MATEMATICA \(C^3\)
MATEMATICA DOLCE 1 - LICEI
Testo per il primo biennio
della Scuola Secondaria di \(II\) grado
Numeri razionali
Versione accessibile
Edizione - 2022
Matematica \(C^3\) Matematica dolce 1 - licei
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Coordinatori del Progetto: Daniele Zambelli.
Autori: Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.
Hanno Collaborato: Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.
Progettazione e Implementazione in LaTeX: Dimitrios Vrettos, Daniele Zambelli.
Collaboratori: Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli.
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Versione del documento: 10.0.0del 31 agosto 2022.
Stampa edizione 2022: agosto 2022.
ISBN 9788899988005
DATI TECNICI PER L’ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA
Titolo: Matematica \(C^3\), Matematica dolce 1 - licei -2022.
Codice ISBN: 9788899988005
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Anno di edizione: 2022.
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Formato: ebook (PDF).
Abbiamo visto che con i numeri interi, \(\Z \), possiamo sempre eseguire 3 delle 4 operazioni aritmetiche: la divisione tra numeri interi non sempre è un intero. Per semplificarci la vita e non dover sempre distinguere i vari casi, vogliamo creare un insieme di numeri che contenga anche tutti i quozienti tra due numeri dell’insieme. Chiameremo questo insieme “Insieme dei numeri razionali” e lo indicheremo con il simbolo \(\Q \).
Presi due numeri dell’insieme \(n\) e \(d\), di cui il secondo diverso da zero, anche il loro quoziente deve appartenere allo stesso insieme:
\[\forall n,~d \neq 0 \in \Q \sLRarrow n : d \in \Q \] Cioè la funzione divisione esatta dovrà essere definita per ogni dividendo e per ogni divisore diverso da 0.
Abbiamo visto che per passare dai Naturali agli Interi è bastato aggiungere un segno ai numeri (e rivedere le varie regole per il confronto e le operazioni). Per ottenere i Razionali le cose non sono così semplici: abbiamo diversi modi di rappresentare lo stesso numero razionale e dovremo a seconda dei casi scegliere quello più comodo.
Vediamo per prima la notazione decimale, quella che usa la virgola per separare la parte intera del numero dalla sua parte decimale.
Oservazione 1.1: Nei paesi anglosassoni si usa il punto al posto della virgola. La tua calcolatrice presenta i numeri in italiano o in americano?
Riprendiamo la divisione intera presentata nel paragrafo sulla divisione del capitolo sui numeri naturali. Ma questa volta lo abbreviamo un po’: il risultato della moltiplicazione viene tolto al volo dal dividendo e viene scritto direttamente il nuovo resto.
A questo punto scrivo la virgola nel quoziente parziale e aggiungo uno 0 al resto parziale e
riprendo la filastrocca: Il 35 nel 70 ci sta 2 volte, scrivo 2; 2 per 35 fa 70 al 70: 0.
Questa volta ho ottenuto come resto 0 e l’algoritmo della divisione si ferma.
Proviamo con un altro esempio: \(1523 : 7 =\)
Il 7 nel 12 ci sta 1 volta. Scrivo 1 come seconda cifra del quoziente. 1 per 7 fa 7, al 12: 5. Scrivo 5 sotto al 2 e riporto il 3.
Il 7 nel 53 ci sta 7 volte. Scrivo 7 come terza cifra del quoziente. 7 per 7 fa 49, al 53: 4. Scrivo 4 sotto al 3.
A questo punto nella divisione intera ci eravamo fermati, ora invece aggiungiamo 0 decimi a destra di 4 e calcoliamo quanti decimi di 7 sono contenuti in 40 decimi e con quale resto e procediamo così continuando ad aggiungere zeri e procedendo sempre con le stesse operazioni. Potremmo avere l’impressione che questo “algoritmo” non termini mai. Ed è proprio così!
L’algoritmo della divisione può fermarsi producendo ad un certo punto il resto 0, oppure andare avanti all’infinito. Ma siamo sicuri che la seconda divisione che abbiamo visto non si fermi mai? Magari dopo 200 cifre decimali potrebbe avere resto 0? Prova a calcolare qualche altra cifra decimale ….
Puoi osservare che dopo il resto 4 ci sarà senz’altro il resto 5 e dopo di sicuro il resto 1 e poi 3, poi 2, poi 6, poi 4, poi 5, poi …Ma se le cose stanno così anche le cifre decimali si ripeteranno sempre allo stesso modo, quindi:
\[1523 : 7 = 217,571468571468571468571468571468\ldots = 217,\overline {571468} = 217,\tonda {571468}\]I numeri di questo tipo si chiamano numeri periodici e si possono rappresentare scrivendo il periodo una sola volta soprassegnato o posto tra parentesi.
In definitiva:
Definizione 1.1: Un numero razionale può essere scritto come numero decimale limitato o come numero decimale periodico.
Quindi i numeri decimali, limitati o periodici ci permettono di rappresentare tutti i possibili risultati delle divisioni.
Perfetto! Perfetto? Mah …
Durante la scuola primaria abbiamo imparato ad eseguire le operazioni con i numeri decimali, ma solo con i numeri decimali limitati. Come sommare o moltiplicare tra di loro due numeri decimali periodici? È un bel problema.
Un altro modo per rappresentare i risultati della divisione è geniale perché permette di ottenere il risultato della divisione senza eseguirla. Ad esempio se vogliamo dividere 100 in 23 parti uguali basta applicare l’algoritmo della divisione. Prova a farlo prima di procedere con la lettura.
