MATEMATICA
MATEMATICA DOLCE 1 - LICEI
Testo per il primo biennio
della Scuola Secondaria di
grado
Numeri naturali
Versione accessibile
Edizione - 2022
Matematica Matematica dolce 1 - licei
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Coordinatori del Progetto: Daniele Zambelli.
Autori: Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.
Hanno Collaborato: Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.
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Collaboratori: Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli.
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Versione del documento: 10.0.0del 31 agosto 2022.
Stampa edizione 2022: agosto 2022.
ISBN 9788899988005
DATI TECNICI PER L’ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA
Titolo: Matematica , Matematica dolce 1 - licei -2022.
Codice ISBN: 9788899988005
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Anno di edizione: 2022.
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Formato: ebook (PDF).
L’origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamo documenti sufficienti per capire come l’uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana. Sono stati ritrovati reperti fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delle incisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Osso di Ishango” 1 in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congo tra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino dei numeri o dei calcoli. L’osso risale a circa 20 000 anni fa.
È possibile allora che, per rappresentare numeri grandi, si siano cominciati a usare simboli specifici che richiamassero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regole per associare questi simboli.
Sappiamo per certo che circa 6 000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sulla pietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10:
Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 3673 così:
I Romani per rappresentare i numeri usavano sette lettere maiuscole: , , , , , , . Il numero rappresenta ; il numero rappresenta , mentre il numero rappresenta .
Nel medioevo si diffuse anche in Italia, e poi in Europa, la notazione usata dagli arabi di allora che a loro volta l’avevano appresa dagli abitanti dell’India. Non fu un passaggio facile: le cifre arabe richiesero alcuni secoli per essere accettate dagli europei e soppiantare i simboli romani.
I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone si chiamano numeri naturali
L’insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera .
Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie? Evidentemente il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti i gruppi formati da 5 oggetti. Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a sé stante, un oggetto astratto di tipo matematico.
Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto cardinale del numero), vengono usati anche per rappresentare l’ordine con cui si presentano gli oggetti, (aspetto ordinale), l’ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo, secondo, terzo, …
Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli e nonostante l’umanità li usi da tempi antichissimi, una loro piena comprensione non è semplice, come dimostra il fatto che ancora oggi ci siano dei problemi aperti relativi a questi numeri. Il dibattito su cosa sono i numeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del secolo, quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tanti altri. Oggi ci sono diversi punti di vista.
I numeri naturali sono alla base dell’aritmetica, tutti gli altri numeri si possono costruire a partire da questi. Tutti noi abbiamo una idea di cosa siano i numeri naturali e, in generale, in questo testo ci riferiremo a questa idea ingenua di numeri naturali.
Ci sono diversi modi per definirli a partire da concetti più primitivi come, ad esempio, gli insiemi o da assiomi. Di seguito sono presentati gli assiomi di Peano2 che permettono di definire i numeri naturali a partire da due concetti primitivi e da 5 assiomi, cioè affermazioni su cui siamo d’accordo.
I concetti primitivi per definire i numeri naturali sono:
Lo zero è il numero che serve per contare gli elementi di un gruppo con il minore numero di oggetti possibile: un gruppo vuoto.
Il successore di un numero naturale è quel numero che viene subito dopo e che rappresenta il numero di oggetti di un gruppo quando se ne aggiunge uno.
Le seguenti affermazioni possono quindi individuare i numeri naturali:
In pratica i numeri naturali sono la sequenza:
zero, uno, due, tre, …, centoventitre, centoventiquattro, …
Un modo comodo per esprimere qualunque numero naturale è usare dei segni appositi, le cifre, e un sistema per rappresentarli:
0, 1, 2, 3, …, 123, 124, …
Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero può essere rappresentato da una sequenza ordinata di cifre, anche ripetute.
Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra. Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: un’asta vuota rappresenta la cifra zero, aggiungendo dischetti possiamo arrivare alla cifra 9 e così abbiamo riempito tutta un’asta. Se vogliamo aggiungere ancora un dischetto, svuotiamo tutta l’asta e ne mettiamo uno sull’asta più a sinistra. Il numero successore del nove viene così rappresentato da un uno seguito da uno zero.
Le potenze di 10 sono importanti nel sistema decimale poiché rappresentano il peso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti.
Tre dischetti nella terza asta rappresentano tre centinaia, cioè il numero . Il numero significa quattro centinaia più sette decine più nove unità: .
Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è:
I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l’origine della semiretta, i numeri aumentano allontanandosi dall’origine e si deve scegliere un segmento che rappresenti un passo unitario. Partendo dall’origine, a ogni passo si va al numero successivo.
Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L’insieme ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo.
I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che ci si allontana dall’origine. L’origine e la freccia indicano chiaramente in quale verso i numeri crescono. Noi, in generale disponiamo la semiretta in modo che i numeri crescano da sinistra a destra.
Ogni numero è minore del suo successore. Questa proprietà si può estendere anche al successore del successore e al successore del successore del successore ….
Tra i numeri naturali possiamo individuare una relazione di equivalenza: ‘essere uguale indicata dal simbolo “”. Questa relazione ha le seguenti proprietà:
Tra i numeri naturali possiamo individuare una relazione d’ordine: essere minore o uguale indicata dal simbolo “”. Questa relazione ha le seguenti proprietà:
Tra i numeri naturali possiamo riconoscere le seguenti relazioni d’ordine:
Principio 1.1 (di tricotomia): Dati due numeri naturali e vale sempre una delle seguenti tre relazioni:
Possiamo vedere le operazioni matematiche come dei meccanismi, delle regole, che associano ad alcuni oggetti matematici, detti operandi, un altro oggetto matematico, il risultato.
Di seguito riprendiamo rapidamente le prime cinque operazioni aritmetiche nei numeri naturali.
Prima di affrontare le operazioni introduciamo uno dei concetti più importanti nella matematica moderna: il concetto di funzione.
Definizione 1.1: Chiamiamo funzione un qualunque procedimento che, a partire da alcuni oggetti che sono gli argomenti, ne produce uno che è il risultato della funzione.
Anche le operazioni aritmetiche possono essere viste come particolari funzioni. Sono delle funzioni binarie perché hanno due argomenti e, ovviamente, un risultato.
Data l’importanza delle funzioni e il loro uso in molti contesti diversi, vengono anche usati molti modi diversi per rappresentarle. Di seguito ne vediamo alcuni dove applichiamo la rappresentazione al caso dell’addizione.
Possono essere usate anche delle rappresentazioni grafiche:
Funzione rappresentata con grafi
Rappresentazioni dell’espressione:
Una funzione può anche essere definita in un linguaggio di programmazione (nel caso seguente usiamo Python):
Interpretazione di queste due righe di programma:
“add”
è il nome della funzione;
“parametro_1” e “parametro_2”
sono i parametri della funzione;
il risultato dell’espressione che segue la parola “return”
è il risultato della funzione;
“def” e “return”
sono delle parole riservate del linguaggio Python.
Il risultato della funzione può essere visualizzato con la seguente istruzione:
“print”
è un comando per visualizzare qualcosa sullo schermo;
“5” e “7”
sono gli argomenti della funzione.
La funzione “add” ha due parametri (“parametro_1” e “parametro_2”) e, per eseguirla, dobbiamo passarle due argomenti (“5” e “7”).
Oservazioni 1.1:
Prima ancora di affrontare le operazioni aritmetiche con i numeri naturali, vediamo le proprietà delle operazioni in generale. In generale vuol dire che ora non stiamo a precisare né di quale insieme numerico parliamo, né di quale operazione. Quindi useremo delle lettere per indicare operandi e risultato mentre, per l’operazione, useremo un simbolo diverso da quelli delle quattro operazioni. Un’operazione che indicheremo con il simbolo :
Vediamo ora alcune operazioni con i numeri naturali, le loro proprietà e le strutture algebriche sui naturali.
L’addizione è collegata all’operazione concreta di aggiungere gli elementi di un gruppo di oggetti agli elementi di un altro gruppo per poi considerarli riuniti in un unico gruppo.
Definizione 1.2 (Addizione): Dati due numeri naturali e , l’addizione associa quel numero , che si ottiene partendo da e procedendo verso i successori volte. Si scrive .
Gli operandi dell’addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.
Ad esempio: sommare 5 a 3 significa partire da 3 e spostarsi verso il successore per 5 volte.
L’addizione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Per come è definita, e dato che il successore di un numero naturale è un numero naturale, la somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che l’addizione nei numeri naturali presenta le seguenti proprietà:
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica viene chiamata monoide commutativo (o abeliano3)
La sottrazione è collegata all’operazione concreta di togliere degli oggetti da un gruppo di oggetti.
Definizione 1.3 (Sottrazione): Dati due numeri naturali e , la sottrazione associa quel numero naturale , se esiste, che aggiunto ad dà come somma .
Si scrive .
Il primo operando si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza.
Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
Se consideriamo solo numeri naturali non è sempre possibile trovare la differenza tra due numeri. Ad esempio, la differenza tra 5 e 7 non è un numero naturale, infatti se partendo dal 5 andiamo indietro di 7 posizioni usciamo dalla semiretta dei numeri naturali.
