = 22 5; 24 = 23 3; 450 = 2 32 52.
Fattori comuni e non comuni con esponente massimo: 23,32,52.
Minimo comune multiplo: mcm (20,24,450) = 23 32 52 = 1800.

Esempio 1.23: Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315cm per 435cm con mattonelle quadrate le più grandi possibile, senza tagliarle. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?

Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.

                  2
56327358323179         341355 == 33⋅⋅55⋅⋅279

La soluzione del problema è data quindi dal MCD (315,435) = 3 5 = 15. Le mattonelle devono avere il lato di 15cm. Ci vogliono 435 : 15 = 29 mattonelle per ricoprire il lato di 435cm315 : 15 = 21 mattonelle per ricoprire il lato da 315cm. In tutto occorrono 29 21 = 609 mattonelle.

1.12 Esercizi

1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi

1.6 Operazioni con i numeri naturali

1.1. Dimostra le seguenti affermazioni:

(a)
La somma di due numeri naturali è un numero naturale.

1.2. Rappresenta con grafi e con un linguaggio di programmazione le seguenti funzioni:

(a)
addizione;
(b)
sottrazione;
(c)
moltiplicazione;
(d)
divisione;
(e)
potenza;
(f)
radice quadrata.

1.3. Rappresenta con grafi le seguenti espressioni:

(a)
57 + 62
(b)
26 7
(c)
25 5
(d)
48 : 3
(e)
43
(f)
49

1.4. Rispondi alle seguenti domande:

(a)
Esiste il numero naturale che aggiunto a 3 dà come somma 6?
(b)
Esiste il numero naturale che aggiunto a 12 dà come somma 7?
(c)
Esiste il numero naturale che moltiplicato per 4 dà come prodotto 12?
(d)
Esiste il numero naturale che moltiplicato per 5 dà come prodotto 11?

1.5. Inserisci il numero naturale mancante, se esiste:

(a)
7 = 1
(b)
3 3 =
(c)
5 6 =
(d)
3 = 9
(e)
15 : 5 =
(f)
18 : = 3
(g)
: 4 = 5
(h)
12 : 9 =

1.6. Vero o falso?

(a)
5 : 0 = 0      V    F
(b)
0 : 5 = 0      V    F
(c)
5 : 5 = 0      V    F
(d)
1 : 0 = 1      V    F
(e)
0 : 1 = 0      V    F
(f)
0 : 0 = 0      V    F
(g)
1 : 1 = 1      V    F
(h)
1 : 5 = 1      V    F
(i)
4 : 0 = 0      V    F

1.7. Se è vero che p = n ×m, quali affermazioni sono vere?

(a)
p è multiplo di n      V    F
(b)
p è multiplo di m      V    F
(c)
m è multiplo di p      V    F
(d)
m è multiplo di n      V    F
(e)
p è divisibile per m      V    F
(f)
m è divisibile per n      V    F
(g)
p è divisore di m      V    F
(h)
n è multiplo di m      V    F

1.8. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

(a)
6 è un divisore di 3      V    F
(b)
3 è un divisore di 6      V    F
(c)
8 è un multiplo di 2      V    F
(d)
5 è divisibile per 10      V    F

1.9. Esegui le seguenti operazioni:

(a)
18 div 3 =
(b)
18 mod 3 =
(c)
20 div 3 =
(d)
20 mod 3 =
(e)
185 div 7 =
(f)
185 mod 7 =
(g)
97 div 5 =
(h)
97 mod 5 =
(i)
240 div 12 =
(j)
240 mod 12 =
(k)
700 div 8 =
(l)
700 mod 8 =

1.10. Esegui le seguenti divisioni con numeri a più cifre, senza usare la calcolatrice

(a)
311 : 22
(b)
429 : 37
(c)
512 : 31
(d)
629 : 43
(e)
755 : 53
(f)
894 : 61
(g)
968 : 45
(h)
991 : 13
(i)
1232 : 123
(j)
2324 : 107
(k)
3435 : 201
(l)
4457 : 96
(m)
5567 : 297
(n)
6743 : 311
(o)
7879 : 201
(p)
8967 : 44
(q)
13455 : 198
(r)
22334 : 212
(s)
45647 : 721
(t)
67649 : 128