Il risultato è: \(100 \div 23 = 4,\overline {3478260869565217391304}\)
Lo stesso risultato si può ottenere inventando un nuovo modo di rappresentare il risultato della divisione: \(100 \div 23 = \dfrac {100}{23}\)
E dividere 42 per 75? \(\quad 42 \div 75 = \dfrac {42}{75} \quad \) Fatto!
Ma dobbiamo risolvere alcuni altri problemi…Se una frazione rappresenta un numero (razionale) dobbiamo imparare a fare, con le frazioni, quello che sappiamo fare con i numeri:
Prima di affrontare questi due temi, però, applichiamo alle frazioni un’importante proprietà delle divisioni.
Oservazione 1.2: Dalle regole dei segni della divisione consegue un’importante osservazione riguardo l’uso dei segni nelle frazioni: \[-\dfrac {a}{b} = \dfrac {-a}{b} = \dfrac {a}{-b} \quad \text {e} \quad +\dfrac {a}{b} = \dfrac {+a}{+b} = \dfrac {-a}{-b} \]
Consideriamo la frazione \(\dfrac {3}{3}\). Dividere qualcosa in tre parti e poi prenderle tutte e tre significa prenderla tutta: tre terzi significa un intero. E quattro terzi? Quattro terzi significa un intero più un terzo.
Ogni frazione può essere scritta in forma mista cioè nella somma di una parte intera più una frazione minore di uno. Vediamo alcuni esempi: \[\frac {4}{3} = 1 + \frac {1}{3}; \quad \frac {5}{3} = 1 + \frac {2}{3}; \quad \frac {6}{3} = 2 + \frac {0}{3}; \quad \frac {5}{6} = 0 + \frac {5}{6}; \quad \frac {7}{2} = 3 + \frac {1}{2}; \quad -\frac {8}{5} = -\tonda {1 + \frac {3}{5}}; \quad \]
È possibile rappresentare i numeri razionali su un asse cartesiano. Una retta dotata di verso e unità di misura permette di associare ad ogni numero razionale un preciso punto.
Alcuni esempi:
Teorema 1.1: Tra due numeri razionali diversi esiste sempre almeno un altro numero razionale.
Infatti nei numeri razionali è sempre possibile calcolare la media tra due numeri e se questi sono diversi tra loro, la media è maggiore del più piccolo e minore del più grande.
Corollario 1.2: Tra due numeri razionali diversi esistono infiniti altri numeri razionali.
Le affermazioni precedenti si riassumono dicendo che:
Definizione 1.2: L’insieme dei numeri razionali è denso.
La divisione \(42 \div 75 \) dà come risultato 0,56, ma, per la proprietà invariantiva della divisione, otteniamo lo
stesso risultato anche moltiplicando o dividendo il dividendo e il divisore per uno stesso numero
diverso da zero:
\(42 \div 75 = 84 \div 150 = 14 \div 25\). Per come abbiamo definito le frazioni discende immediatamente che:
\[\dfrac {42}{75} = \dfrac {84}{150} = \dfrac {14}{25}\]
Oservazione 1.3: Attenzione al simbolo: \(=\) usato sopra: non significa che le due frazioni sono uguali, ma che, pur essendo diverse, rappresentano lo stesso numero razionale. Sono due nomi diversi per lo stesso numero.
In generale: moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero diverso da zero ottengo una frazione diversa ma che rappresenta lo stesso numero razionale: \[\forall n \neq 0 \quad \frac {a}{b} = \frac {a \cdot n}{b \cdot n} = \frac {a \div n}{b \div n}\]
Definizione 1.3 (Frazioni equivalenti): Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero razionale.
Oservazione 1.4: Dato che ci sono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale, in generale conviene usare come rappresentante di quel numero, la frazione che ha numeratore e denominatore più piccoli questa frazione si dice ridotta ai minimi termini.
Una frazione si riduce ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per tutti i divisori comuni o dividendo numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.
Esempio 1.1: Riduci ai minimi termini la frazione \(\dfrac {420}{360}\)
Primo metodo: \[\dfrac {420}{360} = \dfrac {42}{36} = \dfrac {21}{18} = \dfrac {7}{6} \] Oppure, scoperto che il \(\text {MCD}\coppia {420}{360}=60\) dividendo sia il numeratore sia il denominatore per 60: \[\dfrac {420}{360} = \dfrac {7}{6}\]
Un altro modo per ridurre ai minimi termini una frazione consiste nello scomporre in fattori primi il numeratore e il denominatore.
Esempio 1.2: Riduci ai minimi termini la frazione \(\dfrac {420}{360}\)
\(\dfrac {420}{360} = \dfrac {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac {7}{2 \cdot 3} = \dfrac {7}{6}\)
A volte, invece, non siamo interessati a trovare le frazioni ridotte ai minimi termini, ma, ad esempio, frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore.
Esempio 1.3: Date due frazioni \(a \stext {e} b\), trova due frazioni, equivalenti, con lo stesso denominatore.
Oservazione 1.5: Date due frazioni qualsiasi posso sempre trovarne due equivalenti che abbiano lo stesso denominatore (o numeratore): \[\text {Date due frazioni: } \frac {a}{b} \quad \text {e} \quad \frac {c}{d} \sRarrow \frac {a}{b} = \frac {a \cdot d}{b \cdot d} \quad \text {e} \quad \frac {c}{d} = \frac {c \cdot b}{d \cdot b}\]
Dall’osservazione precedente si ricava un criterio semplice per vedere se due frazioni sono equivalenti:
Definizione 1.4: Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda (prodotto incrociato). \[\frac {a}{b} = \frac {c}{d} \sLRarrow a \cdot d = b \cdot c\]
Definizione 1.5: Nel confronto tra due frazioni:
Esempio 1.4: Stabilisci perché sono vere le seguenti proposizioni:
L’addizione algebrica è l’operazione più complicata da effettuare con le frazioni.
