MATEMATICA \(C^3\)

MATEMATICA DOLCE 1 - LICEI Testo per il primo biennio
della Scuola Secondaria di \(II\) grado
Numeri razionali

Versione accessibile Edizione - 2022

Matematica \(C^3\) Matematica dolce 1 - licei

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Coordinatori del Progetto: Daniele Zambelli.

Autori: Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.

Hanno Collaborato: Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.

Progettazione e Implementazione in LaTeX: Dimitrios Vrettos, Daniele Zambelli.

Collaboratori: Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli, Daniele Zambelli.

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Stampa edizione 2022: agosto 2022.

ISBN 9788899988005

DATI TECNICI PER LADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

Titolo: Matematica \(C^3\), Matematica dolce 1 - licei -2022.

Codice ISBN: 9788899988005

Editore:

Anno di edizione: 2022.

Prezzo pdf:

Formato: ebook (PDF).

Indice

Numeri razionali
 1.1 I numeri razionali
 1.2 Notazione decimale
 1.3 Frazioni
  1.3.1 Rappresentazione mista
  1.3.2 Rappresentazione sulla retta
  1.3.3 Frazioni equivalenti
  1.3.4 Confronto di frazioni
  1.3.5 Operazioni con le frazioni
 1.4 Decimali contro frazioni
  1.4.1 Da frazione a decimale
  1.4.2 Da decimale a frazione
  1.4.3 Numeri decimali illimitati non periodici
 1.5 Proprietà delle operazioni nei numeri razionali \(\Q \)
 1.6 Notazione scientifica e ordine di grandezza
  1.6.1 Notazione scientifica
  1.6.2 Ordine di grandezza
 1.7 Rapporto, percentuale, proporzioni
  1.7.1 Rapporto
  1.7.2 Proporzioni
  1.7.3 Percentuale
 1.8 Espressioni con le frazioni
 1.9 Problemi
  1.9.1 Problemi con le frazioni
  1.9.2 Problemi con le percentuali
  1.9.3 Problemi con gli sconti
 1.10 Un po’ di storia
 1.11 Esercizi
  1.11.1 Esercizi riepilogativi

Capitolo 1
Numeri razionali

1.1 I numeri razionali

Abbiamo visto che con i numeri interi, \(\Z \), possiamo sempre eseguire 3 delle 4 operazioni aritmetiche: la divisione tra numeri interi non sempre è un intero. Per semplificarci la vita e non dover sempre distinguere i vari casi, vogliamo creare un insieme di numeri che contenga anche tutti i quozienti tra due numeri dell’insieme. Chiameremo questo insieme “Insieme dei numeri razionali” e lo indicheremo con il simbolo \(\Q \).

Presi due numeri dell’insieme \(n\) e \(d\), di cui il secondo diverso da zero, anche il loro quoziente deve appartenere allo stesso insieme:

\[\forall n,~d \neq 0 \in \Q \sLRarrow n : d \in \Q \] Cioè la funzione divisione esatta dovrà essere definita per ogni dividendo e per ogni divisore diverso da 0.

Abbiamo visto che per passare dai Naturali agli Interi è bastato aggiungere un segno ai numeri (e rivedere le varie regole per il confronto e le operazioni). Per ottenere i Razionali le cose non sono così semplici: abbiamo diversi modi di rappresentare lo stesso numero razionale e dovremo a seconda dei casi scegliere quello più comodo.

1.2 Notazione decimale

Vediamo per prima la notazione decimale, quella che usa la virgola per separare la parte intera del numero dalla sua parte decimale.

Oservazione 1.1: Nei paesi anglosassoni si usa il punto al posto della virgola. La tua calcolatrice presenta i numeri in italiano o in americano?

Riprendiamo la divisione intera presentata nel paragrafo sulla divisione del capitolo sui numeri naturali. Ma questa volta lo abbreviamo un po’: il risultato della moltiplicazione viene tolto al volo dal dividendo e viene scritto direttamente il nuovo resto.

M C D  U
4 3 4  7, 3 5
  8 4     1 2  4, 2
  1 4  7  C D  U d
       7  0
          0

La filastrocca di questa divisione è:
Il 35 nel 43 ci sta 1 volta, scrivo 1 con il resto di 8; riporto il 4.
Il 35 nel 84 ci sta 2 volte, scrivo 2; 2 per 35 fa 70 all’84: 14; riporto il 7.
Il 35 nel 147 ci sta 4 volte, scrivo 4; 4 per 35 fa 140 al 147: 7.

A questo punto scrivo la virgola nel quoziente parziale e aggiungo uno 0 al resto parziale e riprendo la filastrocca: Il 35 nel 70 ci sta 2 volte, scrivo 2; 2 per 35 fa 70 al 70: 0.
Questa volta ho ottenuto come resto 0 e l’algoritmo della divisione si ferma.

Proviamo con un altro esempio: \(1523 : 7 =\)

Il 7 nel 15 ci sta 2 volte. Scrivo 2 come prima cifra del quoziente. 2 per 7 uguale 14, al 15: 1. Scrivo 1 sotto al 5 e riporto il 2.

Il 7 nel 12 ci sta 1 volta. Scrivo 1 come seconda cifra del quoziente. 1 per 7 fa 7, al 12: 5. Scrivo 5 sotto al 2 e riporto il 3.

Il 7 nel 53 ci sta 7 volte. Scrivo 7 come terza cifra del quoziente. 7 per 7 fa 49, al 53: 4. Scrivo 4 sotto al 3.

M C  D  U d  c m
1 5  2  3,       7
  1  2           2 1  7, 5 7 1  4 6 8
     5  3        C D  U  d c m
        4 0
          5  0
             1 0
               3 0
                 2 0

                   6  0
                      4

A questo punto nella divisione intera ci eravamo fermati, ora invece aggiungiamo 0 decimi a destra di 4 e calcoliamo quanti decimi di 7 sono contenuti in 40 decimi e con quale resto e procediamo così continuando ad aggiungere zeri e procedendo sempre con le stesse operazioni. Potremmo avere l’impressione che questo “algoritmo” non termini mai. Ed è proprio così!

L’algoritmo della divisione può fermarsi producendo ad un certo punto il resto 0, oppure andare avanti all’infinito. Ma siamo sicuri che la seconda divisione che abbiamo visto non si fermi mai? Magari dopo 200 cifre decimali potrebbe avere resto 0? Prova a calcolare qualche altra cifra decimale ….

Puoi osservare che dopo il resto 4 ci sarà senz’altro il resto 5 e dopo di sicuro il resto 1 e poi 3, poi 2, poi 6, poi 4, poi 5, poi …Ma se le cose stanno così anche le cifre decimali si ripeteranno sempre allo stesso modo, quindi:

\[1523 : 7 = 217,571468571468571468571468571468\ldots = 217,\overline {571468} = 217,\tonda {571468}\]I numeri di questo tipo si chiamano numeri periodici e si possono rappresentare scrivendo il periodo una sola volta soprassegnato o posto tra parentesi.

In definitiva:

Definizione 1.1: Un numero razionale può essere scritto come numero decimale limitato o come numero decimale periodico.

Quindi i numeri decimali, limitati o periodici ci permettono di rappresentare tutti i possibili risultati delle divisioni.

Perfetto! Perfetto? Mah …

Durante la scuola primaria abbiamo imparato ad eseguire le operazioni con i numeri decimali, ma solo con i numeri decimali limitati. Come sommare o moltiplicare tra di loro due numeri decimali periodici? È un bel problema.

1.3 Frazioni

Un altro modo per rappresentare i risultati della divisione è geniale perché permette di ottenere il risultato della divisione senza eseguirla. Ad esempio se vogliamo dividere 100 in 23 parti uguali basta applicare l’algoritmo della divisione. Prova a farlo prima di procedere con la lettura.

Il risultato è: \(100 \div 23 = 4,\overline {3478260869565217391304}\)

Lo stesso risultato si può ottenere inventando un nuovo modo di rappresentare il risultato della divisione: \(100 \div 23 = \dfrac {100}{23}\)

E dividere 42 per 75? \(\quad 42 \div 75 = \dfrac {42}{75} \quad \) Fatto!

L’oggetto matematico: \(\quad \dfrac {42}{75} \quad \) si chiama frazione ed è composto da tre parti: numeratore, linea di frazione, denominatore.

4ln2induneemuanmoedmriiafrntaaoztreioornee
75den

Questo nuovo oggetto matematico ci permette di evitare, in molti casi, l’esecuzione dell’algoritmo della divisione.

Ma dobbiamo risolvere alcuni altri problemi…Se una frazione rappresenta un numero (razionale) dobbiamo imparare a fare, con le frazioni, quello che sappiamo fare con i numeri:

Prima di affrontare questi due temi, però, applichiamo alle frazioni un’importante proprietà delle divisioni.

Oservazione 1.2: Dalle regole dei segni della divisione consegue un’importante osservazione riguardo l’uso dei segni nelle frazioni: \[-\dfrac {a}{b} = \dfrac {-a}{b} = \dfrac {a}{-b} \quad \text {e} \quad +\dfrac {a}{b} = \dfrac {+a}{+b} = \dfrac {-a}{-b} \]

1.3.1 Rappresentazione mista

Consideriamo la frazione \(\dfrac {3}{3}\). Dividere qualcosa in tre parti e poi prenderle tutte e tre significa prenderla tutta: tre terzi significa un intero. E quattro terzi? Quattro terzi significa un intero più un terzo.

Ogni frazione può essere scritta in forma mista cioè nella somma di una parte intera più una frazione minore di uno. Vediamo alcuni esempi: \[\frac {4}{3} = 1 + \frac {1}{3}; \quad \frac {5}{3} = 1 + \frac {2}{3}; \quad \frac {6}{3} = 2 + \frac {0}{3}; \quad \frac {5}{6} = 0 + \frac {5}{6}; \quad \frac {7}{2} = 3 + \frac {1}{2}; \quad -\frac {8}{5} = -\tonda {1 + \frac {3}{5}}; \quad \]

1.3.2 Rappresentazione sulla retta

È possibile rappresentare i numeri razionali su un asse cartesiano. Una retta dotata di verso e unità di misura permette di associare ad ogni numero razionale un preciso punto.

Alcuni esempi:

−−−−−−0++++++141234435363527222−−−−− 6 5 4 3 2 1123456456543521392137

Teorema 1.1: Tra due numeri razionali diversi esiste sempre almeno un altro numero razionale.

Infatti nei numeri razionali è sempre possibile calcolare la media tra due numeri e se questi sono diversi tra loro, la media è maggiore del più piccolo e minore del più grande.

Corollario 1.2: Tra due numeri razionali diversi esistono infiniti altri numeri razionali.

Le affermazioni precedenti si riassumono dicendo che:

Definizione 1.2: L’insieme dei numeri razionali è denso.

1.3.3 Frazioni equivalenti

La divisione \(42 \div 75 \) dà come risultato 0,56, ma, per la proprietà invariantiva della divisione, otteniamo lo stesso risultato anche moltiplicando o dividendo il dividendo e il divisore per uno stesso numero diverso da zero:
\(42 \div 75 = 84 \div 150 = 14 \div 25\). Per come abbiamo definito le frazioni discende immediatamente che:
\[\dfrac {42}{75} = \dfrac {84}{150} = \dfrac {14}{25}\]

Oservazione 1.3: Attenzione al simbolo: \(=\) usato sopra: non significa che le due frazioni sono uguali, ma che, pur essendo diverse, rappresentano lo stesso numero razionale. Sono due nomi diversi per lo stesso numero.

In generale: moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero diverso da zero ottengo una frazione diversa ma che rappresenta lo stesso numero razionale: \[\forall n \neq 0 \quad \frac {a}{b} = \frac {a \cdot n}{b \cdot n} = \frac {a \div n}{b \div n}\]

Definizione 1.3 (Frazioni equivalenti): Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero razionale.

Oservazione 1.4: Dato che ci sono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale, in generale conviene usare come rappresentante di quel numero, la frazione che ha numeratore e denominatore più piccoli questa frazione si dice ridotta ai minimi termini.

Una frazione si riduce ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per tutti i divisori comuni o dividendo numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.

Esempio 1.1: Riduci ai minimi termini la frazione \(\dfrac {420}{360}\)

Primo metodo: \[\dfrac {420}{360} = \dfrac {42}{36} = \dfrac {21}{18} = \dfrac {7}{6} \] Oppure, scoperto che il \(\text {MCD}\coppia {420}{360}=60\) dividendo sia il numeratore sia il denominatore per 60: \[\dfrac {420}{360} = \dfrac {7}{6}\]

Un altro modo per ridurre ai minimi termini una frazione consiste nello scomporre in fattori primi il numeratore e il denominatore.

Esempio 1.2: Riduci ai minimi termini la frazione \(\dfrac {420}{360}\)

\(\dfrac {420}{360} = \dfrac {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac {7}{2 \cdot 3} = \dfrac {7}{6}\)

A volte, invece, non siamo interessati a trovare le frazioni ridotte ai minimi termini, ma, ad esempio, frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore.

Esempio 1.3: Date due frazioni \(a \stext {e} b\), trova due frazioni, equivalenti, con lo stesso denominatore.

