MATEMATICA \(C^3\)
MATEMATICA DOLCE 1 - LICEI
Testo per il primo biennio
della Scuola Secondaria di \(II\) grado
Numeri interi
Versione accessibile
Edizione - 2022
Matematica \(C^3\) Matematica dolce 1 - licei
Copyright © 2022
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Coordinatori del Progetto: Daniele Zambelli.
Autori: Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.
Hanno Collaborato: Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.
Progettazione e Implementazione in LaTeX: Dimitrios Vrettos, Daniele Zambelli.
Collaboratori: Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli.
Collaborazione, commenti e suggerimenti: Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica Dolce o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi a daniele.zambelli@gmail.com.
Versione del documento: 10.0.0del 31 agosto 2022.
Stampa edizione 2022: agosto 2022.
ISBN 9788899988005
DATI TECNICI PER L’ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA
Titolo: Matematica \(C^3\), Matematica dolce 1 - licei -2022.
Codice ISBN: 9788899988005
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Anno di edizione: 2022.
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Formato: ebook (PDF).
Con i numeri naturali non sempre è possibile eseguire l’operazione di sottrazione. In particolare, non è possibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, per esempio \(5-12\). Tuttavia ci sono situazioni in cui una sottrazione di questo tipo deve essere eseguita.
Per esempio, è possibile acquistare un’auto di € 12 000 pur avendo soltanto risparmi in banca di soli € 5 000. In questo caso si tratta di togliere dai € 5 000 i € 12 000 che servono per acquistare l’auto: materialmente non è possibile e si ricorre a un prestito.
Pensiamo ad una comunicazione dei meteorologi relativa alle previsioni del tempo: «domani la temperatura, a causa di una perturbazione proveniente dai paesi nordici, potrebbe subire un drastico calo e scendere anche di 10 gradi». Riflettiamo: se oggi la temperatura è di 9 gradi, come possiamo esprimere numericamente la temperatura prevista per domani? Alcuni diranno: «il liquido contenuto nel termometro si posizionerà al di sotto dello zero», altri «domani la temperatura sarà di un grado sotto lo zero» e altri ancora «la temperatura sarà di \(-1\) grado».
Per rappresentare le grandezze che hanno due sensi, come temperature, crediti e i debiti, latitudine nord e sud, altezze sopra il livello del mare e profondità marine i numeri naturali non bastano. I matematici in queste situazioni usano i numeri interi relativi che si scrivono utilizzando gli stessi numeri naturali ma preceduti dal segno “\(+\)” se sono numeri maggiori di 0 e dal segno “\(-\)” se sono numeri minori di 0. L’insieme di questi numeri si costruisce raddoppiando i numeri naturali \(\N \) e facendo precedere ciascun numero dal segno “\(+\)” o “\(-\)”, ad eccezione dello 0, al quale non si attribuisce segno. \[ \Z =\lbrace \ldots ,~ -5,~ -4,~ -3,~ -2,~ -1,~~~0,~ +1,~ +2,~ +3,~ +4,~ +5,~ \ldots \rbrace \]
Anche numeri relativi possono essere rappresentati su una retta. Disegniamo una retta, su di essa prendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenza da sinistra verso destra, un segmento \(AB\) come un’unità di misura. Riportiamo questa unità di misura più volte partendo da zero e procedendo nel verso stabilito aggiungiamo ogni volta uno: ai punti trovati associamo gli interi positivi. Ripetiamo l’operazione partendo dallo zero, ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo gli interi negativi.
Possiamo interpretare questi numeri come il numero di passi da fare sulla retta, partendo dallo zero verso destra se il segno è positivo, verso sinistra se il segno è negativo.
Definizione 1.1 (Numeri interi): Un numero intero si ottiene da un numero naturale con l’aggiunta di un segno che può essere: \(-\) o \(+\).
Definizione 1.2: Due numeri relativi si dicono concordi, se hanno lo stesso segno; si dicono discordi se hanno segni opposti.
Esempio 1.1: Concordi-discordi.
\(+3\) e \(+5\) sono concordi; \(+3\) e \(-5\) sono discordi; \(-5\) e \(-2\) sono concordi.