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore la loro somma è semplice da trovare:
Definizione 1.6: La somma di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori: \[\frac {a}{c} \mp \frac {b}{c} = \frac {a \mp b}{c}\]
Spesso, invece di adoperare la moltiplicazione incrociata per eseguire la l’addizione, si riducono le due frazioni allo stesso denominatore, usando il minimo comune multiplo: questo permette di ridurre notevolmente i calcoli.
Esempio 1.5: Calcola \(\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18}\)
Primo metodo Usiamo il metodo della moltiplicazione incrociata: \[\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18} = \dfrac {5 \cdot 18 - 7 \cdot 12}{12 \cdot 18} = \dfrac {90 - 84}{216} = \dfrac {6}{216} = \dfrac {1}{36}\]
Se invece di usare un multiplo qualsiasi dei denominatori, si usa il \(\mcm \), i calcoli possono ridursi.
Procedura 1.1 (Somma di frazioni):
Esempio 1.6: Calcola \(\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18}\)
Il numero apposto ai vari passaggi fa riferimento alla procedura appena descritta. \[\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18} \stackrel {1}{=} \dfrac {5}{2^2 \cdot 3} - \dfrac {7}{2 \cdot 3^2} \stackrel {2}{=} \dfrac {5 \cdot 3 - 7 \cdot 2}{2^2 \cdot 3^2} \stackrel {2}{=} \dfrac {15 - 14}{4 \cdot 9} = \dfrac {1}{36}\] Espresso a parole
diventa:
Scompongo in fattori primi i denominatori: \(12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \stext { e } 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2\);
il \(\mcm \coppia {2^2 \cdot 3}{2 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3^2\);
dato che il denominatore comune diviso il primo denominatore dà 3, il primo numeratore diventa \(5 \cdot 3\)
dato che il denominatore comune diviso il secondo denominatore dà 2, il secondo numeratore diventa
\(7 \cdot 2\);
eseguendo i calcoli ottengo: \(\dfrac {1}{36}\).
Oservazione 1.6: Data la naturale avversione degli esseri umani per la scomposizione in fattori, questo secondo metodo non pare più furbo, ma se osservate bene, si fanno calcoli con numeri più piccoli, non c’è più bisogno di svolgere divisioni e, soprattutto, in certi problemi sarà l’unico metodo percorribile. Tanto vale impararlo.
Quando dobbiamo addizionare una frazione con un numero intero possiamo seguire un metodo abbreviato che permette di eliminare dei passaggi banali come dividere un numero per sé stesso o moltiplicare un numero per 1.
Nel prossimo esempio vediamo i due metodi applicati alla somma tra una frazione e un numero intero.
Esempio 1.7: Calcola \(\dfrac {73}{20} - 3\)
Denominatore comune: \(\dfrac {73}{20} - 3 = \dfrac {73 \cdot 1 - 3 \cdot 20}{20} = \dfrac {73 - 60}{20} = \dfrac {13}{20}\)
Che espresso con la filastrocca è:
“Il denominatore comune è 20, 20 diviso 20 fa 1, 73 per 1 fa 73, l’1 nel 20 ci sta 20 volte, 3 per 20 fa 60, 73 meno 60 fa 13. Il risultato è: tredici ventesimi”.
Metodo più rapido: \(\dfrac {73}{20} - 3 = \tonda {\dfrac {73 - 60}{20}} = \dfrac {13}{20}\)
Che espresso con la filastrocca è:
“3 per 20 fa 60, 73 meno 60 fa 13 il risultato è: tredici ventesimi”.
Dove il passaggio tra parentesi, di solito viene fatto a mente.
Esempio 1.8: Esegui le seguenti addizioni:
Definizione 1.7: Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori: \[\dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {c}{d} = \dfrac {a \cdot c}{b \cdot d}\]
Oservazione 1.7: Anche in questo caso invece di semplificare il prodotto, conviene applicare la semplificazione incrociata prima di eseguire le moltiplicazioni.
Esempio 1.9: Calcola: \(\dfrac {112}{225} \cdot \dfrac {75}{56}\) \[\frac {112}{225} \cdot \frac {75}{56} = \frac {14}{9}\cdot \frac {3}{7} = \frac {2}{3} \]
Prima di affrontare la divisione, diamo la definizione di reciproco:
Definizione 1.8: Il reciproco del numero \(a\), diverso da zero, è il numero \(a'\) tale che: \(a \cdot a' = 1\).
Il reciproco di zero non è definito.
Trovare il reciproco di una frazione è semplice.
Definizione 1.9: Il reciproco di una frazione, con il numeratore diverso da zero, si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.
perché: \(\dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {b}{a} = 1\)
Ora abbiamo un metodo semplice per calcolare il quoziente di due frazioni di cui la seconda non nulla.
Definizione 1.10: Il quoziente di due frazioni, con la seconda non nulla, si ottiene moltiplicando la prima per il reciproco della seconda: \[\dfrac {a}{b} : \dfrac {c}{d} = \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {d}{c} = \dfrac {a \cdot d}{b \cdot c}\]
Oservazione 1.8: Come sempre, nella divisione, il divisore deve essere diverso da zero.
Come per la sottrazione nei numeri relativi, così, usando i numeri razionali, non solo possiamo sempre eseguire la divisione esatta, ma non saremo più costretti a eseguire divisioni!