1.
\(a = \dfrac {5}{6}, \quad b = \dfrac {3}{2}\): \(a'=\dfrac {5}{4}, \quad b'=\dfrac {3 \cdot 2}{2 \cdot 2}=\dfrac {6}{4}\)
2.
\(a = \dfrac {1}{3}, \quad b = \dfrac {1}{9}\): \(a'=\dfrac {1 \cdot 3}{3 \cdot 3}=\dfrac {3}{9}, \quad b'=\dfrac {1}{9}\)
3.
\(a = \dfrac {5}{7}, \quad b = \dfrac {1}{4}\): \(a'=\dfrac {5 \cdot 4}{7 \cdot 4}=\dfrac {20}{28}, \quad b'=\dfrac {1 \cdot 7}{4 \cdot 7}=\dfrac {7}{28}\)

Oservazione 1.5: Date due frazioni qualsiasi posso sempre trovarne due equivalenti che abbiano lo stesso denominatore (o numeratore): \[\text {Date due frazioni: } \frac {a}{b} \quad \text {e} \quad \frac {c}{d} \sRarrow \frac {a}{b} = \frac {a \cdot d}{b \cdot d} \quad \text {e} \quad \frac {c}{d} = \frac {c \cdot b}{d \cdot b}\]

Dall’osservazione precedente si ricava un criterio semplice per vedere se due frazioni sono equivalenti:

Definizione 1.4: Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda (prodotto incrociato). \[\frac {a}{b} = \frac {c}{d} \sLRarrow a \cdot d = b \cdot c\]

1.3.4 Confronto di frazioni

Definizione 1.5: Nel confronto tra due frazioni:

Esempio 1.4: Stabilisci perché sono vere le seguenti proposizioni:

1.
\(\dfrac {4}{12} = \dfrac {5}{15}\) perché \(4 \cdot 15 = 5 \cdot 12\)
2.
\(-\dfrac {12}{7} > -\dfrac {15}{7}\) perché \(-12 > -15\) o perché \(-12 \cdot 7 > -15 \cdot 7\)
3.
\(\dfrac {6}{5} > \dfrac {6}{10}\) perché \(5 < 10\) o perché \(6 \cdot 10 > 5 \cdot 10\)
4.
\(\dfrac {7}{8} < \dfrac {5}{4}\) perché \(\dfrac {7}{8} < \dfrac {10}{8} = \dfrac {5}{4}\) o perché \(7 \cdot 4 < 5 \cdot 8\)

1.3.5 Operazioni con le frazioni

Addizione algebrica

L’addizione algebrica è l’operazione più complicata da effettuare con le frazioni.

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore la loro somma è semplice da trovare:

Definizione 1.6: La somma di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori: \[\frac {a}{c} \mp \frac {b}{c} = \frac {a \mp b}{c}\]

Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore, si sommano due frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.

Spesso, invece di adoperare la moltiplicazione incrociata per eseguire la l’addizione, si riducono le due frazioni allo stesso denominatore, usando il minimo comune multiplo: questo permette di ridurre notevolmente i calcoli.

a   c          ad   bc   ad∓ bc
b××××ddbb∓ d-   =     bd ∓ bd = --bd---

Esempio 1.5: Calcola \(\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18}\)

Primo metodo Usiamo il metodo della moltiplicazione incrociata: \[\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18} = \dfrac {5 \cdot 18 - 7 \cdot 12}{12 \cdot 18} = \dfrac {90 - 84}{216} = \dfrac {6}{216} = \dfrac {1}{36}\]

Se invece di usare un multiplo qualsiasi dei denominatori, si usa il \(\mcm \), i calcoli possono ridursi.

Procedura 1.1 (Somma di frazioni): 

1.
scomporre i denominatori in fattori primi;
2.
scrivere le frazioni come un’unica frazione che ha per denominatore il \(\mcm \);
3.
eseguire le operazioni.

Esempio 1.6: Calcola \(\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18}\)

Il numero apposto ai vari passaggi fa riferimento alla procedura appena descritta. \[\dfrac {5}{12} - \dfrac {7}{18} \stackrel {1}{=} \dfrac {5}{2^2 \cdot 3} - \dfrac {7}{2 \cdot 3^2} \stackrel {2}{=} \dfrac {5 \cdot 3 - 7 \cdot 2}{2^2 \cdot 3^2} \stackrel {2}{=} \dfrac {15 - 14}{4 \cdot 9} = \dfrac {1}{36}\] Espresso a parole diventa:
Scompongo in fattori primi i denominatori: \(12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \stext { e } 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2\);
il \(\mcm \coppia {2^2 \cdot 3}{2 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3^2\);
dato che il denominatore comune diviso il primo denominatore dà 3, il primo numeratore diventa \(5 \cdot 3\) dato che il denominatore comune diviso il secondo denominatore dà 2, il secondo numeratore diventa \(7 \cdot 2\);
eseguendo i calcoli ottengo: \(\dfrac {1}{36}\).

Oservazione 1.6: Data la naturale avversione degli esseri umani per la scomposizione in fattori, questo secondo metodo non pare più furbo, ma se osservate bene, si fanno calcoli con numeri più piccoli, non c’è più bisogno di svolgere divisioni e, soprattutto, in certi problemi sarà l’unico metodo percorribile. Tanto vale impararlo.

Quando dobbiamo addizionare una frazione con un numero intero possiamo seguire un metodo abbreviato che permette di eliminare dei passaggi banali come dividere un numero per sé stesso o moltiplicare un numero per 1.

Nel prossimo esempio vediamo i due metodi applicati alla somma tra una frazione e un numero intero.

Esempio 1.7: Calcola \(\dfrac {73}{20} - 3\)

Denominatore comune: \(\dfrac {73}{20} - 3 = \dfrac {73 \cdot 1 - 3 \cdot 20}{20} = \dfrac {73 - 60}{20} = \dfrac {13}{20}\)

Che espresso con la filastrocca è:

“Il denominatore comune è 20, 20 diviso 20 fa 1, 73 per 1 fa 73, l’1 nel 20 ci sta 20 volte, 3 per 20 fa 60, 73 meno 60 fa 13. Il risultato è: tredici ventesimi”.

Metodo più rapido: \(\dfrac {73}{20} - 3 = \tonda {\dfrac {73 - 60}{20}} = \dfrac {13}{20}\)

Che espresso con la filastrocca è:

“3 per 20 fa 60, 73 meno 60 fa 13 il risultato è: tredici ventesimi”.

Dove il passaggio tra parentesi, di solito viene fatto a mente.

Esempio 1.8: Esegui le seguenti addizioni:

1.
\(-\dfrac {20}{7} -\dfrac {15}{7} = -\dfrac {35}{7} = -5\)
2.
\(\dfrac {4}{12} - \dfrac {5}{15} = \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{3} = 0\)
3.
\(\dfrac {6}{5} + \dfrac {3}{10} = \dfrac {6}{5} + \dfrac {3}{2 \cdot 5} = \dfrac {12 + 3}{2 \cdot 5} = \newline = \dfrac {15}{10} = \dfrac {3}{2}\)
4.
\(2 + \dfrac {9}{7} = \tonda {\dfrac {14 + 9}{7}} = \dfrac {23}{7}\)
5.
\(\dfrac {15}{4} - 5 = \tonda {\dfrac {15 - 20}{4}} = -\dfrac {5}{4}\)
6.
\(\dfrac {5}{8} - \dfrac {7}{6} = \dfrac {5}{2^3} - \dfrac {7}{2 \cdot 3} = \dfrac {15 - 28}{2^3 \cdot 3} = \newline = -\dfrac {13}{24}\)

Moltiplicazione

Definizione 1.7: Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori: \[\dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {c}{d} = \dfrac {a \cdot c}{b \cdot d}\]

Oservazione 1.7: Anche in questo caso invece di semplificare il prodotto, conviene applicare la semplificazione incrociata prima di eseguire le moltiplicazioni.

Esempio 1.9: Calcola: \(\dfrac {112}{225} \cdot \dfrac {75}{56}\) \[\frac {112}{225} \cdot \frac {75}{56} = \frac {14}{9}\cdot \frac {3}{7} = \frac {2}{3} \]

Divisione

Prima di affrontare la divisione, diamo la definizione di reciproco:

Definizione 1.8: Il reciproco del numero \(a\), diverso da zero, è il numero \(a'\) tale che: \(a \cdot a' = 1\).

Il reciproco di zero non è definito.

Trovare il reciproco di una frazione è semplice.

Definizione 1.9: Il reciproco di una frazione, con il numeratore diverso da zero, si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.

ab
breciprocoa
perché: \(\dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {b}{a} = 1\)

Ora abbiamo un metodo semplice per calcolare il quoziente di due frazioni di cui la seconda non nulla.

Definizione 1.10: Il quoziente di due frazioni, con la seconda non nulla, si ottiene moltiplicando la prima per il reciproco della seconda: \[\dfrac {a}{b} : \dfrac {c}{d} = \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {d}{c} = \dfrac {a \cdot d}{b \cdot c}\]

Oservazione 1.8: Come sempre, nella divisione, il divisore deve essere diverso da zero.

Come per la sottrazione nei numeri relativi, così, usando i numeri razionali, non solo possiamo sempre eseguire la divisione esatta, ma non saremo più costretti a eseguire divisioni!

Esempio 1.10: Calcola: \(\dfrac {560}{55} : \dfrac {24}{275}\) \[\dfrac {560}{55} \div \dfrac {24}{275} = \dfrac {560}{55} \cdot \dfrac {275}{24} = \frac {560}{55} \cdot \frac {275}{24} = \frac {70}{11} \cdot \frac {55}{3} = \frac {350}{3} \]

Potenza e radice

Definizione 1.11: La potenza di una frazione, cioè una frazione elevata a un certo esponente, è uguale alla frazione che ha numeratore e denominatore elevati a quell’esponente. \[\tonda {\dfrac {a}{b}}^e = 1 \underbrace {\cdot \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {a}{b} \ldots \cdot \dfrac {a}{b}}_{e \text { volte}} = \dfrac {1 \overbrace {\cdot a \cdot a \ldots \cdot a }^{e \text { volte}}} {1 \underbrace {\cdot b \cdot b \ldots \cdot b }_{e \text { volte}}} = \dfrac {a^e}{b^e}\]

Così abbiamo ridotto il calcolo della potenza di una frazione al calcolo delle potenze del numeratore e del denominatore.

Oservazione 1.9: Ovviamente, vale anche per le frazioni quanto già visto per gli interi: \[a^{-1} = \tonda {\dfrac {1}{a}}^{+1} \sstext {quindi} \tonda {\dfrac {a}{b}}^{-1} = \tonda {\dfrac {b}{a}}^{+1}\]

E fin qui facilmente abbiamo ampliato la definizione di potenza al caso di potenze che hanno per base una frazione…ma che dire per potenze che hanno per esponente una frazione? La faccenda si complica e si fa interessante!

Quale significato dare a una scrittura del genere: \(\tonda {\dfrac {a}{b}}^{\frac {m}{n}}\)?

Semplifichiamo un po’ la scrittura, e il problema, cercando di capire come risolvere questo calcolo: \[a^{\frac {1}{n}}\] Ricordando la terza proprietà delle potenze guardiamo cosa succede se eleviamo alla enne la precedente espressione: \[\tonda {a^{\frac {1}{n}}}^n = a^{\frac {1}{n} \cdot n} = a\] Quindi elevare alla \(\dfrac {1}{n}\) è l’operazione inversa di elevare alla \(n\) perché se elevo un numero alla \(\dfrac {1}{n}\) e poi alla \(n\) o se elevo alla \(n\) e poi alla \(\dfrac {1}{n}\) ottengo il numero di partenza.

Questo vuol dire che elevare alla \(\dfrac {1}{n}\) è l’operazione inversa, rispetto alla base di elevare alla \(n\). L’operazione inversa della potenza, rispetto alla base, viene chiamata radice e indicata con: \(\sqrt [n]{a}\) quindi: \[a^{\frac {1}{n}} = \sqrt [n]{a}\] e in generale: \[\tonda {\frac {a}{b}}^{\frac {m}{n}} = \sqrt [n]{\tonda {\frac {a}{b}}^m}\]

Definizione 1.12: La radice di una frazione che ha per numeratore la radice del numeratore, e per denominatore la radice del denominatore: \[\sqrt [n]{\dfrac {a}{b}} = \dfrac {\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}}\]

Esempio 1.11: Esegui le seguenti potenze:

1.
\(\tonda {\dfrac {7}{12}}^2 = \dfrac {7^2}{12^2} = \dfrac {49}{144}\)
2.
\(\tonda {\dfrac {5}{3}}^4 = \dfrac {5^4}{3^4} = \dfrac {625}{81}\)
3.
\(\tonda {\dfrac {1}{2}}^{10} = \dfrac {1^{10}}{2^{10}} = \dfrac {1}{1024}\)
4.
\(\tonda {\dfrac {4}{5}}^{-3} = \tonda {\dfrac {5}{4}}^{+3} = \dfrac {5^3}{4^3} = \dfrac {125}{64}\)

Esempio 1.12: Esegui le seguenti radici:

1.
\(\sqrt {\dfrac {169}{9}} = \tonda {\dfrac {169}{9}}^{\frac {1}{2}} = \dfrac {169^{\frac {1}{2}}}{9^{\frac {1}{2}}} = \dfrac {\sqrt {169}}{\sqrt {9}} = \dfrac {13}{3}\)
2.
\(\sqrt [3]{\dfrac {64}{125}} = \tonda {\dfrac {64}{125}}^{\frac {1}{3}} = \dfrac {64^{\frac {1}{3}}}{125^{\frac {1}{3}}} = \dfrac {\sqrt [3]{64}}{\sqrt [3]{125}} = \dfrac {4}{5}\)

1.4 Decimali contro frazioni

Abbiamo visto due modi per rappresentare i numeri razionali:

1.
la notazione decimale che è più comoda per rappresentare numeri approssimati;
2.
le frazioni che sono più comode per eseguire operazioni con numeri razionali esatti.

Ma per il resto, le due notazioni sono equivalenti? Cioè tutti i numeri che possiamo rappresentare con le frazioni li possiamo anche rappresentare con i numeri decimali e viceversa?

1.4.1 Da frazione a decimale

Tutte le frazioni possono essere trasformate in numeri decimali, basta interpretare il segno di frazione come una divisione e eseguirla con il solito algoritmo.

Esempio 1.13: Trasforma in numero decimale la frazione: \(\dfrac {197}{8}\)

 1 9  7 8
   3  7 2  4, 6 2  5
      5 0
        2  0
197        4  0
-8- = 28,625   =

Esempio 1.14: Trasforma in numero decimale la frazione: \(\dfrac {155}{12}\)

 1 5 5  1  2
   3 5  1  2, 9 1 6
   1 1  0
        2  0
155       -8 0
-12- = 12,916  8

Abbiamo già visto che otterremo sempre o un numero decimale limitato o periodico.

1.4.2 Da decimale a frazione

I numeri decimali limitati sono facilmente trasformabili in frazioni: basta scrivere una frazione con il numero decimale al numeratore e 1 al denominatore, poi moltiplicare entrambi i termini per una potenza di 10 adatta a eliminare la virgola.