Definizione 1.3 (Valore assoluto): La funzione valore assoluto (\(abs(n)\)) se riceve come argomento un numero intero qualsiasi dà come risultato un numero intero non negativo. È definita come: \[abs(x) = \sistema {-x & \stext { se } & x < 0 \\ +x & \stext { se } & x \geqslant 0}\]
Il valore assoluto permette di passare dai numeri interi ai numeri naturali. In questo passaggio si perde, ovviamente, dell’informazione.
Nelle espressioni il valore assoluto si può indicare inserendo il numero relativo tra due barre verticali (\(\valass {\,}\)). In linguaggio matematico: \[\valass {a}=a,\stext { se }a\geqslant 0,\qquad \valass {a}=-a,\stext { se }a<0\]
Esempio 1.2: Valore assoluto: \(\valass {+2}=+2 \quad \valass {-5}=+5 \quad \valass {-73}=+73 \quad \valass {+13}=+13\)
Definizione 1.4: Due numeri interi relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto; si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi.
Esempio 1.3: Sono numeri opposti: \(+3\) e \(-3\) \(+5\) e \(-5\) \(+19\) e \(-19\).
Numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto: \(\valass {-17} = \valass {+17} = +17\)
Usando la rappresentazione dei numeri sulla retta l’ordinamento risulta facile da verificare: il verso di percorrenza della retta (la freccia) indica la direzione nella quale i numeri crescono. Quindi dati due numeri interi relativi quello più grande è quello che, sulla retta orientata è rappresentato dopo muovendosi nel verso fissato.
Le seguenti definizioni permettono di effettuare il confronto tra interi relativi usando il confronto tra numeri naturali.
Definizione 1.5 (Confronto di interi): Le seguenti tre regole permettono di confrontare due numeri interi qualunque.
Esempio 1.4: Confronta le seguenti coppie di numeri.
Con i numeri relativi anche la sottrazione (oltre all’addizione e alla moltiplicazione) è un’operazione interna cioè la differenza di due numeri relativi è un numero relativo.
Dal contesto dobbiamo capire se \(+\) è un segno del numero o è un simbolo di operazione.
All’inizio è bene usare una scrittura del tipo \((+2)+(+5)\) per indicare la somma tra i numeri \(+2\) e \(+5\); in seguito vedremo come semplificare la scrittura (e complicare l’interpretazione).
La procedura per addizionare due numeri relativi dipende dal segno dei due addendi.
Definizione 1.6 (Somma di numeri concordi): La somma di due numeri concordi è il numero che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti e come segno lo stesso segno degli addendi.
Esempio 1.5: \( (+3)+(+5)=\ldots \): i due numeri da sommare sono concordi, il loro segno è “\(+\)”, i loro valori assoluti sono 3 e 5, la loro somma è 8. Pertanto \((+3)+(+5)=+8\)
Esempio 1.6: \((-2)+(-5)=\ldots \): i due numeri sono entrambi negativi, quindi sono concordi, i loro valori assoluti sono 2 e 5, la somma ha valore assoluto 7, il segno è “\(-\)”. Pertanto \[(-2)+(-5)=-7.\]
Definizione 1.7 (Somma di numeri discordi): La somma di due numeri discordi è il numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti e come segno il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.
Esempio 1.7: \((-5)+(+2)=\ldots \): i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assoluti sono 5 e 2, la differenza è 3, il numero che ha valore assoluto maggiore è \(-5\), pertanto il risultato ha lo stesso segno di \(-5\), cioè è negativo. In definitiva \((-5)+(+2)=-3\)
Esempio 1.8: \((+3)+(-7)=\ldots \): i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assoluti sono 3 e 7, la loro differenza è 4, il numero che ha valore assoluto maggiore è \(-7\), quindi il risultato ha segno negativo. In definitiva \((+3)+(-7)=-4\)
L’addizione si può rappresentare nella retta dei numeri come l’azione di partire dal punto indicato dal primo operando e muoversi nel verso indicato dal segno del secondo addendo: se è positivo ci si muove nel verso della retta, se è negativo ci si muove verso contrario. \[(-3)+(+5)=2\]
\[ (-1)+(-3) = -4\]
L’addizione in \(\Z \) può essere vista come una funzione che ha per argomenti numeri interi e dà come risultato un numero intero.