Esempio 1.10: Calcola: \(\dfrac {560}{55} : \dfrac {24}{275}\) \[\dfrac {560}{55} \div \dfrac {24}{275} = \dfrac {560}{55} \cdot \dfrac {275}{24} = \frac {560}{55} \cdot \frac {275}{24} = \frac {70}{11} \cdot \frac {55}{3} = \frac {350}{3} \]
Definizione 1.11: La potenza di una frazione, cioè una frazione elevata a un certo esponente, è uguale alla frazione che ha numeratore e denominatore elevati a quell’esponente. \[\tonda {\dfrac {a}{b}}^e = 1 \underbrace {\cdot \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {a}{b} \ldots \cdot \dfrac {a}{b}}_{e \text { volte}} = \dfrac {1 \overbrace {\cdot a \cdot a \ldots \cdot a }^{e \text { volte}}} {1 \underbrace {\cdot b \cdot b \ldots \cdot b }_{e \text { volte}}} = \dfrac {a^e}{b^e}\]
Così abbiamo ridotto il calcolo della potenza di una frazione al calcolo delle potenze del numeratore e del denominatore.
Oservazione 1.9: Ovviamente, vale anche per le frazioni quanto già visto per gli interi: \[a^{-1} = \tonda {\dfrac {1}{a}}^{+1} \sstext {quindi} \tonda {\dfrac {a}{b}}^{-1} = \tonda {\dfrac {b}{a}}^{+1}\]
E fin qui facilmente abbiamo ampliato la definizione di potenza al caso di potenze che hanno per base una frazione…ma che dire per potenze che hanno per esponente una frazione? La faccenda si complica e si fa interessante!
Quale significato dare a una scrittura del genere: \(\tonda {\dfrac {a}{b}}^{\frac {m}{n}}\)?
Semplifichiamo un po’ la scrittura, e il problema, cercando di capire come risolvere questo calcolo: \[a^{\frac {1}{n}}\] Ricordando la terza proprietà delle potenze guardiamo cosa succede se eleviamo alla enne la precedente espressione: \[\tonda {a^{\frac {1}{n}}}^n = a^{\frac {1}{n} \cdot n} = a\] Quindi elevare alla \(\dfrac {1}{n}\) è l’operazione inversa di elevare alla \(n\) perché se elevo un numero alla \(\dfrac {1}{n}\) e poi alla \(n\) o se elevo alla \(n\) e poi alla \(\dfrac {1}{n}\) ottengo il numero di partenza.
Questo vuol dire che elevare alla \(\dfrac {1}{n}\) è l’operazione inversa, rispetto alla base di elevare alla \(n\). L’operazione inversa della potenza, rispetto alla base, viene chiamata radice e indicata con: \(\sqrt [n]{a}\) quindi: \[a^{\frac {1}{n}} = \sqrt [n]{a}\] e in generale: \[\tonda {\frac {a}{b}}^{\frac {m}{n}} = \sqrt [n]{\tonda {\frac {a}{b}}^m}\]
Definizione 1.12: La radice di una frazione che ha per numeratore la radice del numeratore, e per denominatore la radice del denominatore: \[\sqrt [n]{\dfrac {a}{b}} = \dfrac {\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}}\]
Esempio 1.11: Esegui le seguenti potenze:
Esempio 1.12: Esegui le seguenti radici:
Abbiamo visto due modi per rappresentare i numeri razionali:
Ma per il resto, le due notazioni sono equivalenti? Cioè tutti i numeri che possiamo rappresentare con le frazioni li possiamo anche rappresentare con i numeri decimali e viceversa?
Tutte le frazioni possono essere trasformate in numeri decimali, basta interpretare il segno di frazione come una divisione e eseguirla con il solito algoritmo.
Esempio 1.13: Trasforma in numero decimale la frazione: \(\dfrac {197}{8}\)
Esempio 1.14: Trasforma in numero decimale la frazione: \(\dfrac {155}{12}\)
Abbiamo già visto che otterremo sempre o un numero decimale limitato o periodico.
I numeri decimali limitati sono facilmente trasformabili in frazioni: basta scrivere una frazione con il numero decimale al numeratore e 1 al denominatore, poi moltiplicare entrambi i termini per una potenza di 10 adatta a eliminare la virgola.
Esempio 1.15: Trasforma in frazione il numero decimale: \(16,25\)
\[16,25 = \frac {16,25}{1} = \frac {16,25 \cdot 100}{1 \cdot 100} = \frac {1625}{100} = \frac {65}{4}\]
Ma se il numero decimale è periodico, questo meccanismo non può essere usato: dovrei moltiplicare per un 1 seguito da infiniti zeri e ciò risulta un po’ difficile già solo da scrivere.
Il problema è che nei numeri periodici abbiamo infinite cifre decimali, ma per scrivere la frazione dobbiamo averne un numero finito… Qualche ignoto matematico ha inventato un metodo geniale per eliminare infinite cifre decimali con una semplice operazione: basta eseguire un’opportuna sottrazione.
Supponiamo di voler trasformare il numero \(n = 14,3\overline {56}\) in frazione, moltiplichiamo n per 1000 e da questo togliamo il numero di partenza moltiplicato per 10:
Abbiamo così eliminato il periodo scoprendo che \(990n\) è un numero intero: \[990n = 14\,213\] Adesso è facile: se 990 enne valgono 14 213, un solo enne varrà: \(\dfrac {14\,213}{990}\) quindi: \[14,3\overline {56} = \frac {14\,213}{990}\] Con una qualunque calcolatrice si può verificare il risultato.