Esempio 1.15: Trasforma in frazione il numero decimale: \(16,25\)

\[16,25 = \frac {16,25}{1} = \frac {16,25 \cdot 100}{1 \cdot 100} = \frac {1625}{100} = \frac {65}{4}\]

Ma se il numero decimale è periodico, questo meccanismo non può essere usato: dovrei moltiplicare per un 1 seguito da infiniti zeri e ciò risulta un po’ difficile già solo da scrivere.

Il problema è che nei numeri periodici abbiamo infinite cifre decimali, ma per scrivere la frazione dobbiamo averne un numero finito…  Qualche ignoto matematico ha inventato un metodo geniale per eliminare infinite cifre decimali con una semplice operazione: basta eseguire un’opportuna sottrazione.

Supponiamo di voler trasformare il numero \(n = 14,3\overline {56}\) in frazione, moltiplichiamo n per 1000 e da questo togliamo il numero di partenza moltiplicato per 10:

1000n 1= 4 3 5  6, 5 6 5  6 5 6 5  6  ... −
  10n =   1 4  3, 5 6 5  6 5 6 5  6  ... =

 990n 1= 4 2 1  3, 0 0 0  0 0 0 0  0  ...

Abbiamo così eliminato il periodo scoprendo che \(990n\) è un numero intero: \[990n = 14\,213\] Adesso è facile: se 990 enne valgono 14 213, un solo enne varrà: \(\dfrac {14\,213}{990}\) quindi: \[14,3\overline {56} = \frac {14\,213}{990}\] Con una qualunque calcolatrice si può verificare il risultato.

La generalizzazione del precedente esempio porta al seguente

Teorema 1.3: Un numero decimale periodico è equivalente ad una frazione che ha:

Perciò ogni frazione può essere trasformata in numero decimale e ogni numero decimale, limitato o periodico, può essere trasformato in una frazione. Quindi usare l’una o l’altra delle due notazioni per i numeri razionali è equivalente.

Oservazione 1.10: Applica la precedente regola per trasformare in frazione il numero \(3,\overline {9}\).

\(3,\overline {9} = \dfrac {39 - 3}{9} = \dfrac {36}{9} = 4\)

È un po’ sorprendente! È solo un caso? Prova con altri numeri decimali di periodo \(\overline {9}\).

1.4.3 Numeri decimali illimitati non periodici

Abbiamo parlato di numeri decimali limitati e di numeri decimali periodici, esistono anche numeri decimali illimitati e non periodici? Se un numero decimale continua all’infinito, è possibile che continui ad essere diverso e non succeda che da un certo punto in poi incominci a ripetersi?

È possibile costruire dei numeri decimali illimitati che sicuramente non saranno periodici. Eccone alcuni:
\(0,101001000100001000001000000100000001\dots \)
\(0,1234567891011121314151617181920212223\dots \)
\(0,1223334444\dots 9999999991010101010101010101011\dots \)
Ma si può dimostrare che anche \(\sqrt {2}\), \(\sqrt {3}\)…, e anche: \(3,14159265358979323846264338327950288\dots \) a cui è stato dato il nome di \(\pi \) (pi greco) e: \(2,71828182845904523536028747135266249\dots \) a cui è stato dato il nome di \(e\) (costante di Eulero, o di Nepero) sono numeri che non possono essere scritti sotto forma di frazioni e quindi sono illimitati e non periodici.

Tutti questi numeri non sono numeri razionali e si chiamano “irrazionali”.

Oservazione 1.11: In realtà, non solo esistono numeri irrazionali, ma il matematico Cantor ha dimostrato che i numeri irrazionali sono infinitamente di più dei numeri razionali (che già sono infiniti).

1.5 Proprietà delle operazioni nei numeri razionali \(\Q \)

L’estensione di numeri dai naturali agli iteri, ha portato in dote gli opposti dei numeri, cioè gli elementi inversi rispetto all’addizione. E questo ha permesso di poter calcolare sempre la differenza di due numeri trasformando la sottrazione in una addizione.

L’estensione di numeri dagli iteri ai razionali, ha portato in dote i reciproci dei numeri, cioè gli elementi inversi rispetto alla moltiplicazione. E questo ha permesso di poter calcolare sempre il quoziente esatto di due numeri trasformando la divisione in una addizione.

Le altre proprietà delle operazioni già richiamate per i numeri interi restano valide anche per i numeri razionali.

Per quanto riguarda la struttura \(\coppia {\Q }{\times }\) ora possiede anche l’elemento inverso di ogni numero non nullo quindi questa struttura è un gruppo.

La struttura composta dai numeri razionali e dalle due operazioni addizione e moltiplicazione, \(\terna {\Q }{+}{\times }\) viene chiamata campo.

In questa struttura si possono risolvere tutte le equazioni del tipo: \(ax +b = 0\).

1.6 Notazione scientifica e ordine di grandezza

Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc, Devono spesso usare numeri molto grandi, o molto piccoli in valore assoluto, per rappresentare le misure degli oggetti di cui si occupano.

I primi due numeri sono ‘molto grandi’, mentre l’ultimo è ‘molto piccolo’ e operare con numeri simili, non è affatto semplice.

1.6.1 Notazione scientifica

Definizione 1.13: Un numero \(\alpha \) è scritto in notazione scientifica se si presenta nella forma:

\[\alpha = a\cdot 10^n\]dove \(a\) è un numero decimale maggiore o uguale a \(1\) e minore di \(10\) e \(n\) è un numero intero.

Esempio 1.16: I numeri \(3,5\cdot 10^7\) e \(8,9\cdot 10^{-5}\) sono scritti in notazione scientifica, mentre i numeri \(0,5\cdot 10^3\) e \(10,3\cdot 10^{-8}\) non sono scritti in notazione scientifica in quanto il numero davanti alla potenza di 10 nel primo caso è 0,5 che è minore di 1, nel secondo caso è 10,3 che è maggiore di 10.

Trasformiamo in notazione scientifica il diametro del globulo rosso,  \(0,000007\unit {m}\):
\(0,000007\unit {m}=\dfrac {7}{1\,000\,000}\unit {m}= 7\cdot \dfrac {1}{1\,000\,000}\unit {m}= 7\cdot 10^{-6}\unit {m}\)

Applicando un meccanismo analogo al numero  0,000000026:
\(0,000000026=\dfrac {2,6}{100\,000\,000}= 2,6\cdot \dfrac {1}{100\,000\,000}= 2,6\cdot \dfrac {1}{10^8}=2,6\cdot 10^{-8}\)

Si osservi che in questo secondo caso abbiamo posto a numeratore il valore 2,6 anziché 26, in quanto il numero \(k\) deve essere minore di 10.

Consideriamo ora la misura del raggio medio della Terra, ovvero \(6\,378\,000\unit {m}\), la sua espressione in notazione scientifica sarà: \(6\,378\,000\unit {m} = 6,378\cdot 1\,000\,000 = 6,378\cdot 10^6\).

         n
Qa0−+aannn 11 < > < > >=00111a⋅10

Oservazione 1.12: A numeri ‘piccoli’ in valore assoluto, corrispondono potenze di dieci con esponente negativo; a numeri ‘grandi’ in valore assoluto, corrispondono potenze di dieci con esponente positivo.

Procedura 1.2: Scrivere un numero decimale in notazione scientifica:

a )
spostare la virgola di tanti posti in modo da avere una sola cifra diversa da zero a sinistra;
b )
scrivere la moltiplicazione tra il numero ottenuto al passo precedente e dieci elevato ad un esponente pari al numero si spostamenti della virgola effettuati se la virgola è stata spostata verso sinistra o elevato al suo opposto se la virgola è stata spostata verso destra.

Esempio 1.17: Scrivi 348 000 000 000 000 in notazione scientifica. Per comodità riscrivo il numero evidenziando l’attuale posizione della virgola: 348 000 000 000 000,0.

a )
Per ottenere un numero con una sola cifra diversa da zero a sinistra della virgola devo spostare la virgola di 14 posti verso sinistra;
b )
scrivo il prodotto tra il numero ottenuto: \(3,48\) e 10 elevato alla 14: \(3,48 \cdot 10^{14}\).

Esempio 1.18: Scrivi 0,0000340 in notazione scientifica.

a )
Devo spostare la virgola di 5 posti verso destra;
b )
Moltiplico il numero ottenuto: \(3,40\) e 10 elevato alla \(-5\): \(3,40 \cdot 10^{-5}\).

Esempio 1.19: Trasforma in notazione scientifica e calcola \(\displaystyle {\frac {3000:6\text { milioni}}{5000\cdot 0,000002}}\). \begin {align*} \frac {3000:6\text { milioni}}{5000\cdot 0,000002}&=\frac {3\cdot 10^3: (6\cdot 10^6)}{5\cdot 10^3\cdot (2\cdot 10^{-6})} =\frac {3:6\cdot 10^{-3}}{5\cdot 2\cdot 10^{-3}} =\frac {0,5}{10}\cdot 10^{-3+3} = 0,05\cdot 10^0 = 5\cdot 10^{-2} \end {align*}

Esempio 1.20: Calcola l’area di un rettangolo di dimensioni:

\(b = 0,000\,000\,04\unit {m} \sstext {e} h = 0,000\,000\,09\unit {m}\).

Usando la notazione decimale solita:

\[A = b \cdot h = 0,000\,000\,04\unit {m} \cdot 0,000\,000\,09\unit {m}= 0,000\,000\,000\,000\,36\unit {m^2}\] Lo stesso problema può essere espresso in notazione scientifica: \[A = b\cdot h = \tonda {4 \cdot 10^{-8}\unit {m}} \cdot \tonda {9 \cdot 10^{-8}\unit {m}}= 36\cdot 10^{-16}\unit {m^2} \]

bh

1.6.2 Ordine di grandezza

Spesso, nel trattare i numeri ‘molto grandi’ o ‘molto piccoli’, non è importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto è grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il seguente concetto.

Definizione 1.14: Dato un numero scritto in forma scientifica, si definisce ordine di grandezza (abbreviato con la sigla o.d.g.), la potenza di \(10\).

Procedura 1.3: Determinare l’ordine di grandezza di un numero:

a )
scrivi il numero in notazione scientifica \(k\cdot 10^n\)
b )
l’ordine di grandezza è \(10^{n}\).

Esempio 1.21: Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000 074 e 47 000 000 000.

Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica: \[0,000\,074 = 7,4\cdot 10^{-5} \sstext { e } 47\,000\,000\,000 = 4,7\cdot 10^{10}.\] L’o.d.g. del primo numero è \(10^{-5}\); l’o.d.g del secondo numero è \(10^{10}\).

1.7 Rapporto, percentuale, proporzioni

1.7.1 Rapporto

Spesso un dato preso da solo non dà molte informazioni. Sapere che in una scuola sono iscritte 400 femmine non dice molto. Diversa è la situazione se conosciamo anche qual è il numero complessivo degli alunni.

Femmine = 400; Iscritti = 1200

In questo caso le femmine sono una minoranza: c’è una femmina ogni 3 iscritti. Questa informazione si può ottenere calcolando il rapporto tra le femmine e il totale: \[\frac {Femmine}{Iscritti} = \frac {400}{1200} = \frac {1}{3} \approx 0,333\]

Femmine = 400; Iscritti = 600

In questo caso le femmine sono una maggioranza: ci sono 2 femmine ogni 3 iscritti. Questa informazione si può ottenere calcolando il rapporto tra le femmine e il totale: \[\frac {Femmine}{Iscritti} = \frac {400}{600} = \frac {2}{3} \approx 0,666\]


Spesso il rapporto tra due valori è più interessante dei valori presi singolarmente. Quando il rapporto è tra due grandezze fisiche spesso si ottiene una nuova grandezza:

1.7.2 Proporzioni

Quando abbiamo due rapporti uguali: \(\dfrac {a}{b} = \dfrac {c}{d}\) diremo che i quattro numeri \(a,~b,~c,~d\) sono in proporzione. Altra notazione per le proporzioni è quella che indica le divisioni con i duepunti: “:”, cioè: \(a:b=c:d\), e si legge: “\(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\)”.

I due numeri che si trovano al centro si chiamano medi e gli altri due si dicono estremi.

La proprietà fondamentale delle proporzioni:

Teorema 1.4: In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (detto anche prodotto incrociato): \[a:b=c:d \sLRarrow \dfrac {a}{b} = \dfrac {c}{d} \sLRarrow a \cdot d = b \cdot c\]

Da questa proprietà possiamo ricavare le formule per calcolare un medio o un estremo: \[a = \frac {b \cdot c}{d} \quad \text { e } \quad b = \frac {a \cdot d}{c}\]

Un problema che ha collegamenti in altri ambiti della matematica riguarda l proporzioni continue.

Definizione 1.15: Si dice continua una proporzione che ha i medi uguali: \[a : b = b : c\]

In questo caso la proprietà fondamentale diventa: \(b^2 = a \cdot c\),

da cui si ricava: \(b = \sqrt {a \cdot c} \quad \text { e } \quad a = \dfrac {b^2}{c}\)

1.7.3 Percentuale

Il rapporto è, di solito, un numero con la virgola e, quando è realizzato tra una parte e il tutto ha un valore compreso tra zero e uno. Dato che le persone normali provano un certo fastidio per i numeri con la virgola sono state inventate le percentuali che sono date dal rapporto moltiplicato per 100 e seguito dal simbolo “%”. Sempre riferendoci all’esempio precedente: \[\frac {1}{3} \approx 0,33 = 33\% \qquad \frac {2}{3} \approx 0,66 = 66\%\] Dire il 10% o dire 0,1 è lo stesso, dire 25% o dire 0,25 è lo stesso, …

Definizione 1.16: La percentuale è il rapporto tra due grandezze moltiplicato per 100.

Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere per 100 il numero che esprime la percentuale:

\[35\% = \frac {35}{100} = 0,35;\qquad 7\% = \frac {7}{100} = 0,07; \qquad 12,5\% = \frac {12,5}{100} = 0,125\]

Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta moltiplicare numeratore e denominatore per 100:

\[0,02 = \frac {0,02}{1} = \frac {2}{100} = 2\%; \qquad 0,23 = \frac {0,23}{1} = \frac {23}{100} = 23\%; \qquad 1,21 = \frac {1,21}{1} = \frac {121}{100} = 121\%\]

Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale:

\[\frac {2}{3} = 0,\overline {6} = \frac {0,\overline {6}}{1} = \frac {66,\overline {6}}{100} = 66,\overline {6}\%\]

1.8 Espressioni con le frazioni

Abbiamo visto come si possono eseguire le operazioni tra numeri razionali espressi come frazioni. Ora mettiamo insieme diverse operazioni per calcolare intere espressioni.