Questo corrisponde al fatto che se ho solo 5 oggetti non ne posso togliere 7!
Si può osservare allora che in la sottrazione è possibile solo se .
Nei naturali la sottrazione è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale solo se il minuendo non è minore del sottraendo:
Oservazioni 1.2:
La sottrazione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali dato che alcune sottrazioni non danno come risultato un numero naturale.
Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti , ma in generale non si può fare .
Una proprietà interessante della sottrazione, e molto utile nei calcoli, è:
Definizione 1.4 (Proprietà invariantiva della sottrazione): aggiungendo o togliendo ad entrambi i termini di una sottrazione la stessa quantità, , la differenza non cambia.
La moltiplicazione è legata all’azione di contare oggetti disposti in uno schieramento rettangolare.
Definizione 1.5 (Moltiplicazione): Dati due numeri naturali , , l’operazione di moltiplicazione associa il numero che si ottiene aggiungendo a 0 addendi uguali a :
Gli operandi della moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto.
Ad esempio: moltiplicare 3 per 4 volte significa partire da 0 e aggiungere 3 per 4 volte.
La moltiplicazione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Dato che per eseguire una moltiplicazione ripeto delle addizioni, anche il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è una legge di composizione interna ai naturali e presenta le seguenti proprietà:
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica viene chiamata monoide commutativo (o abeliano).
Un’altra importante proprietà che utilizzeremo spesso anche in seguito è:
Principio 1.2 (di annullamento del prodotto): il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se e solo se almeno uno dei fattori è nullo.
Questa legge dice che se il risultato di una moltiplicazione è zero di sicuro almeno uno dei fattori deve essere zero. Attenzione: questa proprietà non vale per tutti gli insiemi numerici in cui è definita la moltiplicazione.
La divisione è collegata all’operazione concreta di dividere una certa quantità di oggetti in gruppi con lo stesso numero di oggetti.
Definizione 1.6: Dati due numeri naturali e , con , la divisione associa quel numero naturale , se esiste, che moltiplicato per dà come prodotto .
Si scrive .
Il primo operando si chiama dividendo e il secondo divisore, il risultato si dice quoziente esatto.
Ad esempio: dividere 12 per 4 significa trovare quante volte il numero 4 è contenuto nel numero 12.
Non sempre si può effettuare la divisione nei numeri naturali ad esempio: non è un numero naturale. Se esiste il quoziente esatto tra i numeri e , si dice che:
Esempio 1.1: Alcuni esempi:
Oservazioni 1.3 (Divisione per 0): La divisione per zero non è definita.
La divisione è una funzione che ha come argomento una coppia ordinata di numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Oservazioni 1.4:
Dato che non dà sempre un risultato, la divisione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali.
Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti , ma in generale non si può fare .
L’unica proprietà interessante della divisione è la proprietà
Oltre alle proprietà valide per le singole operazioni, ce n’è una che riguarda due operazioni contemporaneamente, è la proprietà distributiva.
Rispetto all’addizione Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.
Rispetto alla sottrazione In maniera analoga:
Rispetto all’addizione Solo se le somme sono a sinistra:
Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra: . Infatti eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente . Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene . Il risultato corretto è solo il primo.
Rispetto alla sottrazione Solo se la sottrazione è a sinistra:
Se, però, la sottrazione è a destra:
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica viene chiamata semianello commutativo (o abeliano).
Oservazione 1.1: Nonostante la grande utilità dei numeri naturali e il fascino dei problemi presenti nei naturali che non sono ancora risolti, una struttura a semianello è piuttosto debole: non permette di risolvere neppure equazioni del tipo .
all’addizione,
La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.
Definizione 1.8 (Potenza): Dati due numeri naturali e , non entrambi nulli, l’operazione di potenza associa un terzo numero che si ottiene moltiplicando 1 per fattori uguali a :
Gli operandi si chiamano base e esponente mentre il risultato si chiama potenza.
La potenza è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Nei numeri naturali, la potenza è una legge di composizione interna ma non è né associativa, né commutativa. Presenta comunque cinque proprietà importanti perché verranno utilizzate all’interno di altri argomenti che incontreremo in seguito come, ad esempio, nel calcolo letterale e nello studio di funzioni esponenziali e logaritmiche.
1. Il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
2. Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
4. Il prodotto di più potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
5. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Si può vedere come i casi particolari delle potenze con esponente uguale a 0 e uguale a 1 siano in accordo con le proprietà delle potenze.