La generalizzazione del precedente esempio porta al seguente
Teorema 1.3: Un numero decimale periodico è equivalente ad una frazione che ha:
Perciò ogni frazione può essere trasformata in numero decimale e ogni numero decimale, limitato o periodico, può essere trasformato in una frazione. Quindi usare l’una o l’altra delle due notazioni per i numeri razionali è equivalente.
Oservazione 1.10: Applica la precedente regola per trasformare in frazione il numero \(3,\overline {9}\).
\(3,\overline {9} = \dfrac {39 - 3}{9} = \dfrac {36}{9} = 4\)
È un po’ sorprendente! È solo un caso? Prova con altri numeri decimali di periodo \(\overline {9}\).
Abbiamo parlato di numeri decimali limitati e di numeri decimali periodici, esistono anche numeri decimali illimitati e non periodici? Se un numero decimale continua all’infinito, è possibile che continui ad essere diverso e non succeda che da un certo punto in poi incominci a ripetersi?
È possibile costruire dei numeri decimali illimitati che sicuramente non saranno periodici. Eccone
alcuni:
\(0,101001000100001000001000000100000001\dots \)
\(0,1234567891011121314151617181920212223\dots \)
\(0,1223334444\dots 9999999991010101010101010101011\dots \)
Ma si può dimostrare che anche \(\sqrt {2}\), \(\sqrt {3}\)…, e anche: \(3,14159265358979323846264338327950288\dots \) a cui è stato dato il nome di \(\pi \) (pi greco) e: \(2,71828182845904523536028747135266249\dots \) a cui è stato dato
il nome di \(e\) (costante di Eulero, o di Nepero) sono numeri che non possono essere scritti sotto forma di
frazioni e quindi sono illimitati e non periodici.
Tutti questi numeri non sono numeri razionali e si chiamano “irrazionali”.
Oservazione 1.11: In realtà, non solo esistono numeri irrazionali, ma il matematico Cantor ha dimostrato che i numeri irrazionali sono infinitamente di più dei numeri razionali (che già sono infiniti).
L’estensione di numeri dai naturali agli iteri, ha portato in dote gli opposti dei numeri, cioè gli elementi inversi rispetto all’addizione. E questo ha permesso di poter calcolare sempre la differenza di due numeri trasformando la sottrazione in una addizione.
L’estensione di numeri dagli iteri ai razionali, ha portato in dote i reciproci dei numeri, cioè gli elementi inversi rispetto alla moltiplicazione. E questo ha permesso di poter calcolare sempre il quoziente esatto di due numeri trasformando la divisione in una addizione.
Le altre proprietà delle operazioni già richiamate per i numeri interi restano valide anche per i numeri razionali.
Per quanto riguarda la struttura \(\coppia {\Q }{\times }\) ora possiede anche l’elemento inverso di ogni numero non nullo quindi questa struttura è un gruppo.
La struttura composta dai numeri razionali e dalle due operazioni addizione e moltiplicazione, \(\terna {\Q }{+}{\times }\) viene chiamata campo.
In questa struttura si possono risolvere tutte le equazioni del tipo: \(ax +b = 0\).
Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc, Devono spesso usare numeri molto grandi, o molto piccoli in valore assoluto, per rappresentare le misure degli oggetti di cui si occupano.
I primi due numeri sono ‘molto grandi’, mentre l’ultimo è ‘molto piccolo’ e operare con numeri simili, non è affatto semplice.
Definizione 1.13: Un numero \(\alpha \) è scritto in notazione scientifica se si presenta nella forma:
\[\alpha = a\cdot 10^n\]dove \(a\) è un numero decimale maggiore o uguale a \(1\) e minore di \(10\) e \(n\) è un numero intero.
Esempio 1.16: I numeri \(3,5\cdot 10^7\) e \(8,9\cdot 10^{-5}\) sono scritti in notazione scientifica, mentre i numeri \(0,5\cdot 10^3\) e \(10,3\cdot 10^{-8}\) non sono scritti in notazione scientifica in quanto il numero davanti alla potenza di 10 nel primo caso è 0,5 che è minore di 1, nel secondo caso è 10,3 che è maggiore di 10.
Trasformiamo in notazione scientifica il diametro del globulo rosso, \(0,000007\unit {m}\):
\(0,000007\unit {m}=\dfrac {7}{1\,000\,000}\unit {m}= 7\cdot \dfrac {1}{1\,000\,000}\unit {m}= 7\cdot 10^{-6}\unit {m}\)
Applicando un meccanismo analogo al numero 0,000000026:
\(0,000000026=\dfrac {2,6}{100\,000\,000}= 2,6\cdot \dfrac {1}{100\,000\,000}= 2,6\cdot \dfrac {1}{10^8}=2,6\cdot 10^{-8}\)
Si osservi che in questo secondo caso abbiamo posto a numeratore il valore 2,6 anziché 26, in quanto il numero \(k\) deve essere minore di 10.
Consideriamo ora la misura del raggio medio della Terra, ovvero \(6\,378\,000\unit {m}\), la sua espressione in notazione scientifica sarà: \(6\,378\,000\unit {m} = 6,378\cdot 1\,000\,000 = 6,378\cdot 10^6\).
Oservazione 1.12: A numeri ‘piccoli’ in valore assoluto, corrispondono potenze di dieci con esponente negativo; a numeri ‘grandi’ in valore assoluto, corrispondono potenze di dieci con esponente positivo.
Procedura 1.2: Scrivere un numero decimale in notazione scientifica:
Esempio 1.17: Scrivi 348 000 000 000 000 in notazione scientifica. Per comodità riscrivo il numero evidenziando l’attuale posizione della virgola: 348 000 000 000 000,0.