Teniamo presente che la linea di frazione equivale ad una coppia di parentesi per cui le parentesi, se contengono solo una frazione, non sono più necessarie.

Esempio 1.22: Calcola il valore della seguente espressione.

\[\graffa { \frac {3}{20}\cdot \quadra { \tonda {\frac {4}{9}-\frac {1}{3}}):5 + \tonda {\frac {3}{7}-\frac {2}{5}} : \frac {1}{14}+\frac {1}{5}\cdot \frac {1}{9}}+ \frac {2}{15}} : 2=\]

1.
Eseguo le operazioni contenute nelle parentesi più interne calcolando il denominatore comune. Trasformo le divisioni in moltiplicazioni.

\[= \graffa { \frac {3}{20}\cdot \quadra { \frac {4 - 3}{9} \cdot \frac {1}{5} + \frac {15-14}{35}\cdot \frac {14}{1} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2}= \]

2.
Eseguo le addizioni presenti nei numeratori di due frazioni.

\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra { \frac {1}{9} \cdot \frac {1}{5} + \frac {1}{35}\cdot \frac {14}{1} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2}=\]

3.
Eseguo le moltiplicazioni tra frazioni presenti nella parentesi quadra.

\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra {\frac {1}{45} + \frac {2}{5} + \frac {1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]

4.
Addiziono le frazioni presenti nella quadra.

\[= \graffa { \frac {3}{20} \cdot \quadra {\frac {1+18+1}{45}} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} = \graffa {\frac {3}{20} \cdot \frac {20}{45} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]

5.
Eseguo la moltiplicazione nella parentesi graffa,

\[= \graffa { \frac {1}{15} + \frac {2}{15}} \cdot \frac {1}{2} =\]

6.
Eseguo l’addizione nella graffa e poi la moltiplicazione che rimane.

\[=\frac {3}{15} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{6}\]

Nel prossimo esempio viene usato il metodo rapido per sommare un intero ad una frazione.

Esempio 1.23: Calcola il valore della seguente espressione.

\begin {flalign*} &\quadra { \frac {13}{5}:\tonda {3+\frac {9}{10}}+\frac {7}{8}+ \tonda {\frac {13}{4}-2}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8}}\cdot \frac {11}{3}:\tonda {6-\frac {1}{2}}=&\\ &=\quadra { \frac {13}{5}:\frac {39}{10}+\frac {7}{8}+ \frac {5}{4}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {11}{3}:\frac {11}{2}=\\ &=\quadra { \frac {13}{5}\cdot \frac {10}{39}+\frac {7}{8}+ \frac {5}{4}\cdot \frac {4}{15}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {11}{3}\cdot \frac {2}{11}=\\ &=\quadra { \frac {2}{3}+\frac {7}{8}+\frac {1}{3}-\frac {7}{8} }\cdot \frac {2}{3}=\\ &=\quadra { \frac {2}{3}+\frac {1}{3} }\cdot \frac {2}{3}=1\cdot \frac {2}{3}=\frac {2}{3} \end {flalign*}

Le potenze hanno la precedenza sulle altre operazioni, ma quando ci sono anche potenze da calcolare, conviene sempre controllare se è possibile usare qualche proprietà. Non solo, ma anche quando non è possibile utilizzare le proprietà delle potenze, a volte può essere conveniente non eseguire la potenza ma scriverla sotto forma di prodotto:

Esempio 1.24: \(\tonda {\dfrac {2}{3}}^4 \cdot \tonda {\dfrac {9}{4}}^3 = -\dfrac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 9\cdot 9\cdot 9} {3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 4} = \dfrac {9}{4}\)

In questo caso siamo riusciti a risolvere l’espressione senza eseguire alcuna moltiplicazione.

Esempio 1.25: Calcola il valore della seguente espressione.

\begin {align*} &\quadra { \tonda {\frac {7}{5}-\frac {1}{2}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \tonda {\frac {2}{15}}^{4}\cdot \tonda {\frac {5}{2}}^2\cdot \tonda {\frac {15}{2}}^{2} }^{2}: \tonda {\frac {10}{9}}^{2}- \tonda {1+\frac {8}{5}+\frac {1}{25}}=&\\ &=\quadra { \tonda {\frac {14 - 5}{10}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{15\cdot 15\cdot 15\cdot 15}\cdot \frac {5\cdot 5}{2\cdot 2}\cdot \frac {15\cdot 15}{2\cdot 2} }^{2}: \tonda {\frac {10}{9}}^{2}- \frac {25 + 40 + 1}{25}=\\ &=\quadra { \tonda {\frac {9}{10}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {1}{9} }^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\quadra { 1 -\frac {1}{9} }^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\quadra {\frac {8}{9}}^{2}\cdot \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \frac {66}{25}=\\ &=\frac {8\cdot 8}{9\cdot 9}\cdot \frac {9\cdot 9}{10\cdot 10}- \frac {66}{25}=\frac {16}{25}-\frac {66}{25}=-\frac {50}{25}=-2 \end {align*}

Se nell’espressione, oltre alle frazioni, ci sono anche numeri decimali limitati o periodici, conviene in un primo passaggio trasformare ogni numero razionale in frazione e poi calcolare.

Esempio 1.26: Calcola il valore della seguente espressione.

\begin {align*} &3,5 \cdot 0,4-1,2-0,8\bar {6}\cdot \tonda { 1,\bar {6}+5,8\bar {3}-5,5-\frac {23}{13} }=&\\ &=\frac {35}{10} \cdot \frac {4}{10}-\frac {12}{10}- \frac {86-8}{90}\cdot \tonda { \frac {16-1}{9}+\frac {583-58}{90}-\frac {55}{10}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {7}{5}-\frac {6}{5}- \frac {78}{90}\cdot \tonda { \frac {15}{9}+\frac {525}{90}-\frac {55}{10}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \tonda { \frac {5}{3}+\frac {35}{6}-\frac {11}{2}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \tonda { \frac {5}{3}+\frac {35}{6}-\frac {11}{2}-\frac {23}{13} }=\\ &=\frac {1}{5}- \frac {13}{15}\cdot \frac {130+455-429-138}{2\cdot 3\cdot 13}=\\ &=\frac {1}{5}-\frac {13}{15}\cdot \frac {18}{2\cdot 3\cdot 13}= \frac {1}{5}-\frac {1}{5}=0 \end {align*}

1.9 Problemi

1.9.1 Problemi con le frazioni

Problemi diretti

Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la grandezza intera per la frazione: \(parte = \dfrac {m}{n} \cdot tot\).

Esempio 1.27: Una pasticceria produce 568 cornetti a settimana: i \(3/4\) sono alla crema, \(1/8\) sono al cioccolato e \(1/8\) alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo produce?

Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna frazione:

Problemi inversi

Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezza si deve calcolare il valore dell’intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la frazione, si ottiene così l’intero.
Dalla formula del problema diretto si ricavano le formule dei due problemi inversi: \[tot = parte : \dfrac {m}{n} = parte \cdot \dfrac {n}{m} \sstext {e:} \dfrac {m}{n} = \dfrac {parte}{tot}\]

Esempio 1.28: Mario ha speso \(21\matheuro \) che corrispondono ai \(3/5\) della somma che possedeva. Quanto possedeva?

È sufficiente dividere 21 per la frazione: \(21\matheuro : \dfrac {3}{5} = 21\matheuro \cdot \dfrac {5}{3}=35\matheuro \)

Esempio 1.29: Giuseppe ha una certa somma a disposizione \(D0 = 150\matheuro \). Se spende i \(3/5\) della disposizione iniziale e poi i \(2/3\) della somma rimanente, quanto ha a disposizione alla fine?

Primo metodo

La prima volta Giuseppe spende: \(S1 = \cdot \dfrac {3}{5} \cdot D0 = \dfrac {3}{5} \cdot 150\matheuro = 90\matheuro \)
perciò gliene rimangono: \(D1 = D0 - S1 = 150\matheuro - 90\matheuro = 60\matheuro \)
la seconda volta spende i \(2/3\) di \(60\matheuro \), cioè \(S2 = \dfrac {2}{3} \cdot 60\matheuro = 40\matheuro \)
in tutto ha speso: \(ST = S1 + S2 = 90\matheuro + 40\matheuro = 130\matheuro \)
gli rimangono dunque: \(D2 = D0 - ST = 150\matheuro - 130\matheuro = 20\matheuro \).

Secondo metodo:

osserviamo che, se la prima volta ha speso: \(S1 = D0 \cdot \dfrac {3}{5}\),
significa che gli rimane: \(D1 = D0 - D0 \cdot \dfrac {3}{5} = \tonda {1-\dfrac {3}{5}} D0 = \dfrac {2}{5} D0\)
La seconda volta spende i \({2}/{3}\) dei \({2}/{5}\) della somma,
cioè: \(S2 = \dfrac {2}{3} \cdot \dfrac {2}{5} D0 = \dfrac {4}{15} D0\).
In tutto ha speso: \(ST = S1 + S2 = \dfrac {3}{5} D0 + \dfrac {4}{15} D0 = \dfrac {3\cdot 3+4}{15} D0 =\dfrac {13}{15} D0\)
gli rimane perciò: \(D2 = D0 - \dfrac {13}{15} D0 = \dfrac {2}{15} D0\)
pertanto gli rimangono \(D2 = \dfrac {2}{15} D0 = \dfrac {2}{15} \cdot 150\matheuro = 20 \matheuro \).

Esempio 1.30: Trova due numeri sapendo che la loro somma è 108 e uno è i 4/5 dell’altro.

Sintetizziamo i dati: \(\sistema {a + b = 108\\ b = \dfrac {4}{5} a}\)
xab
Se valgono entrambe queste uguaglianze, nella prima, posso sostituire \(b\) con \(\dfrac {4}{5} a\) ottenendo:
\(a + \dfrac {4}{5} a = 108 \sRarrow \dfrac {5}{5} a + \dfrac {4}{5} a = \dfrac {9}{5} a = 108 \sRarrow a = \dfrac {5}{9} 108 = 60\)
e \(b = \dfrac {4}{5} a = \dfrac {4}{5} 60 = 48\)

Un altro modo per risolvere il problema precedente è illustrato nel seguente esempio.

Esempio 1.31: Trova due numeri sapendo che la loro somma è 4800 e uno è i 3/7 dell’altro.

Sintetizziamo i dati: \(\sistema {a + b = 500\\ b = \dfrac {3}{7} a}\)
xab
Se \(b = \dfrac {3}{7} a\) allora possiamo pensare che \(a\) sia composto da \(7\) parti uguali e \(b\) da \(3\) di quelle parti: \(a = 7x; \quad b = 3x\).
Quindi: \(\sistema { a = 7x\\ b = 3x\\ a + b = 7x + 3x = 10 x = 500} \sRarrow \sistema {x = 50\\ a = 7x = 7 \cdot 50 = 350\\ b = 3x = 3 \cdot 50 = 150}\)

1.9.2 Problemi con le percentuali

Dalla formula \(perc = \dfrac {parte}{totale}\) si possono ricavare le formule inverse:

      \(parte = totale \cdot perc \quad \text { e } \quad totale = \dfrac {parte}{perc}\)

Esempio 1.32: In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono stati i promossi?

Per rispondere, si moltiplica il numero totale di alunni per la percentuale \(0,95 = 95/100\).

Precisamente \(\dfrac {95}{100} \cdot 857 0,95 \cdot 857 = 814,15\). Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stata approssimata. Gli alunni promossi sono stati 814.

A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso applichiamo la definizione: \(perc = parte/totale\).

Esempio 1.33: In una scuola, 126 alunni svolgono attività sportive, mentre 520 no. Qual è la percentuale degli “sportivi”?

\[perc = \frac {parte}{totale} = \frac {126}{126+520} = \frac {126}{646} \approx 0,19504644 \approx 19,50\%\]

A volte conosciamo una parte di una popolazione e la corrispondente percentuale.

Esempio 1.34: Sappiamo che 47 individui costituiscono il 3% di una popolazione. A quanto ammonta l’intera popolazione?

\[totale = \frac {parte}{perc} = \frac {47}{.03} = 1566,\overline 6 \approx 1567\]

1.9.3 Problemi con gli sconti

Esempio 1.35: Un pantalone costava \(70\matheuro \) e viene venduto con il \(20\%\) di sconto, a quanto viene venduto?

Primo metodo:

Sconto \(= 70\matheuro \cdot 20\% = 70\matheuro \cdot 0,20 = \dfrac {20}{100}\cdot 70\matheuro = 14\),

prezzo scontato: \(70\matheuro -14\matheuro = 56\matheuro \).

Secondo metodo:

Il prezzo finale sarà \(100\%\) del prezzo meno il \(20\%\) del prezzo:

\(70\matheuro \cdot \tonda {100\% - 20\%} = 70\matheuro \cdot \tonda {1,00 - 0,20} = 70\matheuro \cdot 0,80 = 56\matheuro \).

Esempio 1.36: Un paio di scarpe da  120 viene venduto scontato a  75 Qual è stata la percentuale di sconto praticato?

Iniziamo calcolando lo sconto:
\(sconto = prezzo iniziale - prezzo scontato = 120\matheuro - 75\matheuro = 45 \matheuro \)

poi la percentuale: \(\dfrac {45}{120}=0,375 =37,5\%\).

Esempio 1.37: Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era scontato del \(15\%\), ha risparmiato cosi \(120\matheuro \). Quanto costa il computer di listino?

Dato che: \(parte = totale \cdot perc \sLRarrow totale = \dfrac {parte}{perc}\),
e che: \(15\% = 0,15\)

\(prezzo pieno = \dfrac {parte}{perc} = \dfrac {120\matheuro }{0,15} = 800\matheuro \)

Esempio 1.38: Se ti viene proposto uno sconto di 10 su un oggetto che costa 84 che percentuale di sconto ti viene applicata? \[sconto percento = \frac {sconto}{prezzointero} = \frac {10\matheuro }{84\matheuro } \approx 0,119 \approx 12\%\]

1.10 Un po’ di storia

Quando si deve dividere una certa grandezza o totalità in un certo numero di parti uguali non sempre sono sufficienti i numeri interi per rappresentare il risultato della divisione. Per esempio, per dividere l’unità in due parti uguali i numeri interi non sono sufficienti.