Oservazione 1.2: Alla potenza non si assegna alcun valore perché applicando la definizione di si dovrebbe ottenere 1; applicando la definizione si dovrebbe ottenere 0. Nonostante ciò, in molti linguaggi di programmazione dà per risultato 1.
L’operazione inversa di una certa operazione è quella che permette di calcolare uno degli operandi conoscendo l’altro operando e il risultato.
Esempio 1.2: Completa le seguenti uguaglianze.
Operazione | Op. inversa | ||
1. | perché: | ||
2. | perché: | ||
3. | perché: | ||
4. | perché: | ||
5. | perché: | ||
6. | perché: | ||
7. | perché: | ||
8. | perché: | ||
9. | perché: | ||
10. | perché: | ||
Vediamo ora le cinque operazioni e le loro inverse facendo riferimento all’esempio 1.11.
Addizione:
L’operazione inversa dell’addizione è la sottrazione (vedi punti 1 e 2).
Sottrazione:
La sottrazione non ha un’operazione inversa: per calcolare il minuendo serve un’addizione;
per calcolare il sottraendo bisogna operare una sottrazione tra il minuendo e la differenza
(vedi punti 3 e 4);
.
Moltiplicazione:
L’operazione inversa della moltiplicazione è la divisione (vedi punti 5 e 6).
Divisione:
La divisione non ha un’operazione inversa: per calcolare il dividendo serve una moltiplicazione;
per calcolare il divisore bisogna operare una divisione tra il dividendo e il quoziente (vedi
punti 7 e 8);
.
Potenza:
La potenza non ha un’operazione inversa: per calcolare la base si usa la radice; per calcolare
l’esponente serve il logaritmo che, a partire dalla base e dal risultato, dà l’esponente (vedi
punti 9 e 10);
.
Operazione | 1ˇr operando | 2ˇr operando | risultato | simboli |
addizione | addendo | addendo | somma | |
sottrazione | minuendo | sottraendo | differenza | |
moltiplicazione | fattore | fattore | prodotto | |
divisione | dividendo | divisore | quoziente | |
potenza | base | esponente | potenza | |
radice | radicando | indice | radice | |
logaritmo | base | argomento | logaritmo | |
Spesso in matematica abbiamo a che fare con più operazioni combinate assieme. In questo caso parliamo di espressioni.
Definizione 1.9: Un’espressione aritmetica è un modo per rappresentare una successione di operazioni.
Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue, per esempio: «La vecchia porta la sbarra». Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire, dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le operazioni.
Associatività a sinistra:
Precedenza algebrica:
Oservazione 1.3: Alcune calcolatrici, quelle “aritmetiche” svolgono le operazioni man mano che sono inserite, si dice che applicano l’associatività a sinistra. Altre, le calcolatrici “scientifiche” seguono le regole dell’algebra. Esegui la seguente sequenza di operazioni sulla tua calcolatrice (le barre verticali separano i diversi tasti da premere):
Osserva il risultato e confrontalo poi con quello ottenuto dai tuoi compagni. Diverse calcolatrici possono fornire risultati diversi (mai fidarsi delle macchine).
La precedenza algebrica prevede che:
I grafi sono disegni formati da punti collegati tra loro da linee. I grafi ad albero sono dei particolari grafi.
Definizione 1.10 (Grafo ad albero): Un grafo ad albero è un disegno formato da punti detti nodi collegati tra loro da linee dette rami dove c’è un solo modo per andare da un nodo ad un altro senza ripassare su un ramo.
Nell’esempio a fianco, il nodo n0 è la radice, i nodi n2, n3, n5, n6 e n7 sono le foglie, n1 e n4 sono nodi intermedi o semplicemente nodi.
Useremo grafi ad albero per risolvere le espressioni: gli operandi sono le foglie dell’albero, il risultato è la radice. Il movimento, in questo caso, va dalle foglie alla radice (come la linfa discendente. Costruiamo il grafo tenendo conto delle seguenti indicazioni:
Procedura 1.1: Per risolvere un’espressione usando un grafo:
Esempio 1.3:
Esempio 1.4:
Se per risolvere un’espressione dobbiamo utilizzare le proprietà delle potenze, al posto del simbolo di operazione scriveremo le sigle “p1”, “p2”, …
In alcuni casi può non essere comodo, o praticabile, l’uso di un grafo ad albero per risolvere espressioni. Vediamo allora il metodo sequenziale che prevede di copiare tutta o in parte l’espressione rendendola via via più semplice. Possiamo applicare le seguenti indicazioni:
Procedura 1.2: Per risolvere un’espressione in modo sequenziale:
Partiamo da una nuova espressione:
Scorrendo l’espressione vediamo che l’operazione è seguita da una moltiplicazione; poiché la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione, non possiamo eseguire . La prossima espressione che incontriamo è dato che è seguita da una divisione possiamo eseguirla e quindi la sottolineiamo. Procediamo così sottolineando tutte le operazioni che possiamo eseguire rispettando le precedenze algebriche:
Sottolineo:
Ricopiamo l’espressione sostituendo al posto delle operazioni sottolineate il loro risultato:
Eseguo:
Otteniamo così un’espressione a cui applicare nuovamente i due passi precedenti fino ad averla ridotta ad un numero.