La struttura \(\coppia {\Z }{+}\) presenta tutte le proprietà della struttura \(\coppia {\N }{+}\) più un’importante proprietà: l’esistenza dell’elemento inverso di ogni numero intero. L’inverso rispetto all’addizione si chiama opposto. Riassumendo:
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\Z }{+}\) viene chiamata gruppo commutativo.
La nuova proprietà dell’addizione (l’esistenza dell’opposto di ogni numero) trasforma la sottrazione in un’operazione interna agli interi. Una funzione che per qualunque coppia di argomenti interi dà come risultato un numero intero. Anzi, non solo la sottrazione si può sempre eseguire, ma addirittura …non servirà più! Ma andiamo con ordine.
\[(+5) - (+7) = -2 \stext { perché } (-2) + (+7) = +5\]
Definizione 1.8 (Differenza in \(\Z \)): La differenza di due numeri relativi si ottiene aggiungendo al primo numero l’opposto del secondo.
\[a - b = (+a) - (+b) = a + (-b) \sstext {perché:} (+a) + (-b) + (+b) = a + 0 = a\]
La funzione sottrazione è quindi definita per qualunque coppia ordinata di numeri relativi.
Negli interi, la sottrazione è una legge di composizione interna e gode della proprietà invariantiva della sottrazione: la differenza di due numeri non cambia se al minuendo e al sottraendo viene aggiunto o tolto lo stesso numero.
Poiché la sottrazione può essere trasformata in addizione, si può semplificare la scrittura di addizione e sottrazione di numeri relativi utilizzando soltanto l’operazione di addizione e omettendo di scrivere il segno “\(+\)” dell’addizione. Questo tipo di addizione tra numeri relativi si chiama somma algebrica. Facciamolo passo passo:
\[(-5)-(-7)+(-2)+(+6)-(+3)+(-5) =\] all’interno delle parentesi ci sono i segni dei numeri e, fuori, i simboli delle operazioni.
Eliminiamo le sottrazioni trasformandole in addizioni con l’opposto del sottraendo:
\[(-5)+(+7)+(-2)+(+6)+(-3)+(-5) =\] eliminiamo tutti i simboli di addizione e le parentesi:
\[=-5+7-2+6-3-5 =\] ottenendo così una somma algebrica dove i simboli di addizione sono sottintesi:
\(= -5\) più \(+7\) più \(-2\) più \(+6\) più \(-3\) più \(-5 =\)
Ora possiamo risolverla andando in ordine:
Cioè: parto da \(-5\) avanti di 7 indietro di 2 avanti di 6 indietro di 3 indietro di 5.
Oppure, dato che l’addizione gode della proprietà commutativa e associativa, e qui abbiamo tutte addizioni, possiamo addizionare tutti i numeri positivi, tutti i numeri negativi e alla fine calcolare la somma dei due risultati: \[-5+7-2+6-3-5 \quad =\quad +7+6-5-2-3-5 \quad =\quad +13 -15 \quad =\quad -2\]
Esempio 1.10: Calcola: \((+1)+(-2)-(-10)+(+3)-(+13)-(-2)+(-3)=\)
trasformo le sottrazioni:
\(=(+1)+(-2)+(+10)+(+3)+(-13)+(+2)+(-3)=\)
sottintendo le addizioni:
\(=+1-2+10+3-13+2-3=\)
eseguo le addizioni:
\(=+15-15-3=-3\)
Una volta capito il meccanismo si possono riunire primi due passaggi, e se ci sono numeri opposti, la loro somma è nulla.