Gli antichi hanno affrontato questo tipo di problema utilizzando varie scritture per rappresentare le parti in cui dividere l’unità, ossia le frazioni.

I Babilonesi scrivevano frazioni aventi come denominatore una potenza di 60, la base della loro numerazione; tuttavia non usavano una notazione specifica per le frazioni ed il valore corretto andava interpretato dal contesto.

Gli Egizi facevano largo uso dei numeri frazionari che rappresentavano come somme di frazioni unitarie, ossia frazioni con numeratore uno. La frazione unitaria \(\dfrac {1}{n}\) (con \(n\) numero naturale diverso da zero) veniva rappresentata in forma geroglifica ponendo il denominatore \(n\) scritto con la normale rappresentazione del numero \(n\) sotto ad un ovale. La frazione \(\dfrac {1}{12}\), per esempio, veniva così rappresentata:

PIC

Nel papiro di Ahmes (detto anche papiro di Rhind) troviamo una tabella che dà la scomposizione in frazioni unitarie delle frazioni del tipo \(\frac {2}{n}\), con \(n\) dispari: la frazione \(\frac {2}{43}\) è rappresentata come somma di frazioni unitarie nel seguente modo:

\[\frac {2}{43}=\frac {1}{42}+\frac {1}{86}+\frac {1}{129}+\frac {1}{301}\]

Alcune unità frazionarie più comuni venivano indicate con le parti dell’occhio di Horus; secondo la leggenda Horus, nella lotta contro lo zio Seth, reo di avergli ucciso il padre, perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte.

PIC

I Romani fecero poco uso dei numeri frazionari; si limitarono a considerare le parti delle misure in uso che venivano divise in 12, 24, 36, 48…Avevano pertanto simboli e nomi particolari per indicare alcune frazioni. Semis per indicare \(\frac {1}{2}\), il cui simbolo era \(S\) oppure \(Z\) sextans per indicare \(\frac {1}{6}\), dracma per indicare \(\frac {1}{96}\) e obolus per indicare la sesta parte della dracma.

Furono gli arabi a introdurre l’attuale scrittura delle frazioni e i termini numeratore e denominatore.

La notazione attuale per le frazioni si deve sostanzialmente agli arabi, in Europa fu diffusa da Leonardo Pisano (Fibonacci) che nel il suo Liber Abaci (1202) scrive e opera con le frazioni come oggi le conosciamo.

1.11 Esercizi

1.1. Raggruppa le seguenti frazioni in insiemi di frazioni equivalenti. Etichetta l’insieme con un numero razionale, prendendo per ogni gruppo la frazione ridotta ai minimi termini.

\[\frac {1}{3};\quad \frac {2}{4};\quad -\frac {5}{2};\quad \frac {6}{-14};\quad \frac {-12}{4};\quad \frac {3}{6};\quad \frac {-3}{-9};\quad \frac {10}{-4};\quad \frac {10}{20};\quad \frac {-18}{42};\quad \frac {5}{15};\quad -\frac {9}{21};\quad -\frac {15}{6};\quad \frac {4}{12}.\]

1.2. Riscrivi le seguenti frazioni improprie come somma di un numero naturale e una frazione propria. \[\frac {10}{3};\quad \frac {17}{9};\quad \frac {11}{2};\quad \frac {25}{3};\quad \frac {17}{10};\quad \frac {15}{6}.\]

1.3. Senza eseguire le divisioni indica quali di queste frazioni possono essere scritte come numero decimale finito (DF), quali come numero decimale periodico (DP) e quali come numero intero (I):

a )
\(-\dfrac {3}{2}~\)   DF   DP   I
b )
\(-\dfrac {6}{5}~\)   DF   DP   I
c )
\(+\dfrac {2}{25}\)   DF   DP   I
d )
\(+\dfrac {5}{8}~\)   DF   DP   I
e )
\(+\dfrac {5}{6}~\)   DF   DP   I
f )
\(-\dfrac {5}{12}\)   DF   DP   I
g )
\(+\dfrac {12}{6}\)   DF   DP   I
h )
\(+\dfrac {5}{10}\)   DF   DP   I

1.4. Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali.

a )
\(\dfrac {13}{2}\)
b )
\(\dfrac {11}{3}\)
c )
\(\dfrac {3}{5}\)
d )
\(\dfrac {15}{6}\)
e )
\(\dfrac {17}{7}\)
f )
\(\dfrac {15}{8}\)
g )
\(\dfrac {12}{9}\)
h )
\(\dfrac {127}{10}\)
i )
\(\dfrac {122}{11}\)
j )
\(\dfrac {13}{12}\)
k )
\(\dfrac {35}{121}\)
l )
\(\dfrac {121}{35}\)
m )
\(\dfrac {12}{10}\)
n )
\(\dfrac {127}{100}\)
o )
\(\dfrac {122}{1100}\)
p )
\(\dfrac {13}{100}\)
q )
\(\dfrac {35}{1000}\)
r )
\(\dfrac {121}{10000}\)
s )
\(\dfrac {12}{5}\)
t )
\(\dfrac {13}{7}\)
u )
\(\dfrac {15}{4}\)
v )
\(\dfrac {5}{8}\)
w )
\(\dfrac {32}{9}\)
x )
\(\dfrac {21}{20}\)

1.5 (\(\relax ^{\ast }\)). Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimali.

a )
12,5
b )
4,2
c )
6,25
d )
3,75
e )
0,1
f )
2,5
g )
100,100
h )
0,12
i )
1,1030
j )
0,00100
k )
100,0010
l )
0,0001
m )
1,25
n )
0,08
o )
1,002
p )
15,675
q )
1,7
r )
1,46
s )
0,13
t )
0,149

\(\left [a)~\frac {25}{2},\quad b)~\frac {21}{5}\quad c)~\frac {25}{4}\quad d)~\frac {15}{4}\quad e)~\frac {1}{10}\quad f)~\frac {5}{2} \dots \right ]\)

1.6. Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.

a )
\(-1,25\)
b )
0,03;
c )
\(-2,\overline {1}\)
d )
\(0,\overline {13}\)
e )
5,080;
f )
\(3,7\overline {52}\)
g )
\(-0,38\)
h )
\(11,\overline {175}\)
i )
\(0,01\overline {02}\)
j )
\(0,12\overline {345}\)
k )
\(100,\overline {100}\)
l )
\(100,\overline {001}\)
m )
0,08;
n )
0,2;
o )
0,1;
p )
0,03;
q )
\(23,\overline {5}\)
r )
\(22,\overline {32}\)
s )
0,25;
t )
\(31,\overline {02}\)
u )
\(0,\overline {21}\)
v )
\(2,3\overline {4}\)
w )
\(3,21\overline {8}\)
x )
\(0,03\overline {4}\)
y )
\(0,07\overline {51}\)

1.7. Scrivi la frazione generatrice di \(12,3\overline {45}\) Qual è la 614-esima cifra decimale del numero?

1.8. Calcola \(3,\overline {9}-0,\overline {9}\) e Calcola \(0,\overline {9} \cdot 3\) Cosa osservi?

1.3.2 Rappresentazione sulla retta

1.9. Rappresenta su una retta orientata i seguenti gruppi di numeri razionali, ciascun gruppo su una retta.

a )
\(\displaystyle {\frac {2}{3};\quad -\frac {3}{4};\quad \frac {5}{2};\quad -\frac {7}{ 12 } ;\quad \frac {3}{2};\quad -\frac {11}{6};\quad \frac {9}{4}}\)
b )
\(\displaystyle {\frac {0}{4};\quad \frac {5}{4};\quad \frac {9}{4};\quad \frac {1}{2} ; \quad \frac {19}{8};\quad \frac {3}{2};\quad \frac {7}{4};\quad \frac {4}{2}}\)
c )
\(\displaystyle {\frac {10}{3};\quad \frac {5}{3};\quad ~2;\quad \frac {0}{3} ;\quad \frac {4}{3};\quad \frac {2}{3};\quad \frac {5}{6};\quad \frac {13}{6}}\)
d )
\(\displaystyle {\frac {1}{2};\quad \frac {3}{4};\quad -\frac {5}{4}; \quad -\frac {1}{2};\quad \frac {7}{8};\quad -\frac {5}{16}}\)

1.10. Scrivi i numeri razionali rappresentati dai punti segnati sulla retta nella figura.

−−−0+++ 3 2 1123

1.11. Disegna su una retta orientata i seguenti numeri decimali, ciascun gruppo su una retta.

a )
\(0,6\quad 2,3\quad -1,2\quad -0,06\)
b )
\(+1,4\quad -0,3\quad -1,5\quad 0,2\)
c )
\(-0,8\quad -1,6\quad +4,91\quad -1,17\)
d )
\(1,55\quad 2,01\quad -3,0\quad -2,10\)

1.3.4 Confronto di frazioni

1.12. Inserisci tra le seguenti coppie di numeri razionali i simboli di maggiore (\(>\)), minore (\(<\)) o uguale (\(=\)).

a )
\(\dfrac {4}{5}\,\ldots \,\dfrac {5}{7}\)
b )
\(-\dfrac {9}{5}\,\ldots \,-\dfrac {8}{3}\)
c )
\(\dfrac {2}{7}\,\ldots \,\dfrac {6}{21}\)
d )
\(-\dfrac {1}{2}\,\ldots \,-\dfrac {3}{4}\)

1.13. Qual è il maggiore? \(\dfrac {2}{3} \qquad \dfrac {3}{4} \qquad \dfrac {5}{8} \qquad \dfrac {3}{5}, \qquad \dfrac {7}{12}\)

1.14. Qual è il minore? \(-\dfrac {2}{3} \qquad -\dfrac {3}{4} \qquad -\dfrac {5}{6} \qquad -\dfrac {1}{2}, \qquad -\dfrac {2}{5}\)

1.15. Metti in ordine: \(\dfrac {3}{4};\qquad \dfrac {4}{3};\qquad \dfrac {11}{12};\qquad \dfrac {5}{3}\)

1.16. Scrivi in ordine crescente:

\(-\dfrac {2}{3} \qquad \dfrac {3}{4} \qquad -\dfrac {5}{6} \qquad \dfrac {1}{2}, \qquad -1 \qquad -\dfrac {2}{5} \qquad 0\)

1.17. Scrivi in ordine decrescente:

\(-\dfrac {3}{2} \qquad \dfrac {4}{3} \qquad -\dfrac {6}{5} \qquad \dfrac {2}{5}, \qquad -1 \qquad \dfrac {5}{2} \qquad 0\)

1.18. Qual è il minore? \(\boxed {A} \quad \dfrac {2}{3} \quad \quad \boxed {B} \quad \dfrac {2}{7} \quad \quad \boxed {C} \quad \dfrac {3}{2} \quad \quad \boxed {D} \quad \dfrac {1}{2}\)

1.19. Ordina dal più piccolo al più grande i seguenti gruppi di numeri.

a )
10,011 10,110 11,001 11,100;
b )
10,01 11,11 10,101 10,001;
c )
0,101 0,011 0,110 0,0101;
d )
1,0101 1,1001 1,0011 1,0110;

1.20. Scrivi una frazione molto vicina a \(-\dfrac {2}{9}.\)

1.21. Scrivi una frazione compresa tra: \(\dfrac {3}{5}\) e \(\dfrac {7}{10}\); \(\dfrac {5}{3}\) e \(\dfrac {1}{7}\); \(\dfrac {1}{2}\) e \(\dfrac {2}{3}\);

1.22. Quali disuguaglianze sono vere?

a )
\(-\dfrac {7}{6} < -\dfrac {6}{7}\) V    F
b )
\(-\dfrac {7}{6} > +\dfrac {6}{7}\) V    F
c )
\(-\dfrac {7}{6} < +\dfrac {6}{7}\) V    F
d )
\(+\dfrac {7}{6} < -\dfrac {6}{7}\) V    F
e )
\(+\dfrac {7}{6} < +\dfrac {6}{7}\) V    F
f )
\(+\dfrac {7}{6} > -\dfrac {6}{7}\) V    F

1.23. Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1? \[\boxed {A} \quad 0,10 \qquad \boxed {B} \quad 0,99 \qquad \boxed {C} \quad 0,01 \qquad \boxed {D} \quad 0,90\]

1.24. Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione \(\frac {1}{10}\)? \[\boxed {A} \quad 0,01 \qquad \boxed {B} \quad 0,90 \qquad \boxed {C} \quad 1,01 \qquad \boxed {D} \quad 0,19\]

1.25. Scrivi due numeri compresi tra:

a )
2,3 e 3,4;
b )
3,4 e 3,6;
c )
\(2,\overline {3}\) \(2,\overline {4}\)
d )
\(1,1\overline {3}\) \(1,2\overline {3}\)
e )
\(3,\overline {4}\) \(3,\overline {6}\)
f )
\(1,\overline {35}\) \(1,\overline {36}\)

1.26. Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni e poi riscrivile in ordine crescente: \[\frac {3}{4}; \quad \frac {3}{8}; \quad \frac {1}{3}; \quad \frac {5}{4}; \quad \frac {2}{5}; \quad \frac {6}{3}; \quad \frac {5}{6}; \quad \frac {12}{4}; \quad \frac {19}{8}; \quad \frac {16}{5}.\]

1.3.5 Operazioni con le frazioni

1.27. Calcola le seguenti somme algebriche tra frazioni.

a )
\(\dfrac {1}{2} + \dfrac {3}{2}\)
b )
\(\dfrac {7}{11} + \dfrac {4}{11}\)
c )
\(\dfrac {3}{2} - \dfrac {5}{2}\)
d )
\(\dfrac {8}{18} + \dfrac {5}{9}\)
e )
\(\dfrac {6}{5} +~0\)
f )
\(-\dfrac {3}{2}+\dfrac {4}{3}\)
g )
\(-\dfrac {2}{3}+\dfrac {3}{4}\)
h )
\(\dfrac {4}{3}-\dfrac {6}{5}\)
i )
\(\dfrac {2}{5}+\dfrac {5}{8}\)
j )
\(\dfrac {5}{8}+\dfrac {5}{6}\)
k )
\(\dfrac {5}{6}-\dfrac {5}{12}\)
l )
\(1-\dfrac {3}{2}\)
m )
\(\dfrac {11}{5}+5\)
n )
\(\dfrac {7}{3}-\dfrac {6}{4}\)
o )
\(3-\dfrac {2}{3}\)
p )
\(\dfrac {1}{5}-1\)
q )
\(4+\dfrac {3}{2}-\dfrac {3}{4}\)
r )
\(\dfrac {4}{3}+3-\dfrac {1}{2}\)
s )
\(\dfrac {3}{4}+\dfrac {1}{4}-\dfrac {5}{4}\)
t )
\(1-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}\)