1.11. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false indicando la proprietà utilizzata:

(a)
33 : 11 = 11 : 33      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(b)
108 72 : 9 = (108 72) : 9      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(c)
8 4 = 4 8      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(d)
35 10 = 10 35      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(e)
9 (2 + 3) = 9 3 + 9 2      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(f)
80 52 + 36 = (20 13 9) 4      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(g)
(28 7) : 7 = 28 : 7 7 : 7      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(h)
(8 1) : 2 = 8 : 2      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(i)
(8 2) + 3 = 8 (2 + 3)      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F
(j)
(13 + 11) + 4 = 13 + (11 + 4)      proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V    F

1.12. Data la seguente operazione tra i numeri naturali a b = 2 a + 3 b, verifica se è:

(a)
commutativa, cioè se a b = b a
(b)
associativa, cioè se a (b c) = (a b) c
(c)
0 è elemento neutro

1.6.8 Potenza in N : (N; )

1.13. Inserisci i numeri mancanti:

(a)
31 32 33 = 3++ = 3
(b)
34 : 32 = 3 = 3
(c)
(3 : 7)5 = 3 : 7
(d)
63 : 53 = (6 : 5)
(e)
73 53 23 = (7 5 2)
(f)
(26)2 = 2 = 2
(g)
(186) : (96) = () = 2
(h)
(56 54)4 : [(52)3]6 = = 5

1.14 (*). Calcola applicando le proprietà delle potenze:

(a)
25 23 : 22 36 [66]
(b)
(52)3 : 53 5 [54]
(c)
{[(23)2 : 23]3 : 25} : (28 : 26)2 [1]
(d)
[(21)4 34]2 : 65 60 [63]

1.15. Calcola:

(a)
22 (23 + 52)
(b)
[(36 : 34)2 32]1
(c)
44 (34 + 42)
(d)
34 (34 + 42 22)0 : 33 + 0 100

1.16. Completa, applicando le proprietà delle potenze:

(a)
74 7 = 75
(b)
39 59 = ()9
(c)
515 : 5 = 55
(d)
()6 56 = 156
(e)
84 : 24 = 2
(f)
(185 : 65)2 = 3
(g)
207 : 200 = 20
(h)
(3)4 = 1
(i)
(73) 7 = 714

1.17. Il risultato di 35 + 53 è:      A 368      B (3 + 5)5      C 15 + 15      D 88

1.18. Il risultato di (73 + 27)2 è:    A 200      B 732 + 272    C 104    D 1000

1.7 Espressioni numeriche

1.19. Esegui le seguenti operazioni rispettando la precedenza algebrica

(a)
15 + 7 2
(b)
16 4 + 2
(c)
18 8 4
(d)
16 × 2 2
(e)
12 2 × 2
(f)
10 5 × 2
(g)
20 ×4 : 5
(h)
16 : 4 ×2
(i)
2 + 22 + 3
(j)
4 × 23 + 1
(k)
24 : 2 4
(l)
(1 + 2)3 23
(m)
(32)3 32
(n)
24 + 23
(o)
23 × 32
(p)
33 : 32 × 32

Le espressioni che seguono sono state elaborate a partire da quelle che si possono trovare all’indirizzo: www.ubimath.org/potenze Ringrazio Ubaldo Pernigo per la competenza e disponibilità

1.20. 22 + 32 52 3 24 + 7 52 23 52 22 33 [48]

1.21. 22 [(22 3 : 3 + 5 22) : (2 3) + 13] [20]

1.22. 101 + (2 + 11 32)2 (22 + 42 + 6) [0]

1.23. 21 + 32 + 42 52 40 [1]