Esempio 1.11: Calcola: \((+13)+(-20)-(-60)+(+5)-(+13)-(-21)+(-60)=\)
Trasformo in addizione algebrica e annullo i termini opposti:
\(=\cancel {+\;13}-20~\cancel {+\;60}+5~\cancel {-\;13}+21~\cancel {-\;60}=\)
addiziono i termini rimasti: \(= +26 - 20 = +6\)
Se dobbiamo moltiplicare due interi entrambi non negativi possiamo rifarci alla definizione data per la
moltiplicazione tra naturali, ad esempio: \[(+3) \cdot (+4) = 0 + (+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +3+3+3+3 = +12\] Possiamo fare riferimento alla stessa definizione anche nel
caso il primo fattore sia negativo: \[(-3) \cdot (+4) = 0 + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -3-3-3-3 = -12\] Se il secondo fattore è negativo, non ha molto senso
aggiungere un numero negativo di addendi! Possiamo però utilizzare la proprietà commutativa
e risolvere il problema: \[(+3) \cdot (-4) = (-4) \cdot (+3) = 0 + (-4) + (-4) + (-4) = -4-4-4 = -12\] Il problema diventa più spinoso quando entrambi i fattori sono
negativi.
Come calcolare \((-3) \cdot (-4)\)?
Partiamo da un’altra proprietà della moltiplicazione: zero è l’elemento assorbente, cioè se moltiplico 0
per un qualunque numero, il risultato sarà 0. Quindi: \(0 \cdot (-4) = 0\).
Ma zero possiamo scriverlo anche come somma di due numeri opposti: \(0 = (+3) + (-3)\).
Sostituiamo 0: \(((+3) + (-3)) \cdot (-4) = 0\).
Per la proprietà associativa: \((+3) \cdot (-4) + (-3) \cdot (-4) = 0\).
Il primo dei due prodotti l’abbiamo già calcolato: \((-12) + (-3) \cdot (-4) = 0\).
Ma per ottenere 0, il prodotto deve essere l’opposto di \(-12\) quindi: \((-3) \cdot (-4) = +12\).
È facile generalizzare quanto visto in questo caso particolare e mostrare che se vogliamo che valgano le consuete proprietà delle operazioni, il prodotto di due numeri negativi deve essere un numero positivo.
Possiamo sintetizzare quanto visto nella seguente
Definizione 1.9 (Prodotto di numeri relativi): Il prodotto di due numeri interi relativi è 0 se uno dei due fattori è 0, altrimenti è il numero intero avente come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori e come segno il segno “\(+\)” se i fattori sono concordi, il segno “\(-\)” se i fattori sono discordi.
Esempio 1.12: Calcola i prodotti delle seguenti moltiplicazioni.
Nel caso si debbano eseguire più moltiplicazioni il segno del prodotto è negativo se il segno meno è presente in un numero dispari di fattori mentre se il segno negativo è presente un numero pari di volte il prodotto è positivo.
La moltiplicazione in \(\Z \) può essere vista come una funzione che ha per argomenti numeri interi e dà come risultato un numero intero.
La struttura \(\coppia {\Z }{\times }\) presenta le stesse proprietà della struttura \(\coppia {\N }{\times }\). Riassumendo:
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\Z }{\times }\) viene chiamata monoide commutativo.
Anche nell’insieme dei numeri interi vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione.
Poiché negli interi valgono queste proprietà, la struttura formata dagli interi, dall’addizione e dalla moltiplicazione, \(\terna {\Z }{+}{\times }\), viene chiamata anello.
Nell’anello degli interi, possiamo sempre risolvere equazioni del tipo: \(x + a = 0\), ma equazioni del tipo \(ax + b = 0\) non hanno sempre soluzione se \(a\), \(x\) e \(b\), sono numeri interi.
La regola della divisione è del tutto analoga a quella della moltiplicazione.
Definizione 1.10 (Quoziente di numeri interi relativi): Il quoziente esatto di due numeri interi relativi è il numero intero, se esiste, avente come valore assoluto il quoziente esatto dei valori assoluti e come segno il segno “\(+\)” se i due numeri sono concordi, il segno “\(-\)” se i due numeri sono discordi.
Osserva che mentre addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni interne ai numeri interi relativi, ossia il risultato di queste operazioni è sempre un numero intero relativo, il risultato della divisione esatta non sempre è un numero intero relativo. La divisione tra numeri relativi è possibile solo se è possibile la divisione esatta tra i loro valori assoluti, ossia se il divisore è diverso da zero e il dividendo è un suo multiplo.