1.28. Completa la seguente tabella.

\(~~n\)

\(~~d\)

\(\quad \frac {n}{d}\)

\(\quad -\frac {n}{d}\)

\(\quad \frac {-n}{d}\)

\(\quad \frac {-n}{-d}\)

\(+5\)

\(+2\)

      

\(+4\)

\(-7\)

      

\(-1\)

\(+9\)

      

\(-5\)

\(-8\)

      

1.29. Completa la seguente tabella.

\(~~a\)

\(~~b\)

\(\quad a+b\)

\(\quad +a-b\)

\(\quad -a+b\)

\(\quad -a-b\)

\(- \frac {2}{3}\)

\(\frac {7}{3}\)

      

\(\frac {3}{4}\)

\(- \frac {5}{8}\)

      

\(-1\)

\(\frac {2}{5}\)

      

\(-5\)

\(\frac {17}{3}\)

      

1.30. Calcola a mente:

a )
\(0,1+0,1\)
b )
\(0,2+0,8\)
c )
\(0,01+0,9\)
d )
\(0,91+0,19\)
e )
\(1,10+1,01\)
f )
\(0,999+0,10\)
g )
\(1,1-0,9\)
h )
\(100-0,99\)
i )
\(2-0,1\)
j )
\(3-1,1\)
k )
\(4-1,4\)
l )
\(10-0,10\)

1.31. Calcola i seguenti prodotti fra frazioni.

a )
\(\dfrac {3}{2}\cdot \dfrac {4}{3}\)
b )
\(6\cdot \dfrac {5}{2}\)
c )
\(-\dfrac {6}{5}\cdot \tonda {-\dfrac {4}{3}}\)
d )
\(\dfrac {2}{3}\cdot \dfrac {2}{9}\)
e )
\(\dfrac {5}{5}\cdot \dfrac {5}{8}\cdot \tonda {-\dfrac {5}{6}}\)
f )
\(\dfrac {3}{2}\cdot \tonda {-\dfrac {8}{9}}\cdot \dfrac {5}{6}\)

1.32. Calcola a mente:

a )
\(0,1\cdot 0,1\)
b )
\(\dfrac {1}{10}\cdot \dfrac {1}{10}\)
c )
\(0,1\cdot 100\)
d )
\(1\cdot 0,1\)
e )
\(2\cdot 0,1\)
f )
\(20\cdot 0,02\)
g )
\(0,01\cdot 10\)
h )
\(\dfrac {1}{100}\cdot 10\)
i )
\(0,1\cdot 0,2\)
j )
\(\dfrac {3}{10}\cdot 30\)
k )
\(0,01\cdot 0,1\)
l )
\(1000\cdot 0,0001\)

1.33. Completa la seguente tabella.

\(~~a\)

\(~~b\)

\(\quad a \cdot b\)

\(\quad -a \cdot b\)

\(\quad a : b\)

\(\quad b : a\)

\(- \frac {2}{3}\)

\(+\frac {7}{3}\)

      

\(+\frac {3}{4}\)

\(- \frac {5}{8}\)

      

\(-1\)

\(+\frac {2}{5}\)

      

\(-5\)

\(+\frac {17}{3}\)

      

\(1\)

\(- \frac {6}{7}\)

      

1.34. Calcola i seguenti quozienti fra frazioni.

a )
\(\dfrac {3}{2}:\dfrac {4}{3}\)
b )
\(-\dfrac {6}{5}:\tonda {-\dfrac {2}{3}}\)
c )
\(\dfrac {+3}{2}:\tonda {\dfrac {-3}{2}}\)
d )
\(\dfrac {2}{5}:\dfrac {5}{8}:\tonda {-\dfrac {5}{6}}\)

1.35. Calcola a mente:

a )
\(0,30\cdot 0,40\)
b )
\(0,5:0,1\)
c )
\(0,5\cdot 0,2\)
d )
\(0,1\cdot 0,1\)
e )
\(0,4\cdot 3\)
f )
\(0,1:0,1\)
g )
\(0,5\cdot 20\)
h )
\(0,1\cdot 0,010\)

1.36. Calcola il valore delle seguenti potenze.

a )
\(\tonda {-\dfrac {2}{3}}^2\)
b )
\(\tonda {-\dfrac {1}{2}}^3\)
c )
\(\tonda {-\dfrac {3}{2}}^2\)
d )
\(\tonda {\dfrac {1}{2}-1}^3\)
e )
\(\tonda {-\dfrac {3}{5}}^0\)
f )
\(\tonda {-\dfrac {3}{5}}^1\)
g )
\(-2^4\)
h )
\((-2)^4\)
i )
\(\tonda {-\dfrac {2}{3}}^{-2}\)
j )
\(\tonda {-\dfrac {1}{2}}^{-3}\)
k )
\(-\tonda {\dfrac {3}{2}}^{-2}\)
l )
\(-2^{-4}\)
m )
\((-2)^{-4}\)
n )
\(-\tonda {\frac {5}{6}}^{-1}\)

1.37. Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nei seguenti passaggi.

a )
\(\displaystyle {\tonda {-\frac {3}{2}}^2\cdot \tonda {-\frac {3}{2}}^{3}= \tonda {-\frac {3}{2}}^{5}=-\frac {3^5}{2^5}}\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {-\frac {3}{2}}^2:\tonda {-\frac {3}{2}}^{3}= \tonda {-\frac {3}{2}}^{-1} = -\frac {2}{3}}\)
c )
\(\displaystyle {\tonda {\tonda {-\frac {3}{2}}^2}^3 = \tonda {-\frac {3}{2}}^{6} = +\frac {3^6}{2^6}}\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {5}{2}}^2:\tonda {\frac {25}{10}}^2= \tonda {\frac {5}{2}:\frac {5}{2}}^2 = \tonda {\frac {5}{2}\cdot \frac {2}{5}}^2 = 1^2}\)
e )
\(\displaystyle {\tonda {-\frac {5}{2}}^{2}\cdot \tonda {\frac {6}{25} }^{2}= \tonda {-\frac {5}{2} \cdot \frac {6}{25}}^{2}= \tonda {-\frac {3}{5}}^2 = +\frac {3^2}{5^2}}\)

1.38. Completa la seguente tabella.

\(~~a\)

\(\quad a^2\)

\(\quad (-a)^2\)

\(\quad -a^2\)

\(\quad a^3\)

\(\quad a^0\)

\(\quad a^{-1}\)

\(\quad a^{-2}\)

\(- \frac {2}{3}\)

        

\(+\frac {3}{4}\)

        

\(+\frac {2}{5}\)

        

\(+\frac {12}{7}\)

        

\(- \frac {6}{5}\)

        

1.39. Calcola a mente.

a )
\(3,4\cdot 10^2\)
b )
\(3,4:10^2\)
c )
\(0,34\cdot 10^4\)
d )
\(34,4:10^2\)
e )
\(0,34\cdot 10^3\)
f )
\(34,10\cdot 10^3\)
g )
\(3,04\cdot 10\)
h )
\(0,34:10^2\)

1.40. Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni.

a )
\(-(-2)^2\)
b )
\(\dfrac {2^{-2}-3^{-1}}{2^{-2}+3^{-1}}\)
c )
\([-(-1)^{2}]^3\)
d )
\(\dfrac {2^{-1}+3^{-2}}{2^{-2}+3^{-1}}\)
e )
\(-(-2)^{-4}\)
f )
\((-3)^3\cdot \dfrac {2^{-2}-5^{-1}}{2^{-2}+5^2}\)

1.6 Notazione scientifica e ordine di grandezza

1.41. Esprimere in notazione scientifica i seguenti numeri.

a )
\(780000000000000=7,8\cdot 10^{\ldots }\)
b )
\(423000000000=4,23\cdot 10^{\ldots }\)
c )
\(76000000000000= \ldots \cdot 10^{\ldots }\)
d )
\(0,00000000098=9,8\cdot 10^{\ldots }\)
e )
\(0,0000045=4,5\cdot 10^{\ldots }\)
f )
\(0,000000987= \ldots \cdot 10^{\ldots }\)

1.42. Quale tra i seguenti numeri non è scritto in notazione scientifica?

A

\(5,67\cdot 10^{-12}\) B \(4,28\cdot 10^8\) C \(10,3\cdot 10^{-2}\) D \(9,8\cdot 10^7\)

1.43. Determina in notazione scientifica l’area di una lamina di ferro quadrata avente il lato di misura \(0,00000000021\unit {m}\)

1.44. Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri. \[34000;\qquad 0,000054;\qquad 26;\qquad 0,54000;\qquad 5;\qquad 0,00001; \qquad 990000;\qquad 222.\]

1.45. Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il risultato.

a )
\(0,00036\cdot 20000000=\ldots \)
b )
\(8400:42=\ldots \)
c )
\(900000000:0,0003=\ldots \)
d )
\(3:10000000=\ldots \)

1.46. Calcola ed esprimi il risultato in notazione scientifica.

a )
\(3\cdot 10^{24} +4\cdot 10^{24}\)
b )
\(0,3\cdot 10^{104} +4\cdot 10^{103}\)
c )
\(6\cdot 10^{101}\cdot 0,15\cdot 10^{101}\)
d )
\(12\cdot 10^{2000}:6\cdot 10^{200}\)

1.47 (\(\relax ^{\ast }\)). Esegui i seguenti calcoli usando la notazione scientifica:

a )
\(\dfrac {(0,00002)^2:30000000\cdot (0,1)^5}{4000 \cdot 0,02:0,000003}\) [\(5\cdot 10^{-30}\)]
b )
\(\dfrac {(3000)^2:0,000003:20000000}{0,00002:0,00000004}\) \(\left [3\cdot 10^2 \right ]\)
c )
\(\dfrac {(2000)^3 \cdot (0,000001)^5:20}{(0,0003)^2:3.000.000}\) \(\left [1,3\cdot 10^{-8} \right ]\)
d )
\(\dfrac {4000^2\cdot 0,000012}{3\cdot 10^9\cdot 2000^3}\) \(\left [8\cdot 10^{-18} \right ]\)

1.48. Disponi in ordine di distanza dal Sole i seguenti pianeti, in base alla distanza media riportata tra parentesi: Mercurio \((5,8\cdot 10^7)\), Nettuno \((4,5\cdot 10^9)\), Giove \((7,8\cdot 10^8)\), Plutone \((6,1\cdot 10^9)\), Urano \((2,7\cdot 10^9)\), Terra \((1,5\cdot 10^8)\), Marte \((2,3\cdot 10^8)\)

1.49. Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

a )
\(126\,000\,000\)
b )
\(0,0000098\)
c )
\(7\,000\,000\)
d )
\(0,0000000027\)

1.50. Completare la seguente tabella.

Numero  \(26 000 000\)  \(0,000083\)  \(490 000\)  \(0,0000081\)
Notazione scientifica
     
ordine di grandezza

1.51. Determina l’ordine di grandezza del risultato dei seguenti calcoli.

a )
\(5,3\cdot 10^5\cdot 1,2\cdot 10^3-2,5\cdot 10^6\)
b )
\((5\cdot 10^2\cdot 4\cdot 10^3)^3\)

1.7 Rapporto, percentuale, proporzioni

1.52. Trasforma i seguenti numeri percentuali in numeri decimali. \[12\%;\quad 0,03\%;\quad 4,3\%;\quad 80\%;\quad 3,5\%;\quad -0,2\%;\quad 15\%; \quad -0,38\%.\]

1.53. Trasforma i seguenti numeri decimali in percentuali. \[-1,25;\quad 0,03;\quad -2,\overline {1};\quad 0,\overline {13};\quad 5,080; \quad 3,7\overline {52};\quad -0,38.\]

1.54. Trasforma i seguenti numeri percentuali in frazioni ridotte ai minimi termini. \[12\%;\quad 0,03\%;\quad 4,3\%;\quad 80\%;\quad 3,5\%;\quad -0,2\%;\quad 15\%; \quad -0,38\%.\]

1.55. Trasforma le seguenti frazioni in numeri percentuali. \[-\frac {3}{2};\quad \frac {4}{3};\quad -\frac {6}{5};\quad \frac {2}{25}; \quad \frac {5}{8};\quad \frac {5}{6};\quad -\frac {5}{12}.\]

1.56. A una scuola di ballo si sono iscritte 120 persone; il \(20\%\) frequentano i corsi di ballo liscio. In quanti frequentano i corsi di liscio?

1.57. Una scuola attiva dei corsi di lingue. 32 studenti si iscrivono al corso di inglese, 24 al corso di francese e 16 al corso di tedesco. Qual è la percentuale degli alunni iscritti al corso di inglese, rispetto al totale degli iscritti?

1.58. A una scuola di ballo sono iscritte 120 persone. Di queste il \(68\%\) sono donne. Quanti sono gli uomini?

1.59. Una bici viene venduta con uno sconto del \(10\%\), il prezzo di listino prima dello sconto era \(175\matheuro \). Quanto costa ora?