Esempio 1.18: Scrivi 0,0000340 in notazione scientifica.
Esempio 1.19: Trasforma in notazione scientifica e calcola \(\displaystyle {\frac {3000:6\text { milioni}}{5000\cdot 0,000002}}\). \begin {align*} \frac {3000:6\text { milioni}}{5000\cdot 0,000002}&=\frac {3\cdot 10^3: (6\cdot 10^6)}{5\cdot 10^3\cdot (2\cdot 10^{-6})} =\frac {3:6\cdot 10^{-3}}{5\cdot 2\cdot 10^{-3}} =\frac {0,5}{10}\cdot 10^{-3+3} = 0,05\cdot 10^0 = 5\cdot 10^{-2} \end {align*}
Esempio 1.20: Calcola l’area di un rettangolo di dimensioni:
Usando la notazione decimale solita:
\[A = b \cdot h = 0,000\,000\,04\unit {m} \cdot 0,000\,000\,09\unit {m}= 0,000\,000\,000\,000\,36\unit {m^2}\] Lo stesso problema può essere espresso in notazione scientifica: \[A = b\cdot h = \tonda {4 \cdot 10^{-8}\unit {m}} \cdot \tonda {9 \cdot 10^{-8}\unit {m}}= 36\cdot 10^{-16}\unit {m^2} \]
Spesso, nel trattare i numeri ‘molto grandi’ o ‘molto piccoli’, non è importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto è grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il seguente concetto.
Definizione 1.14: Dato un numero scritto in forma scientifica, si definisce ordine di grandezza (abbreviato con la sigla o.d.g.), la potenza di \(10\).
Procedura 1.3: Determinare l’ordine di grandezza di un numero:
Esempio 1.21: Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000 074 e 47 000 000 000.
Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica: \[0,000\,074 = 7,4\cdot 10^{-5} \sstext { e } 47\,000\,000\,000 = 4,7\cdot 10^{10}.\] L’o.d.g. del primo numero è \(10^{-5}\); l’o.d.g del secondo numero è \(10^{10}\).
Spesso un dato preso da solo non dà molte informazioni. Sapere che in una scuola sono iscritte 400 femmine non dice molto. Diversa è la situazione se conosciamo anche qual è il numero complessivo degli alunni.
In questo caso le femmine sono una minoranza: c’è una femmina ogni 3 iscritti. Questa informazione si può ottenere calcolando il rapporto tra le femmine e il totale: \[\frac {Femmine}{Iscritti} = \frac {400}{1200} = \frac {1}{3} \approx 0,333\]
In questo caso le femmine sono una maggioranza: ci sono 2 femmine ogni 3 iscritti. Questa informazione si può ottenere calcolando il rapporto tra le femmine e il totale: \[\frac {Femmine}{Iscritti} = \frac {400}{600} = \frac {2}{3} \approx 0,666\]
Spesso il rapporto tra due valori è più interessante dei valori presi singolarmente. Quando il rapporto è tra due grandezze fisiche spesso si ottiene una nuova grandezza:
Quando abbiamo due rapporti uguali: \(\dfrac {a}{b} = \dfrac {c}{d}\) diremo che i quattro numeri \(a,~b,~c,~d\) sono in proporzione. Altra notazione per le proporzioni è quella che indica le divisioni con i duepunti: “:”, cioè: \(a:b=c:d\), e si legge: “\(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\)”.
I due numeri che si trovano al centro si chiamano medi e gli altri due si dicono estremi.
La proprietà fondamentale delle proporzioni:
Teorema 1.4: In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (detto anche prodotto incrociato): \[a:b=c:d \sLRarrow \dfrac {a}{b} = \dfrac {c}{d} \sLRarrow a \cdot d = b \cdot c\]
Da questa proprietà possiamo ricavare le formule per calcolare un medio o un estremo: \[a = \frac {b \cdot c}{d} \quad \text { e } \quad b = \frac {a \cdot d}{c}\]
Un problema che ha collegamenti in altri ambiti della matematica riguarda l proporzioni continue.
Definizione 1.15: Si dice continua una proporzione che ha i medi uguali: \[a : b = b : c\]
In questo caso la proprietà fondamentale diventa: \(b^2 = a \cdot c\),
da cui si ricava: \(b = \sqrt {a \cdot c} \quad \text { e } \quad a = \dfrac {b^2}{c}\)
Il rapporto è, di solito, un numero con la virgola e, quando è realizzato tra una parte e il tutto ha un valore compreso tra zero e uno. Dato che le persone normali provano un certo fastidio per i numeri con la virgola sono state inventate le percentuali che sono date dal rapporto moltiplicato per 100 e seguito dal simbolo “%”. Sempre riferendoci all’esempio precedente: \[\frac {1}{3} \approx 0,33 = 33\% \qquad \frac {2}{3} \approx 0,66 = 66\%\] Dire il 10% o dire 0,1 è lo stesso, dire 25% o dire 0,25 è lo stesso, …
Definizione 1.16: La percentuale è il rapporto tra due grandezze moltiplicato per 100.
Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere per 100 il numero che esprime la percentuale:
\[35\% = \frac {35}{100} = 0,35;\qquad 7\% = \frac {7}{100} = 0,07; \qquad 12,5\% = \frac {12,5}{100} = 0,125\]
Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta moltiplicare numeratore e denominatore per 100:
\[0,02 = \frac {0,02}{1} = \frac {2}{100} = 2\%; \qquad 0,23 = \frac {0,23}{1} = \frac {23}{100} = 23\%; \qquad 1,21 = \frac {1,21}{1} = \frac {121}{100} = 121\%\]
Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale:
\[\frac {2}{3} = 0,\overline {6} = \frac {0,\overline {6}}{1} = \frac {66,\overline {6}}{100} = 66,\overline {6}\%\]
Abbiamo visto come si possono eseguire le operazioni tra numeri razionali espressi come frazioni. Ora mettiamo insieme diverse operazioni per calcolare intere espressioni.