Esempio 1.13: Calcola i quozienti esatti delle seguenti divisioni.
Negli interi, la divisione non è una legge di composizione interna, comunque, se dà un risultato intero, e gode della proprietà invariantiva della divisione: il quoziente di due interi non cambia se dividendo e divisore si moltiplicano o si dividono per uno stesso valore diverso da zero.
Ampliando la potenza ai numeri interi distinguiamo i due casi di potenza con base intera e esponente naturale e di base intera e esponente intero.
In questo caso la definizione di potenza per un numero relativo è la stessa di quella data per i numeri naturali. Se base e esponente non sono entrambi 0, la potenza si ottiene moltiplicando \(+1\) per tanti fattori uguali alla base quante volte è indicato dall’esponente.
Ricordiamo che un qualsiasi numero, diverso da 0, elevato a 0 dà come risultato il numero 1 e che qualsiasi numero elevato a 1 rimane invariato.
L’unica attenzione che dobbiamo avere è quella relativa al segno:
se la base è un numero negativo il segno dipende dall’esponente:
Esempio 1.14: Potenze di numeri relativi.
Abbiamo visto come trattare potenze con base negativa, ma ha un senso una potenza con esponente negativo?
Ricordiamo la seconda proprietà delle potenze: \(a^m : a^n = a^{m-n}\).
Se \(m > n\) otteniamo: \(a^m : a^n = a^{m-n}\) dove \(m-n\) è positivo situazione già trattata.
Se \(m = n\) otteniamo giustamente: \(a^n : a^n = a^{n-n} = a^0 = 1\).
Se \(m < n\) otteniamo: \(a^m : a^n = a^{m-n}\) dove \(m-n\) è un numero negativo: situazione nuova.
Riprendiamo la seconda proprietà delle potenze, ma questa volta consideriamo \(m < n\):
\[ a^{m-n} = a^m: a^n = \frac {a^m}{a^n}= \frac {1 \cdot \overbrace {\cancel {a} \cdot \cancel {a} \cdot \ldots \cdot \cancel {a}}^{m \text { volte}}} {1 \cdot \underbrace {\cancel {a} \cdot \cancel {a} \cdot \ldots \cdot \cancel {a}}_{m \text { volte}} \underbrace {\cdot a \cdot a \ldots \cdot a}_{n-m \text { volte}}}= \frac {1}{a^{n-m}} \]
Dato che \(n-m = -(m-n)\) possiamo concludere che in generale: \[a^n = \frac {1}{a^{-n}} = \tonda {\frac {1}{a}}^{-n}\] Notiamo che queste uguaglianze sono valide se la base è diversa da zero.
Riassumendo, una potenza con base non nulla è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente. Questo ci permette di risolvere i casi in cui l’esponente è negativo.
Possiamo quindi ampliare la definizione di potenza.
Definizione 1.11 (Potenza in \(\Z \)): Dati due numeri interi \(b\) e \(e\), non entrambi nulli,
Esempio 1.15: La successione delle potenze di 2 con esponente intero: \[\ldots ;\quad 2^{-3} = \frac {1}{8};\quad 2^{-2} = \frac {1}{4};\quad 2^{-1} = \frac {1}{2};\quad 2^{0} = 1;\quad 2^{+1} = 2;\quad 2^{+2} = 4;\quad 2^{+3} = 8;\quad \ldots \]
Con i numeri interi la potenza non è una legge di composizione interna: come visto nell’esempio precedente, un numero intero elevato a un numero intero in certi casi dà, come risultato, un numero non intero.
1.1. Riscrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande) i seguenti numeri relativi: \[+11\qquad -3\qquad 0\qquad +2\qquad -5\qquad -7\qquad +1\]
1.2. Riscrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo) i seguenti numeri relativi: \[-5\qquad -2\qquad +3\qquad -1\qquad 0\qquad +7\qquad -9\qquad +13\qquad -21\]