1.60 (\(\relax ^{\ast }\)). Una canna da pesca da \(125\matheuro \) è in vendita promozionale a \(70\matheuro \). Qual è la percentuale di sconto applicata? [44%]

1.61 (\(\relax ^{\ast }\)). Per l’acquisto di un armadio Maria è riuscita a spuntare, dopo lunghe discussioni, uno sconto del \(25\%\) risparmiando ben \(120\matheuro \). Qual era il prezzo senza sconto? [480]

1.62. Completa la seguente tabella.

Prezzo di listino (\(\matheuro \)) Sconto (\(\matheuro \)) sconto (\(\%\)) Prezzo scontato (\(\matheuro \))
120 12 10 108
125 5
1 100 15
12 000 700
15 15
30 50
25 140
120 30

1.63. Calcola:

a )
il \(10\%\) di 100
b )
il \(30\%\) di 700
c )
il \(20\%\) di 500
d )
il \(15\%\) di 150
e )
il \(25\%\) di 1250
f )
il \(16\%\) di 120
g )
il \(18\%\) di 1700
h )
il \(14\%\) di 3570
i )
il \(47\%\) di 7480

1.64. Quale percentuale è:

a )
10 bocciati su 120 alunni: la percentuale di bocciati è ……;
b )
15 alunni su 45 giocano a calcio: la percentuale di alunni che giocano a calcio è ……;
c )
10 alunni su 28 suonano il piano: la percentuale di alunni che suonano il piano è ……;
d )
20 alunni su 120 frequentano il corso di teatro: la percentuale di alunni che fanno teatro è ……

1.65. Se aumenta il prezzo:

a )
il pane lo scorso costava \(1,20\matheuro /kg\), quest’anno è aumentato del \(3\%\), allora costa ……\(\matheuro /kg\);
b )
la benzina costava \(1,514\matheuro /l\), quest’anno costa \(1,629\matheuro /l\) allora è aumentata del ……%;
c )
il latte lo scorso anno costava \(1,25\matheuro /l\), quest’anno è aumentato di \(0,05\%\), allora costa \(\ldots \ldots \matheuro /l\);
d )
il parmigiano costava \(23,50\matheuro /kg\) quest’anno costa \(25,80\matheuro /kg\) allora è aumentato del ……%.

1.66. Se il prezzo diminuisce:

a )
i pomodori costavano \(1,20\matheuro /kg\), quest’anno sono diminuiti del 5%, allora costano \(\ldots \ldots \matheuro /kg\);
b )
i peperoni costavano \(2,10\matheuro /kg\), quest’anno costano \(1,80\matheuro /kg\) allora sono diminuiti del ……%;
c )
la cicoria costava \(0,80\matheuro /kg\), ora due chili costano \(1,20\matheuro \), il prezzo è diminuito del ……%;
d )
le arance costava \(1,40\matheuro /kg\), quest’anno sono diminuite del 15%, allora costano al chilo \(\ldots \ldots \matheuro /kg\)

1.67. Dato il costo di un oggetto IVA esclusa, calcola il prezzo IVA inclusa.

Costo IVA esclusa (\(\matheuro \)) IVA (%) Costo IVA inclusa (\(\matheuro \))
130 21
1 250 21
17,40 4
21 170
21 12 240
101,00 105,60

1.68. Dati imponibile (costo senza IVA) e IVA determina il costo comprensivo di IVA, e viceversa

Imponibile (\(\matheuro \)) IVA (%) IVA (\(\matheuro \)) Totale
100 21 21 121
1 100 21
23 1 100
1 000 1 100
21 141
1 100 100

1.69. La seguente tabella riporta i dati relativi alla provenienza di una classe prima di una scuola secondaria.

Scuola di provenienza
Sesso Scuola A Scuola B Scuola C Altre scuole
M 6 4 4 2
F 5 3 4 2

a )
Qual è la percentuale di alunni provenienti dalla Scuola A?
b )
qual è la percentuale di maschi provenienti dalla Scuola C?
c )
qual è la percentuale di alunni che non provengono dalle scuole A o B o C?
d )
qual è la percentuale di alunni che provengono dalle scuola A o C?

1.70. Agli esami di stato un gruppo di allievi (A) ha riportato i seguenti punteggi (P) in centesimi.

P 60 64 68 70 74 75 80 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 94 98 100
A 2 3 1 5 4 2 1 2 3 2 4 1 3 2 1 3 2 4 6 8

Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con un punteggio superiore a 75. Quale percentuale di diplomati potrà partecipare al concorso? Se solo il 10% di quelli che si sono presentati al concorso lo hanno superato, quanti degli allievi hanno superato il concorso?

1.71. Tra i dipendenti di un’azienda si effettua un sondaggio per decidere se è opportuno introdurre un nuovo tipo di turno di lavoro. Nella tabella sono riportati i risultati del sondaggio.

favorevoli contrari
uomini 75 49
donne 81 16

a )
Tra le donne, qual è la percentuale di lavoratrici favorevoli al nuovo turno?
b )
qual è la percentuale di lavoratori (uomini e donne) che non sono favorevoli al nuovo turno?

1.72. Sapendo che \(\overline {AB}=12\unit {cm}\) e che \(\overline {BC}=\frac {3}{4} \overline {AB}\) calcola la lunghezza di \(BC\)

1.73. Sapendo che \(\overline {AB}=36\unit {cm}\) e che \(\overline {AB}=\frac {6}{5} \overline {BC}\) calcola la lunghezza di \(BC\)

1.74. Sapendo che \(\overline {AB}+\overline {BC}=15\unit {cm}\) e che \(\overline {AB}= \frac {2}{3}\overline {BC}\) calcola le lunghezze di \(AB\) \(BC\)

1.75. Sapendo che \(\overline {AB}-\overline {BC}=4\unit {cm}\) e che \(\overline {AB}= \frac {4}{3}\overline {BC}\) calcola le lunghezze di \(AB\) \(BC\)

1.76. Determina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che uno è la metà dell’altro.

1.77. La superficie della Toscana è divisa tra le seguenti provincie, calcola per ciascuna di esse la percentuale del territorio posseduta: Arezzo (\(3\,235\unit {km}^2\)), Firenze (\(3\,514\unit {km}^2\)), Grosseto (\(4\,504\unit {km}^2\)), Livorno (\(1\,211\unit {km}^2\)), Lucca (\(1\,773\unit {km}^2\)), Massa e Carrara (\(1\,156\unit {km}^2\)), Pisa (\(2\,444\unit {km}^2\)), Pistoia (\(965\unit {km}^2\)), Prato (\(365\unit {km}^2\)), Siena (\(3\,821\unit {km}^2\)).

1.78. La superficie della Terra è per il 70% ricoperta di acqua e per il 30% di terraferma. Per \(1/5\) la terraferma è coperta da ghiaccio e deserto, per \(2/3\) da foreste e montagna. La parte rimanente è terreno coltivato. Qual è in percentuale la parte della superficie terrestre coltivata?

1.79 (\(\relax ^{\ast }\)). In \(30\unit {kg}\) di sapone concentrato al 30% quanta acqua e quanto sapone ci sono? [\(21\unit {kg}\)\(9\unit {kg}\)]

1.80. Una soluzione di \(6\unit {kg}\) è concentrata al 45%. Quanta sostanza concentrata devo aggiungere per avere una nuova soluzione concentrata al 60%.

1.81. Quanta acqua bisogna aggiungere a una soluzione di \(2\unit {kg}\) concentrata al 12% per ottenere una nuova soluzione concentrata al 10%?

1.82. Si hanno due soluzioni delle stesse sostanze, una concentrata al 10% e l’altra al 30%. In quale proporzione occorre miscelare le due soluzioni in modo da ottenere \(6\unit {kg}\) di soluzione concentrata al 15%?

1.83. Una persona paga un tappeto \(1200\matheuro \), lo stesso tappeto l’anno precedente costava \(900\matheuro \). Quanto è stato l’aumento percentuale da un anno all’altro?

1.84. Quanto vale il 2012% di 2012?

1.85. Verifica se i gruppi di numeri formano nell’ordine scritto una proporzione. \[ \text {a}\,)\,\frac {1}{5}; \frac {3}{5}; \frac {1}{2}; \frac {3}{2}\qquad \text {b}\,)\,\frac {3}{5}; \frac {2}{3}; \frac {3}{4}; \frac {5}{6}\qquad \text {c}\,)\,~35;~7;~48;~6\qquad \text {d}\,)\,14;~3,5;~4;~1\qquad \text {e}\,)\,\frac {1}{5}; \frac {4}{3}; \frac {4}{27}; \frac {8}{9} \]

1.86. Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per verificare quale delle seguenti scritture formano una proporzione.

a )
\(10:11 =12:13\)      No
b )
\(7:14 =21:42\)      No
c )
\(64:48 =8:6\)      No
d )
\(18:15 =12:10\)      No
e )
\(10:6 =5:3\)      No
f )
\(1,2:1,4 =3,6:4,2\)      No

1.87. Disponi opportunamente i numeri in modo che formino una proporzione.

a )
7 5 20 28;
b )
8 3 2 12;
c )
5 6 2 15;
d )
3 5 9 15;
e )
6 7 2 21;
f )
3 8 6 16.

1.88. Completa la seguente tabella.

1ˇr termine  2ˇr termine Antecedente Conseguente Rapporto Rap. inverso
32  8  32  8  \(32:8=4\) \(\displaystyle {\frac {8}{32}=\frac {1}{4}}\)
12 13
\(\displaystyle {\frac {3}{5}}\)  3
 \(\displaystyle {\frac {1}{4}:\frac {3}{2}=\frac {1}{6}}\)
\(\displaystyle {\frac {7}{10}=\frac {21}{30}}\)

1.89. Completa la seguente tabella.

Proporzione Antecedenti Conseguenti Medi Estremi Valore rapporto
\(3:5 =21:35\)  3 e 21 5 e 35  5 e 21  3 e 35  0,6
\(54:12 =36:8\)
\(7:21 =9:27\)
\(\displaystyle {\frac {5}{4}:\frac {15}{8}=4:6}\)

1.90. Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a )
\(269~2:24 =3: x\)
b )
\(x:0,\overline {6} =0,8:1,\overline {3}\)
c )
\(\displaystyle {\frac {7}{3}:x=\frac {4}{3}:\frac {8}{35}}\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {1-\frac {5}{12}}:\tonda {\frac {5}{6}+ \frac {1}{3}}=x:\tonda {\frac {9}{8}-\frac {5}{8}}}\)

1.91. Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {3}{20}+\frac {3}{8}}:x=\tonda {1- \frac {1}{3}}:\tonda {\frac {11}{3}+\frac {1}{7}}}\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {1+\frac {1}{4}-\frac {1}{8}}: \tonda {\frac {5}{8}+\frac {1}{4}}=\tonda {\frac {5}{8}+\frac {1}{2}}:x}\)
c )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {4}{5}+1}:\tonda {3-\frac {1}{5}}=x: \tonda {2+\frac {1}{3}}}\)

1.92 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {5}{3}+\frac {8}{3}-3}:x = x:\tonda {1 + \frac {5}{16}+\frac {3}{8}}}\) \(\left [\pm \dfrac {3}{2} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\bigg \lbrace \frac {5}{2}:\quadra {\frac {1}{2}\cdot \tonda {3+\frac {1}{3}:\frac {5}{3}-\frac {14}{5}}}\bigg \rbrace :x=x:\bigg \lbrace \frac {3}{11}\quadra {\tonda {5-\frac {3}{2}}\cdot \frac {2}{21}+\frac {3}{2}}\bigg \rbrace }\) \(\left [\pm \dfrac {5}{2} \right ]\)
c )
\((70-x):6=x:8\) \(\left [40 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {5}{6}-x}:\tonda {1- \frac {1}{2}}= x: \tonda {\frac {1}{6}+ \frac {2}{3}}}\) \(\left [\dfrac {25}{48} \right ]\)

1.11.1 Esercizi riepilogativi

1.93. Esegui le seguenti operazioni con le frazioni, quando è possibile.

a )
\(\displaystyle {\frac {2}{3}\cdot 0}\)
b )
\(\displaystyle {\frac {1}{2}-\frac {1}{2}}\)
c )
\(\displaystyle {\frac {1}{2}\cdot \frac {2}{0}}\)
d )
\(0,3:3\)
e )
\(\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \frac {0}{2}\)
f )
\(\displaystyle {\frac {1}{2}\cdot \frac {1}{2}}\)
g )
\(\displaystyle {\frac {2}{3}:0}\)
h )
\(1,5:1,5\)
i )
\(\displaystyle {\frac {2}{3}-0}\)
j )
\(\displaystyle {1:\frac {2}{3}}\)
k )
\(\displaystyle {\frac {1}{4}\cdot 4}\)
l )
\(1,5^0\)
m )
\(\dfrac {1}{4}:4\)
n )
\(\dfrac {(-2)^{-2}}{(-1)^{-1}}\)
o )
\(\displaystyle {1,5 : 1,\overline {5}}\)
p )
\((1-1)^0\)

1.94. Verifica le seguenti uguaglianze trovando la frazione generatrice. \[\frac {1,\overline {7}}{1,\overline {3}}=1,\overline {3};\qquad \frac {2,\overline {7}}{1,\overline {6}}=1,\overline {6};\qquad \frac {1,\overline {16}}{2,\overline {3}}=0,5;\qquad \frac {2,\overline {3}}{1,\overline {6}}=1,4.\]

1.95. Sottolinea le frazioni equivalenti a \(\frac {3}{5}\) tra le seguenti. \[\frac {6}{10};\qquad \frac {25}{100};\qquad \frac {12}{10};\qquad \frac {5}{25}.\]

1.96. Completa le seguenti uguaglianze.

a )
\(\displaystyle {\frac {3}{5}=\frac {\ldots }{10}}\)
b )
\(\displaystyle {\frac {75}{10}=\frac {\ldots }{100}}\)
c )
\(\displaystyle {\frac {7}{\ldots }=\frac {1}{2}}\)
d )
\(\displaystyle {3=\frac {24}{\ldots }}\)

1.97. Completa: \[\frac {3}{4}+\ldots =1;\qquad 1-\ldots =\frac {4}{13};\qquad \frac {11}{12}\cdot \ldots =\frac {8}{55};\qquad \ldots :\frac {5}{3}=\frac {3}{5}.\]

1.98. Correggi le seguenti operazioni. \[\frac {3}{4}+\frac {2}{7}=\frac {3\cdot 7+4\cdot 2}{4+7};\qquad \frac {8}{25}-\frac {3}{10}=\frac {8-3}{50};\qquad 3\cdot \frac {11}{13}=\frac {33}{39}.\]

1.99. Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni. \[\frac {3}{4};\quad \frac {3}{8};\quad \frac {1}{3};\quad \frac {5}{4};\quad \frac {2}{5};\quad \frac {6}{3};\quad \frac {5}{6};\quad \frac {12}{4};\quad \frac {19}{8};\quad \frac {16}{5}.\]