1.24. 24 : (3 22) + 22 (32 + 30 23) [10]

1.25. 5 + 2 [5 + 2 (22 + 5) : 3 32] 2 3 [3]

1.26. (52 + 32 1) : 3 + (33 + 1) : 7 [15]

1.27. (3 4 + 23 2 + 7 6) : 10 3 22 5 [1]

1.28. 32 + 42 + 2 3 + (7 + 2) : 9 + (27 2) : 5 [37]

1.29. (33 + 32 + 31 + 30 10) : 6 + 62 : 6 [11]

1.30. {[(26 25 24 23) : 22 + 1]3 2 24}2 + 3 [903]

1.31. {16 : (62 10 2) + [(7 3 + 33 3 2)2 : 103] : (72 11 4) 2}5 [1]

1.32. [(22 25) : (2 23)]2 [64]

1.33. (22 2)2 : (5 22 22) + [72 : (52 32 2) + 133 : 132] : 22 + (74 72)0 32 [1]

1.34. [136 (135 : 13)]2 : [1313 : (132 133)2]6 [169]

1.35. (3 5 22 2) 32 + 33 22 7 32 [108]

1.36. [(34)3 : 310]5 : 39 + (54)3 : 510 22 71 [0]

1.37. [(74 24 94) : (72 22 92)]4 : (5048 : 48) [1]

1.38. (13 33 26 5)2 : 31 + [(6 5)6 + (22 + 32 21)] : (24 : 22) [34]

1.39. (24 52 : 5 3) : 1 + (2 3 6 22 32) + 22 32 : [23 3 + 22cdot3 (23 7)] [2]

1.40. 25 : 5 + (82 15 3 23) 27 : (42 + 3 10) [13]

1.41. {[(26 24 : 28) : 22 + 1]3 : 22}0 [1]

1.42. [(52)3 54] : [54 (52)2] [25]

1.43. [(32 34) (32 3)]2 : 316 [9]

1.44. 13 + (22)3 : (5 4 + 1)4 + [72 : (52 32 2) + 134 : 133] : 22 + 15 [11]

1.45. 22 + {[7 (53 : 52 30 + 51) + (35 : 32 + 3)] : (54 : 52) 22}[23 5 : (2 5)]3 : 24 [0]

4 + {[7 (5 33 : 33 + 5) + (33 + 3)] : 52 22}[(23 32 26) 5 : 10]3 : 24 [0]

1.8 Espressioni con un buco

Le espressioni che seguono sono state elaborate a partire da quelle che si possono trovare all’indirizzo: www.ubimath.org/potenze Ringrazio Ubaldo Pernigo per la competenza e disponibilità

1.46. 82 3 5 + (22 32 4 9) : 42 + 30 [20]

1.47. (72 2 5 + 15 : 3) : 4 + (3 22 + 3 42)2 [36]

1.48. 51 + (2 5 32 23) 33 : (42 + 3 10) [13]

1.49. 22 + 3 + 52 2 3 8 4 [0]

1.50. (52 32) : 22 + 9 82 : 81 [12]

1.51. (23 + 24) : 2 + 3 22 5 [31]

1.52. [(75 7) : (74)3] : 72 [1]

1.53. (15 + 16 + 18 + 110) 4 2 [0]

1.54. 81 : 32 + 32 : 22 + : 52 (4 2 23) : 3 [19]

1.55. {[(26 25 24 23) : 4 + ] 8 24}+ 3 [3]

1.56. 3 2 + (2 : 22 + 32 : 3) 5 (6 : 2 + 44 : 4) : 7 [29]

1.57. {5 16 (62 24) [(32 2) 10 5]}[(22 5 + 23) : (33 52)] [1]

1.58. [2 + 15 : (23 5 33 + 2)]4 : 3 2 2 ( 5 12 : 3)2 [4]

1.59. 52 : 5 [(3 52 + 4 : 2) : 7 2 5]2 + 2 : 22 52 : 5 [8]