Teniamo presente che la linea di frazione equivale ad una coppia di parentesi per cui le parentesi, se contengono solo una frazione, non sono più necessarie.
Esempio 1.22: Calcola il valore della seguente espressione.
\[\graffa { \frac {3}{20}\cdot \quadra { \tonda {\frac {4}{9}-\frac {1}{3}}):5 + \tonda {\frac {3}{7}-\frac {2}{5}} : \frac {1}{14}+\frac {1}{5}\cdot \frac {1}{9}}+ \frac {2}{15}} : 2=\]
\[= \graffa { \frac {3}{20}\cdot \quadra { \frac {4 - 3}{9} \cdot \frac {1}{5} + \frac {15-14}{35}\cdot \frac {14}{1} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2}= \]
\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra { \frac {1}{9} \cdot \frac {1}{5} + \frac {1}{35}\cdot \frac {14}{1} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2}=\]
\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra {\frac {1}{45} + \frac {2}{5} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]
\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra {\frac {1+18+1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} = \graffa {\frac {3}{20} \cdot \frac {20}{45} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]
\[= \graffa { \frac {1}{15} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]
\[=\frac {3}{15} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{6}\]
Nel prossimo esempio viene usato il metodo rapido per sommare un intero ad una frazione.
Esempio 1.23: Calcola il valore della seguente espressione.
\begin {flalign*} &\quadra { \frac {13}{5}:\tonda {3+\frac {9}{10}}+\frac {7}{8}+ \tonda {\frac {13}{4}-2}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8}}\cdot \frac {11}{3}:\tonda {6-\frac {1}{2}}=&\\ &=\quadra { \frac {13}{5}:\frac {39}{10}+\frac {7}{8}+ \frac {5}{4}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {11}{3}:\frac {11}{2}=\\ &=\quadra { \frac {13}{5}\cdot \frac {10}{39}+\frac {7}{8}+ \frac {5}{4}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {11}{3}\cdot \frac {2}{11}=\\ &=\quadra { \frac {2}{3}+\frac {7}{8}+\frac {1}{3}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {2}{3}=\\ &=\quadra { \frac {2}{3}+\frac {1}{3} }\cdot \frac {2}{3}=1\cdot \frac {2}{3}=\frac {2}{3} \end {flalign*}
Le potenze hanno la precedenza sulle altre operazioni, ma quando ci sono anche potenze da calcolare, conviene sempre controllare se è possibile usare qualche proprietà. Non solo, ma anche quando non è possibile utilizzare le proprietà delle potenze, a volte può essere conveniente non eseguire la potenza ma scriverla sotto forma di prodotto:
Esempio 1.24: \(\tonda {\dfrac {2}{3}}^4 \cdot \tonda {\dfrac {9}{4}}^3 = -\dfrac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 9\cdot 9\cdot 9} {3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 4} = \dfrac {9}{4}\)
In questo caso siamo riusciti a risolvere l’espressione senza eseguire alcuna moltiplicazione.
Esempio 1.25: Calcola il valore della seguente espressione.
\begin {align*} &\quadra { \tonda {\frac {7}{5}-\frac {1}{2}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \tonda {\frac {2}{15}}^{4}\cdot \tonda {\frac {5}{2}}^2\cdot \tonda {\frac {15}{2}}^{2} }^{2}: \tonda {\frac {10}{9}}^{2}- \tonda {1+\frac {8}{5}+\frac {1}{25}}=&\\ &=\quadra { \tonda {\frac {14 - 5}{10}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{15\cdot 15\cdot 15\cdot 15}\cdot \frac {5\cdot 5}{2\cdot 2}\cdot \frac {15\cdot 15}{2\cdot 2} }^{2}: \tonda {\frac {10}{9}}^{2}- \frac {25 + 40 + 1}{25}=\\ &=\quadra { \tonda {\frac {9}{10}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {1}{9} }^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\quadra { 1 -\frac {1}{9} }^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\quadra {\frac {8}{9}}^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\frac {8\cdot 8}{9\cdot 9}\cdot \frac {9\cdot 9}{10\cdot 10}- \frac {66}{25}=\frac {16}{25}-\frac {66}{25}=-\frac {50}{25}=-2 \end {align*}
Se nell’espressione, oltre alle frazioni, ci sono anche numeri decimali limitati o periodici, conviene in un primo passaggio trasformare ogni numero razionale in frazione e poi calcolare.
Esempio 1.26: Calcola il valore della seguente espressione.
\begin {align*} &3,5 \cdot 0,4-1,2-0,8\bar {6}\cdot \tonda { 1,\bar {6}+5,8\bar {3}-5,5-\frac {23}{13} }=&\\ &=\frac {35}{10} \cdot \frac {4}{10}-\frac {12}{10}- \frac {86-8}{90}\cdot \tonda { \frac {16-1}{9}+\frac {583-58}{90}-\frac {55}{10}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {7}{5}-\frac {6}{5}- \frac {78}{90}\cdot \tonda { \frac {15}{9}+\frac {525}{90}-\frac {55}{10}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \tonda { \frac {5}{3}+\frac {35}{6}-\frac {11}{2}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \tonda { \frac {5}{3}+\frac {35}{6}-\frac {11}{2}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \frac {130+455-429-138}{2\cdot 3\cdot 13}=\\ &=\frac {1}{5}-\frac {13}{15}\cdot \frac {18}{2\cdot 3\cdot 13}= \frac {1}{5}-\frac {1}{5}=0 \end {align*}
Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la grandezza intera per la frazione: \(parte = \dfrac {m}{n} \cdot tot\).