Nell’ultimo passaggio, essendo rimasta una sola operazione, è inutile sottolinearla. Avremmo anche potuto risolvere con un passaggio in meno calcolando assieme le due addizioni:
Esempio 1.5: Possiamo confrontare i due metodi applicati alla stessa espressione:
A volte potrà succedere che, nell’espressione, manchi un numero. Conoscendo il risultato possiamo trovare il numero mancante.
Procedura 1.3: Per trovare l’operando mancante usando il grafo ad albero:
È più difficile da immaginare che da fare…vedi l’esempio.
Esempio 1.6: Nella seguente espressione manca un esponente:
Ora poniamo attenzione al nodo vuoto che precede il risultato, il nodo contrassegnato dalla stella. Dobbiamo trovare il numero che diviso per 2 dia come risultato 9. È facile: il numero cercato è 18. Scriviamo allora 18 in questo nodo e poniamo l’attenzione a quello che lo precede.
Lo scriviamo e ci spostiamo sul nodo precedente. Procedendo in questo modo possiamo risalire fino al dato mancante.
Partendo da per ottenere devo togliere .
Infine, l’esponente da dare a per ottenere è .
Esempio 1.7: Se c’è un “buco” in una espressione da risolvere con le proprietà delle potenze, si procede allo stesso modo:
Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Rimangono vuoti tutti i nodi che collegano la radice all’elemento mancante. Usando un colore diverso, a partire dalla radice, completiamo il grafo. Scriviamo nella radice il risultato dell’espressione, e poniamo attenzione al nodo vuoto che lo precede.
Procedura 1.4: Per trovare l’operando mancante usando il metodo sequenziale:
Esempio 1.8:
Sottolineiamo le operazioni che dobbiamo eseguire, sostituiamo le operazioni sottolineate con il loro risultato o con un buco, poi risaliamo riempiendo i buchi:
Esempio 1.9:
Qui possiamo applicare le proprietà delle potenze:
La divisione esatta nei numeri naturali, e , non è sempre possibile: si può fare solo se è multiplo di . Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto. La divisione con resto è una funzione che dà due risultati: il quoziente e il resto. Questa è una funzione che ha due argomenti e per risultato una coppia ordinata di numeri.
Definizione 1.11: Dati due numeri naturali e , con , esistono due numeri e con tali che:
si dice quoziente e si dice resto della divisione.
Esempio 1.10:
Esempio 1.11: Alcune semplici divisioni con il resto:
Un’operazione che dà due risultati a volte è scomoda quindi i matematici hanno ricavato, dalla divisione con resto, due nuove operazioni: la divisione intera e il resto modulo o modulo.
Definizione 1.12: Dati due numeri naturali e , con , la divisione intera è l’operazione che dà il più grande numero naturale (il quoziente) per il quale si ha
Esempio 1.12: Alcune semplici divisioni intere:
Definizione 1.13: Dati due numeri naturali e , con , l’operazione che restituisce il resto della divisione intera tra e si chiama modulo di rispetto a e viene indicata con .
Esempio 1.13: Alcuni esempi di resto delle divisioni:
Ripassiamo l’algoritmo della divisione tra numeri naturali; questo algoritmo risulterà particolarmente utile nel seguito.
Vediamo assieme i vari passi dell’algoritmo:
In definitiva, nel 1523 il 7 è contenuto 217 volte con il resto di 4.:
Infatti:
e:
Alcuni altri esempi:
Definizione 1.14: Il numero si dice divisore di , e multiplo di , se il resto della divisione intera è zero:
Prima di proseguire, disegna nel quaderno la seguente tabella e completala.
Nella prima colonna scrivi i numeri fino al 50, nella seconda scrivi tutti i divisori di quel numero ordinati dal minore al maggiore, nella terza scrivi quanti sono i divisori.
numero | divisori |
numero di divisori |
0 | tutti i numeri naturali |