1.60. 1210 : 129 + 32 62 : 62 + 122 : (5 22 19) (54) : 510 [140]

1.61. (22)3 + (22 5 4)2 + 2 42 5 [69]

1.62. (35)3 : 313 + 310 : 39 + 95 9 94 : 916 [13]

1.63. 33 37 32 : (36 36) + 52 [62 + 22 + 2 50 (23 )] : 102 [25]

1.64. (2 5)3 : 53 (2 : 22) {(6 22) [6 50 (24 : 22)]} [4]

1.65. 22 26 : 25 : 2 + 26 : (2 22) 29 : 27 + (62 22) : 18 + 73 : 72 [16]

1.66. 14 + (21 + 33)2 (22 + 42 + 6) [0]

1.67. (24)5 : 219 + (4)8 : 447 [6]

1.68. [(75 7)] : [(73)4] : 72 [1]

1.69. (2 2 23 24) : 29 + (33 35 37) : 314 [4 ]

1.70. {[(33 34)2 : 36] : 3 2 32} : 3 + {[(52 2 5 22) : 10]2 + 1} : 5 [5]

1.71. 1 + {244 : 84 52 2 : [2 + 24 : (23 2 3)]} : {[20 : (2 10)6 22 52] : 102 + 1} [20]

1.72. {21 + [(29 : 26 + 32 32 5 53 3) : 19]2 (7 23 + 52 5 dots2 : 22) : 29}2 : 100 [4]

1.73. [24 + ( + 36 : 32) : 5 (176 : 176)] : 17 [(174 : 174) + 22 (23 1) 24] : 13 [1]

1.9 Divisibilità e numeri primi

1.74 (Crivello di Eratostene). Nella tabella che segue sono rappresentati i numeri naturali fino a 100. Per trovare i numeri primi, seleziona 1 e 2, poi cancella tutti i multipli di 2. Seleziona il 3 e cancella i multipli di 3. Seleziona il primo dei numeri che non è stato cancellato, il 5, e cancella tutti i multipli di 5. Procedi in questo modo fino alla fine della tabella. Quali sono i numeri primi minori di 100?

auto

11211 21222 1 2333 12444 12555 12666 71277 81288 91299 123000
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99100

1.75. Per quali numeri sono divisibili? Segna i divisori con una crocetta

(a)
1320 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(b)
2344 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(c)
84 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(d)
1255 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(e)
165 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(f)
720 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(g)
792 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13
(h)
462 è divisibile per      2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     13

1.10 Scomposizione in fattori primi

1.76. I numeri sotto elencati sono scritti come prodotto di altri numeri: sottolinea le scritture in cui ciascun numero è scomposto in fattori primi

(a)
68 = 17 4 = 17 22 = 2 34
(b)
45 = 5 9 = 15 3 = 5 32
(c)
36 = 6 6 = 62
(d)
44 = 2 22 = 4 11 = 22 11
(e)
17 = 17 1
(f)
48 = 6 8 = 12 4 = 3 24 = 16 3
(g)
60 = 2 30 = 15 4 = 22 3 5 = 10 6
(h)
102 = 6 17 = 3 34 = 2 3 17 = 2 51
(i)
200 = 2 102 = 23 52 = 2 4 25
(j)
380 = 19 10 2 = 19 5 22

1.77. Rispondi alle domande:

(a)
ci può essere più di una scomposizione in fattori di un numero?
(b)
ci può essere più di una scomposizione in fattori primi di un numero?
(c)
quando un numero è scomposto in fattori primi?

1.78. Descrivi brevemente la differenza tra le seguenti frasi

(a)
a b sono due numeri primi
(b)
a b sono due numeri primi tra di loro

Fai degli esempi che mettano in evidenza la differenza descritta

1.79 (*). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi:

(a)
52
(b)
60
(c)
72
(d)
81
(e)
105
(f)
120
(g)
135
(h)
180
(i)
225
(j)
525

1.80 (*). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi:

(a)
675
(b)
715
(c)
1900
(d)
1078
(e)
4050
(f)
4536
(g)
12150
(h)
15246
(i)
85050
(j)
138600

    33 25;        3 5 47;         22 52 19;        2 72 11;         2 34 52;        23 34 7;
    2 35 52;        2 32 7 112;         2 35 52 7;         23 32 52 7 11.