Esempio 1.27: Una pasticceria produce 568 cornetti a settimana: i \(3/4\) sono alla crema, \(1/8\) sono al cioccolato e \(1/8\) alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo produce?
Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna frazione:
Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezza si deve
calcolare il valore dell’intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la
frazione, si ottiene così l’intero.
Dalla formula del problema diretto si ricavano le formule dei due problemi inversi: \[tot = parte : \dfrac {m}{n} = parte \cdot \dfrac {n}{m} \sstext {e:} \dfrac {m}{n} = \dfrac {parte}{tot}\]
Esempio 1.28: Mario ha speso \(21\matheuro \) che corrispondono ai \(3/5\) della somma che possedeva. Quanto possedeva?
È sufficiente dividere 21 per la frazione: \(21\matheuro : \dfrac {3}{5} = 21\matheuro \cdot \dfrac {5}{3}=35\matheuro \)
Esempio 1.29: Giuseppe ha una certa somma a disposizione \(D0 = 150\matheuro \). Se spende i \(3/5\) della disposizione iniziale e poi i \(2/3\) della somma rimanente, quanto ha a disposizione alla fine?
Primo metodo
La prima volta Giuseppe spende: \(S1 = \cdot \dfrac {3}{5} \cdot D0 = \dfrac {3}{5} \cdot 150\matheuro = 90\matheuro \)
perciò gliene rimangono: \(D1 = D0 - S1 = 150\matheuro - 90\matheuro = 60\matheuro \)
la seconda volta spende i \(2/3\) di \(60\matheuro \), cioè \(S2 = \dfrac {2}{3} \cdot 60\matheuro = 40\matheuro \)
in tutto ha speso: \(ST = S1 + S2 = 90\matheuro + 40\matheuro = 130\matheuro \)
gli rimangono dunque: \(D2 = D0 - ST = 150\matheuro - 130\matheuro = 20\matheuro \).
Secondo metodo:
osserviamo che, se la prima volta ha speso: \(S1 = D0 \cdot \dfrac {3}{5}\),
significa che gli rimane: \(D1 = D0 - D0 \cdot \dfrac {3}{5} = \tonda {1-\dfrac {3}{5}} D0 = \dfrac {2}{5} D0\)
La seconda volta spende i \({2}/{3}\) dei \({2}/{5}\) della somma,
cioè: \(S2 = \dfrac {2}{3} \cdot \dfrac {2}{5} D0 = \dfrac {4}{15} D0\).
In tutto ha speso: \(ST = S1 + S2 = \dfrac {3}{5} D0 + \dfrac {4}{15} D0 = \dfrac {3\cdot 3+4}{15} D0 =\dfrac {13}{15} D0\)
gli rimane perciò: \(D2 = D0 - \dfrac {13}{15} D0 = \dfrac {2}{15} D0\)
pertanto gli rimangono \(D2 = \dfrac {2}{15} D0 = \dfrac {2}{15} \cdot 150\matheuro = 20 \matheuro \).
Esempio 1.30: Trova due numeri sapendo che la loro somma è 108 e uno è i 4/5 dell’altro.
Un altro modo per risolvere il problema precedente è illustrato nel seguente esempio.
Esempio 1.31: Trova due numeri sapendo che la loro somma è 4800 e uno è i 3/7 dell’altro.
Dalla formula \(perc = \dfrac {parte}{totale}\) si possono ricavare le formule inverse:
\(parte = totale \cdot perc \quad \text { e } \quad totale = \dfrac {parte}{perc}\)
Esempio 1.32: In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono stati i promossi?
Per rispondere, si moltiplica il numero totale di alunni per la percentuale \(0,95 = 95/100\).
Precisamente \(\dfrac {95}{100} \cdot 857 0,95 \cdot 857 = 814,15\). Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stata approssimata. Gli alunni promossi sono stati 814.
A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso applichiamo la definizione: \(perc = parte/totale\).
Esempio 1.33: In una scuola, 126 alunni svolgono attività sportive, mentre 520 no. Qual è la percentuale degli “sportivi”?
\[perc = \frac {parte}{totale} = \frac {126}{126+520} = \frac {126}{646} \approx 0,19504644 \approx 19,50\%\]
A volte conosciamo una parte di una popolazione e la corrispondente percentuale.
Esempio 1.34: Sappiamo che 47 individui costituiscono il 3% di una popolazione. A quanto ammonta l’intera popolazione?
\[totale = \frac {parte}{perc} = \frac {47}{.03} = 1566,\overline 6 \approx 1567\]
Esempio 1.35: Un pantalone costava \(70\matheuro \) e viene venduto con il \(20\%\) di sconto, a quanto viene venduto?
Primo metodo:
Sconto \(= 70\matheuro \cdot 20\% = 70\matheuro \cdot 0,20 = \dfrac {20}{100}\cdot 70\matheuro = 14\),
prezzo scontato: \(70\matheuro -14\matheuro = 56\matheuro \).
Secondo metodo:
Il prezzo finale sarà \(100\%\) del prezzo meno il \(20\%\) del prezzo:
\(70\matheuro \cdot \tonda {100\% - 20\%} = 70\matheuro \cdot \tonda {1,00 - 0,20} = 70\matheuro \cdot 0,80 = 56\matheuro \).
Esempio 1.36: Un paio di scarpe da