1.3. Disponi sulla retta degli ineri i seguenti numeri relativi: \(-3;~~ +2;~~ +5;~~ -7;~~ -5;~~ -1;~~ +3\)
1.4. Per ciascuno dei seguenti numeri relativi scrivi il valore assoluto.
1.5. Scrivi tra le seguenti coppie di numeri relativi il simbolo corretto tra “\(>\)” e “\((<)\)”.
1.6. Esegui le seguenti addizioni di numeri relativi.
1.7. Esegui le seguenti sottrazioni di numeri relativi.
1.8. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad a-b\) |
\(\quad +a-b\) |
\(\quad -a+b\) |
\(\quad -a-b\) |
\(-1\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(+2\) |
\(+3\) |
|
|
|
|
\(+1\) |
\(~~~0\) |
|
|
|
|
\(-2\) | \(-3\) |
|
|
|
|
\(+3\) |
\(-3\) |
|
|
|
|
\(-10\) |
\(+4\) |
|
|
|
|
1.9. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad a-b\) |
\(\quad -(a-b)\) |
\(\quad -a+b\) |
\(\quad -a-(-b)\) |
\(-8\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(+6\) |
\(+3\) |
|
|
|
|
\(+7\) |
\(-4\) |
|
|
|
|
\(-5\) | \(-9\) |
|
|
|
|
\(+2\) |
\(~~~0\) |
|
|
|
|
\(-8\) |
\(+6\) |
|
|
|
|
1.10. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(~~c\) |
\(\quad a-b+c\) |
\(\quad (a-b)+c\) |
\(\quad a+(-b+c)\) |
\(\quad a-(+b+c)\) |
\(-1\) |
\(+2\) |
\(-3\) |
|
|
|
|
\(+2\) |
\(+3\) |
\(-5\) |
|
|
|
|
\(+1\) |
\(~~~0\) |
\(-1\) |
|
|
|
|
\(-5\) | \(-3\) | \(+4\) |
|
|
|
|
\(+7\) |
\(-7\) |
\(+7\) |
|
|
|
|
\(-11\) |
\(~~~0\) |
\(+4\) |
|
|
|
|
1.11. Esegui le seguenti somme algebriche.
1.12. Trasforma in somme algebriche, e poi calcola, le seguenti espressioni.
1.13. Calcola i seguenti prodotti.
1.14. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad a \cdot b\) |
\(\quad -a \cdot b\) |
\(\quad (-a) \cdot (-b)\) |
\(\quad -(a \cdot b)\) |
\(-7\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(+5\) |
\(+1\) |
|
|
|
|
\(+6\) |
\(-3\) |
|
|
|
|
\(-8\) | \(-9\) |
|
|
|
|
\(~~~0\) |
\(-4\) |
|
|
|
|
\(-10\) |
\(+12\) |
|
|
|
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1.15. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\((a + b) \cdot (a - b)\) |