1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo

1.81. Applicando la definizione 1.11 trova il MCD tra i numeri 54 e 132

1.82. Calcola MCD mcm dei numeri 180, 72, 90

Scomponendo in fattori si ha 180 = 22 32 5 72 = 23 32 90 = 2 32 5

MCD = 2 3 = ; mcm = 2 3 5 =

1.83 (*). Calcola mcm MCD tra i seguenti gruppi di numeri:

(a)
15; 5; 10
(b)
2; 4; 8
(c)
2; 1; 4
(d)
5; 6; 8
(e)
24; 12; 16
(f)
6; 16; 26
(g)
6; 8; 12
(h)
50; 120; 180
(i)
20; 40; 60
(j)
16; 18; 32
(k)
30; 60; 27
(l)
45; 15; 35

1.84 (*). Calcola mcm MCD tra i seguenti gruppi di numeri:

(a)
24; 12; 16
(b)
6; 4; 10
(c)
5; 4; 10
(d)
12; 14; 15
(e)
3; 4; 5
(f)
6; 8; 12
(g)
15; 18; 21
(h)
12; 14; 15
(i)
15; 18; 24
(j)
100; 120; 150
(k)
44; 66; 12
(l)
24; 14; 40

1.85 (*). Tre funivie partono contemporaneamente da una stessa stazione sciistica. La prima compie il tragitto di andata e ritorno in 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la terza in 20. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme? [3h]

1.86 (*). Due aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Milano e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 15 giorni e il secondo ogni 18 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si troveranno di nuovo insieme a Milano? [90g]

1.87. Disponendo di 56 penne, 70matite e 63 gomme, quante confezioni uguali si possono fare? Come sarà composta ciascuna confezione?

1.88. Una cometa passa in prossimità della Terra ogni 360 anni, una seconda ogni 240 anni e una terza ogni 750 anni Se quest’anno sono state avvistate tutte e tre, fra quanti anni sarà possibile vederle di nuovo tutte e tre nello stesso anno?

1.12.2 Esercizi riepilogativi

1.89. Quali delle seguenti scritture rappresentano numeri naturali?

(a)
5 + 3 1
(b)
6 + 4 10
(c)
5 6 + 1
(d)
7 + 2 10
(e)
2 5 : 5
(f)
2 3 : 4
(g)
3 4 12
(h)
12 : 4 4
(i)
11 : 3 + 2
(j)
27 : 9 : 3
(k)
18 : 2 9
(l)
10 1 : 3

1.90. Calcola il risultato delle seguenti operazioni nei numeri naturali; alcune operazioni non sono possibili, individuale

(a)
5 : 5 =
(b)
5 : 0 =
(c)
1 5 =
(d)
1 1 =
(e)
10 : 2 =
(f)
0 : 5 =
(g)
5 1 =
(h)
0 : 0 =
(i)
10 : 5 =
(j)
1 : 5 =
(k)
0 5 =
(l)
5 : 1 =
(m)
0 0 =
(n)
1 0 =
(o)
1 : 0 =
(p)
1 : 1 =

1.91. Aggiungi le parentesi in modo che l’espressione abbia il risultato indicato

2 + 5 3 + 2 = 35                 2 + 5 3 + 2 = 27

1.92 (*). Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi e calcola il risultato:

(a)
aggiungi 12 al prodotto tra 6 e 4
(b)
sottrai il prodotto tra 12 e 2 alla somma tra 15 e 27
(c)
moltiplica la differenza tra 16 e 7 con la somma tra 6 e 8
(d)
al doppio di 15 sottrai la somma dei prodotti di 3 con 6 e di 2 con 5
(e)
sottrai il prodotto di 6 per 4 al quoziente tra 100 e 2
(f)
moltiplica la differenza di 15 con 9 per la somma di 3 e 2
(g)
sottrai al triplo del prodotto di 6 e 2 il doppio del quoziente tra 16 e 4
(h)
il quadrato della somma tra il quoziente intero di 25 e 7 e il cubo di 2
(i)
la somma tra il quadrato del quoziente intero di 25 e 7 e il quadrato del cubo di 2
(j)
la differenza tra il triplo del cubo di 5 e il doppio del quadrato di 5

a) 36, b) 18, c) 126, d) 2, e) 26, f) 30

Le espressioni che seguono sono state elaborate a partire da quelle che si possono trovare all’indirizzo: www.ubimath.org/potenze Ringrazio Ubaldo Pernigo per la competenza e disponibilità

Calcola il valore delle seguenti espressioni:

1.93. (13 + 3 52 : 3 + 15 + 19) : (3 22) + (23 22 2) 1700 [7]

1.94. 51 + 2 (42 + 2 7 15) (72 52 42) 22 + 7 [10]

1.95. [24 + (25 : 24 + 2 3) 22] : 23 + 10 42 + 33 : 32 [3]

1.96. [(92 72) : (32 1) + (82 52) : (32 + 22)] 5 [35]

1.97. [(32 23 2 52 + 211 : 24) : (3 5) 2] : (42 23) [1]

1.98. 210 : 28 + 32 22 30 + 42 23 [17]

1.99. [5 + 22 32 5 (24 22 22 + 32 27 : 3)] 30 32 [9]

Calcola il valore mancante nelle seguenti espressioni:

1.100. 334 : {242 : [193 : (32 2 + 4)2 + 5]2 + 25}3 [33]

1.101. (13 + 22 + 75 : + 2 32) : (3 22) + (23 22 2) 170 [8]

1.102. 35 : 7 + 13 22 : 23 11 3 84 : 7 [0]

1.103. (15 : 3 + 72 2 5) : 4 + [(3 22) + 2 42]2 [36]

1.104. (52 32 2) : 7 + (2 43) : (30 + 3 + 32) [1]

1.105. [(2 7 + 33 22) : 11] : (23 15 102) + (52 : 13) : 2 [3]

1.106. 37 : 35 + 82 + 2 27 : 211 [75]

1.107. [( + 5 2 2 11) 22 + (32 23)] (82 7 9) [1]

1.108. In una città le linee della metropolitana iniziano il loro servizio alla stessa ora. La linea rossa fa una corsa ogni 15 min, la linea gialla ogni 20 min e la linea blu ogni 30 min. Salvo ritardi, ogni quanti minuti le tre linee partono allo stesso momento?

1.109. Tre negozi si trovano sotto lo stesso porticato, ciascuno ha un’insegna luminosa intermittente: la prima si spegne ogni 6 secondi, la seconda ogni 5 secondi, la terza ogni 7 secondi. Se tutte le insegne vengono accese alle 19.00 e spente alle 21.00, quante volte durante la serata le tre insegne si spegneranno contemporaneamente?

1.110. In una gita scolastica ogni insegnante accompagna un gruppo di 12 studenti. Se alla gita partecipano 132 studenti, quanti insegnanti occorrono?

1.111. Un palazzo è costituito da 4 piani con 2 appartamenti per ogni piano. Se ogni appartamento ha 6 finestre con 4 vetri ciascuna, quanti vetri ha il palazzo?

1.112. Spiega brevemente il significato delle seguenti parole:

(a)
numero primo
(b)
numero dispari
(c)
multiplo
(d)
cifra

1.113. Rispondi brevemente alle seguenti domande:

(a)
cosa vuol dire scomporre in fattori un numero?
(b)
ci può essere più di una scomposizione in fattori di un numero?
(c)
cosa vuol dire scomporre in fattori primi un numero?