\((a + b) \cdot (a + b)\) |
\((a - b) \cdot (a - b)\) |
\((a + b) \cdot (-a + b)\) |
\(-7\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(+5\) |
\(+1\) |
|
|
|
|
\(+6\) |
\(-3\) |
|
|
|
|
\(-4\) | \(-2\) |
|
|
|
|
\(~~~0\) |
\(-4\) |
|
|
|
|
\(-2\) |
\(+8\) |
|
|
|
|
1.16. Esegui le seguenti divisioni.
1.17. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad a : b\) |
\(\quad -a : b\) |
\(\quad -(a : b)\) |
\(\quad a : -(b)\) |
\(-24\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(+18\) |
\(+1\) |
|
|
|
|
\(+48\) |
\(-3\) |
|
|
|
|
\(-18\) | \(-9\) |
|
|
|
|
\(~~~0\) |
\(-4\) |
|
|
|
|
\(-36\) |
\(+12\) |
|
|
|
|
1.18. Calcola il valore delle seguenti potenze.
1.19. Applica le proprietà delle potenze.
1.20. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad a^b\) |
\(\quad (-a)^b\) |
\(\quad (+a)^{-b}\) |
\(\quad (-a)^{-b}\) |
\(-7\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(-3\) |
\(+4\) |
|
|
|
|
\(-3\) |
\(+3\) |
|
|
|
|
\(-8\) | \(-2\) |
|
|
|
|
\(+1\) |
\(+5\) |
|
|
|
|
\(-10\) |
\(+4\) |
|
|
|
|
1.21. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(\quad (a + b)^2\) |
\(\quad (-a + b)^2\) |
\(\quad (+a - b)^2\) |
\(\quad (-a - b)^2\) |
\(-7\) |
\(+2\) |
|
|
|
|
\(-3\) |
\(+4\) |
|
|
|
|
\(-3\) |
\(+3\) |
|
|
|
|
\(-8\) | \(-2\) |
|
|
|
|
\(+1\) |
\(+5\) |
|
|
|
|
\(-10\) |
\(+4\) |
|
|
|
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1.22. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(\quad a^2\) |
\(\quad (-a)^2\) |
\(\quad -a^2\) |
\(\quad a^3\) |
\(\quad (-a)^3\) |
\(-2\) |
|
|
|
|
|
\(-1\) |
|
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\(~~~0\) |
|
|
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\(+1\) |
|
|
|
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\(+2\) |
|
|
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|
|
\(+3\) |
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1.23. Completa la seguente tabella.
\(~~a\) |
\(~~b\) |
\(~~c\) |
\(-2 \cdot a-b+c\) |
\(-2 \cdot a-(b+c)\) |
\(-a-2 \cdot b+c\) |
\(a-b-2 \cdot c\) |
\(-1\) |
\(+2\) |
\(-3\) |
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\(+2\) |
\(+3\) |
\(-5\) |
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\(+1\) |
\(~~~0\) |
\(-1\) |
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\(-5\) | \(-3\) | \(+4\) |
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\(+7\) |
\(-7\) |
\(+7\) |
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\(-11\) |
\(~~~0\) |
\(+4\) |
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1.24. In quali delle seguenti situazioni è utile ricorrere ai numeri relativi?
1.25.
La somma di due numeri relativi è sicuramente positiva quando: A i due numeri sono
concordi.
B i due numeri sono discordi.
C i due numeri sono entrambi positivi.
D i due numeri sono entrambi negativi.
1.26.
La somma di due numeri relativi è sicuramente negativa quando: A i due numeri sono
concordi.
B i due numeri sono discordi.
C i due numeri sono entrambi positivi.
D i due numeri sono entrambi negativi.
1.27.
Il prodotto di due numeri relativi è positivo quando (più di una risposta possibile): A i due numeri sono
concordi.
B i due numeri sono discordi.
C i due numeri sono entrambi positivi.
D i due numeri sono entrambi negativi.
1.28.
Il prodotto di due numeri relativi è negativo quando: A i due numeri sono concordi.
B i due numeri sono discordi.
C i due numeri sono entrambi positivi.
D i due numeri sono entrambi negativi.
1.29. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
1.30. Inserisci l’operazione corretta per ottenere il risultato.
1.31. Inserisci il numero mancante.
1.33. Inserisci “\(+\)” o “\(-\)” in modo da ottenere il numero più grande possibile:
\[-3\ldots (-3)\ldots 3\ldots (-6).\]
1.34. Inserisci le parantesi in modo da ottenere il risultato indicato.
1.35. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.36. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.37. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.38. Calcola il valore delle seguenti espressioni e indica dove puoi applicare le proprietà delle potenze.
1.39. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.40. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.41. Calcola il valore delle seguenti espressioni.
1.42. Traduci in una espressione matematica le seguenti frasi e motivane la verità o falsità:
1.48. Partendo dal pian terreno scendo di 15 gradini, salgo 12 gradini, scendo di 7 gradini e risalgo di 8. A che punto mi trovo rispetto al pian terreno?
1.49. Giocando a carte contro due avversari nella prima partita ho vinto 50 gettoni con il primo giocatore e perso 60 gettoni con il secondo giocatore, nella seconda partita ho perso 30 gettoni con il primo e vinto 10 gettoni con il secondo. Quanti gettoni ho vinto complessivamente?
1.50. Una lumaca sale su un muro alto 10 metri, di giorno sale di due metri ma di notte scende di un metro. In quanti giorni la lumaca arriva in cima al muro?
1.51. Il prodotto di due numeri interi relativi è \(+6\), la loro somma è \(-\)5. Quali sono i due numeri?
somma \(+6\)