1.100. Calcola le seguenti operazioni fra numeri razionali.

a )
\(1,\overline {6} +\dfrac {2}{3}\)
b )
\(5,1 -~1,\overline {5}\)
c )
\(0,03+ \dfrac {0}{3}\)
d )
\(0,1\overline {6} -~1,\overline {45}\)
e )
\(3,999+ \text {un centesimo}\)
f )
\(7,9892+3,1218\)
g )
\(2\% + 5\%\)
h )
\(50\% + \dfrac {1}{2}\)
i )
\(\dfrac {2}{5}-1,2+5\%~\)
j )
\(-1,\overline {2}+25\%+\dfrac {5}{18}\)
k )
\(\dfrac {3}{2} -13\% +0,15\)
l )
\(2\% \cdot 5\%\)
m )
\(1,\overline {2} +~1,2 + \dfrac {1}{2} +~1,2\%~\)
n )
\(-1,\overline {1} \cdot \dfrac {18}{5}\)
o )
\(-\dfrac {3}{4} \cdot 1,4 \cdot 30\%\)
p )
\(2\% : 5\%\)
q )
\(-1,\overline {1} : \dfrac {18}{5}\)
r )
\(\dfrac {1}{2} : 0,5\)

1.101 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {-1+\frac {1}{2}}:\tonda {\frac {3}{2}+ \frac {5}{4}}}\) \(\left [-\dfrac {2}{11} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {-{\frac {2}{3}}+\frac {1}{2}}\cdot \tonda {\frac {1}{2}-\frac {3}{4}}}\) \(\left [\dfrac {1}{24} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {1}{2}\cdot \tonda {-{\frac {1}{4}}+\frac {3}{2}}: \tonda {\frac {3}{2}-\frac {3}{4}}}\) \(\left [\dfrac {5}{6} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\frac {1}{3}-\tonda {\frac {2}{3}-\frac {5}{6}}+ \frac {3}{2}-\quadra {\frac {3}{4}-\tonda {\frac {7}{30}-\frac {4}{5}}+\frac {5}{6}}}\) \(\left [-\dfrac {3}{20} \right ]\)

1.102 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\frac {5}{6}-\frac {2}{3}\cdot \frac {12}{5}+\frac {3}{2} \cdot \quadra {\frac {3}{4}\cdot \tonda {\frac {12}{7}-\frac {5}{2}}+\frac {5}{6}}}\) \(\left [-\dfrac {673}{1680} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\frac {5}{6}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot \frac {12}{5}- \frac {3}{4}:\quadra {0,75-\frac {5}{6}}}\) \(\left [\dfrac {31}{3} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {1}{3}:\tonda {\frac {3}{2}-\frac {2}{3}}+ \frac {1}{6}-\frac {1}{15}}\) \(\left [\dfrac {1}{2} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {-\tonda {\frac {3}{4}+1,4}\cdot \tonda {\frac {2}{3}- \frac {3}{8}}+\frac {6}{5}}\) \(\left [\dfrac {55}{96} \right ]\)

1.103 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {2}{3}-\frac {7}{6}}-\tonda {1+ \frac {5}{6}}:\tonda {2-\frac {1}{3}}}\) \(\left [-\dfrac {8}{5} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {5}{3}-\frac {7}{2}}\cdot \frac {4}{5}+ \quadra {\tonda {\frac {1}{3}-\frac {1}{15}}\cdot \frac {5}{2}}^{2}}\) \(\left [-\dfrac {46}{45} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {63}{55}\cdot \frac {44}{45}+\frac {14}{75}\cdot \frac {15}{35}+\frac {2}{25}\cdot 10-\frac {16}{25}:\frac {3}{5}+\frac {1}{15}}\) \(\left [1 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\graffa {\quadra {\tonda {\frac {1}{2}-\frac {2}{3}}: \tonda {\frac {5}{6}-\frac {5}{12}}\cdot \frac {1}{2}+\frac {3}{4}}:\frac {1}{4}}-\frac {2}{3}\cdot (-0,6)}\) \(\left [\dfrac {13}{5} \right ]\)

1.104 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\frac {4}{5}-\frac {27}{7}\cdot {\frac {1}{12}}+ \frac {8}{21}:\frac {8}{6}+\frac {13}{2}\cdot \frac {1}{7}-\frac {9}{14}+\frac {1}{7}-\frac {12}{25}:\frac {3}{5}}\) \(\left [\dfrac {11}{28} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\quadra {\tonda {\frac {1}{3}-\frac {1}{7}}\cdot {\frac {7}{2}}-\tonda {\frac {10}{18}-\frac {7}{15}}:\frac {2}{9}}: \frac {14}{15}\cdot {\frac {1}{4}}+1}\) \(\left [\dfrac {15}{14} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\quadra {\tonda {\frac {4}{3}-\frac {1}{10}}: \frac {37}{5}+\tonda {\frac {1}{2}}^{2}-\frac {1}{3}}^{2}:\quadra {\tonda {\frac {1}{2}}^{2}-\tonda {\frac {1}{3}}^{2}+ \tonda {\frac {1}{4}}^{2}-\tonda {\frac {1}{6}}^{2}+\tonda {\frac {5}{12}}^{2}}}\) \(\left [\dfrac {1}{50} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {3}{5}-\frac {1}{4}}\cdot \tonda {\frac {7}{5}+\frac {3}{4}}-\tonda {\frac {2}{3}-\frac {5}{4}\cdot \frac {3}{7}}:\frac {2}{14}-\frac {1}{400}}\) \(\left [-\dfrac {1}{6} \right ]\)

1.105 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {3-\frac {18}{5}-\frac {5}{6}}\cdot \tonda {-{\frac {9}{4}}+\frac {3}{4}}-\frac {2^{2}}{3}+\frac {1}{60}}\) \(\left [\dfrac {5}{6} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {3}{5}-1}-\tonda {\frac {1}{8}+\frac {7}{5}- \frac {17}{20}}+\tonda {\frac {7}{6}-\frac {2}{5}}:\frac {4}{15}-\tonda {\frac {3}{2}-\frac {5}{ 2} : \frac {1}{5}}:\frac {22}{17}-\frac {3}{10}}\) \(\left [10 \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {19}{3}\cdot \tonda {\frac {3}{5}+\frac {3}{2}-2}: \tonda {\frac {3}{10}-1,25}-\tonda {\frac {1}{2}-\frac {1}{5}-1}+\frac {3}{2}\cdot \tonda {-{\frac {3}{10}}+ \frac {1}{2}}\cdot \tonda {-{\frac {5}{3}}}^{2}}\) \(\left [\dfrac {13}{15} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\quadra {\tonda {1+\frac {1}{2}}:3-\tonda {2+ \frac {3}{2}}+1}+\tonda {3-\frac {3}{4}}+\tonda {\frac {1}{3}+\frac {3}{2}}-1\tonda {-2+\frac {3}{2}}^{2}}\) \(\left [\dfrac {11}{6} \right ]\)

1.106 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\quadra {\frac {2}{3}-\tonda {-\frac {1}{4}+\frac {2}{5}} }-\quadra {\frac {3}{5}-\tonda {\frac {3}{4}-\frac {1}{3}}}}\) \(\left [\frac {1}{3} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {2-\quadra {3+1-\tonda {2-\frac {1}{2}}}- \tonda {-2-\frac {1}{2}}\cdot \tonda {\frac {1}{2}-\frac {3}{4}+\frac {1}{6}}:\tonda {-{\frac {1}{2}}}}\) \(\left [-\dfrac {1}{12} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {8}{3}-\frac {1}{6}}^{-1}- \tonda {\frac {1}{2}-\frac {3}{8}}+\frac {10}{8}\cdot \tonda {\frac {5}{7}}^{-2}+\tonda {\frac {1}{3}}^{-3}\cdot \frac {1}{6^{2}}}\) \(\left [\dfrac {139}{40} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\graffa {\tonda {\frac {2}{5}}^{4}\cdot \quadra {\tonda {\frac {2}{5}}^{8}:\tonda {\frac {2}{5}}^{3}}^{2}}^{2}: \quadra {\tonda {\frac {2}{5}}^{3}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot \tonda {\frac {2}{5}}^{3}}^{4}}\) \(\left [1 \right ]\)

1.107 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {1-\quadra {\tonda {\frac {3}{2}}^{3}\cdot \tonda {\frac {3}{2}}^{2}:\tonda {\frac {3}{2}}^{4}- \tonda {\frac {4}{5}}^{3}:\tonda {\frac {4}{5}}^{3}+\tonda {\frac {1}{3}}^{4}:\tonda {\frac {1}{3}}^{3}}}\) \(\left [\dfrac {1}{6} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {1}{4}}^{-2}-\tonda {\frac {1}{2}}^{-2}+ \frac {2^{2}}{3}\cdot \tonda {\frac {2}{3}}^{-3}-\frac {(-2)^{-2}}{5}-2^{4}}\) \(\left [\dfrac {9}{20} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\graffa {\quadra {\frac {1}{6}+\frac {1}{2}:\tonda {\frac {6}{8}+1- \frac {3}{4}}}^{3}\cdot \tonda {\frac {3}{5}-\frac {3}{8}}+\frac {3}{5}}:\frac {1}{5}}\) \(\left [\dfrac {10}{3} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\graffa {\frac {1}{2}+\frac {15}{2}:\quadra {\frac {1}{2}: \tonda {1-\frac {3}{4}}+1}}\cdot \quadra {\tonda {\frac {1}{3}}^{5}:\tonda {\frac {1}{3}}^{4}}^{2}}\) \(\left [\dfrac {1}{3} \right ]\)

1.108 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\graffa {\quadra {\tonda {\frac {5}{4}}^{2}: \tonda {\frac {1}{2}}}\cdot \quadra {\tonda {\frac {1}{5}+\frac {1}{10}+\frac {1}{20}}\cdot \frac {4}{5}} \cdot \frac {1}{14}}^{2}:\tonda {1-\frac {5}{6}\cdot \frac {3}{10}}^{2}}\) \(\left [\dfrac {1}{144} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\quadra {(0,4-1)^{2}:0,01-\tonda {-{\frac {2}{3}}}^{-2} }\cdot \tonda {-{\frac {1}{2}}}^{-4}}\) \(\left [540 \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {7}{23}\graffa {\tonda {\frac {9}{4}+\frac {3}{4}\cdot {\frac {1}{2}}-\frac {11}{16}\cdot \frac {1}{2}+\frac {1}{8}}:\quadra { \tonda {\frac {4}{7}+\frac {5}{4}}:\frac {17}{7}}}\cdot {\frac {16}{21}}}\) \(\left [\dfrac {154}{207} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {2+\frac {1}{2}}^{2} \cdot \tonda {2-\frac {1}{2} }^{-2}+\quadra {\tonda {2+\frac {1}{3}}\cdot \tonda {\frac {7}{3}}^{-2}}^{-1}}\) \(\left [\dfrac {46}{9} \right ]\)

1.109 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\quadra {\tonda {3+\frac {1}{2}-\frac {5}{3}}\cdot \tonda {\frac {1}{2}}^{2}}:\graffa {\frac {3}{2}-\quadra {\frac {2}{3}+ \tonda {\frac {2}{11}+ \frac {5}{22}+\frac {7}{33}}:\frac {82}{33}+\frac {1}{12}}^{5} }^{3}:\frac {1}{4}}\) \(\left [\dfrac {44}{3} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\graffa {\quadra {\tonda {\frac {8}{3}}^{10}: \tonda {\frac {8}{3}}^{6}}^{2}\cdot \quadra {\tonda {\frac {8}{3}}^{8}:\tonda {\frac {8}{3}}^{3}}}: \tonda {\frac {8}{3}}^{11}}\) \(\left [\dfrac {64}{9} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\tonda {1+\frac {3}{2}}^{2}\cdot \tonda {2-\frac {5}{2}}^{-2}\cdot \quadra {\tonda {\frac {1}{2}}^{2}}^{-2}}\) \(\left [400 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {1}{3}-1}-\tonda {\frac {1}{6}- \frac {1}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}-\tonda {\frac {2}{9}-\frac {1}{5}}\cdot 3-\frac {1}{30}}\) \(\left [-\dfrac {2}{3} \right ]\)

1.110 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\cfrac {\tonda {1+\cfrac {2}{3}}:5+\tonda {2- \cfrac {2}{3}}}{3+\tonda {\cfrac {1}{2}-1}}: \frac {\tonda {5-\cfrac {1}{5}}+\tonda {\cfrac {7}{3}-\cfrac {2}{35}}} {\tonda {\cfrac {3}{2}-\cfrac {1}{4}}\cdot \tonda {3-\cfrac {1}{3}}}}\) \(\left [\dfrac {700}{2229} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {8,75\cdot \tonda {\frac {2}{5}-0,2}\cdot \graffa {\quadra {2-1,\overline {6}-\tonda {0,2+\frac {2}{3}}} \cdot \tonda {\frac {1}{7}-\frac {17}{4}}}-\frac {2}{3}\cdot \tonda {2-\frac {1}{2}}+7,5-0,\overline {3}}\) \(\left [10 \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\quadra {\tonda {\frac {7}{5}-\frac {1}{2}}^{2}: \tonda {\frac {9}{10}}^{2}- \tonda {1+\frac {2}{3}-2}^{2}}^{2}:\tonda {\frac {10}{9}}^{2}- \tonda {1+\frac {8}{5}-\frac {1}{25}}}\) \(\left [-2 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {1}{6}+0,1}\div 0,16\cdot (1-1,0\overline {1})^{-1}}\) \(\left [-\dfrac {5}{11} \right ]\)

1.111 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\frac {\graffa {\quadra {\cfrac {1}{2}-\tonda {2- \cfrac {11}{4}}}:(-3,5)}\cdot \tonda {1-\cfrac {4}{5}}:7^{-2}}{\tonda {-{\cfrac {1}{3}} }^{-3}(-3)^{2}(-1)^{2}:(-3)^{2}}}\) \(\left [-\dfrac {2}{27} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {4}{3}-2}\tonda {-{\frac {1}{2}}}: \quadra {\frac {5}{7}\tonda {\frac {2}{5}-\frac {1}{6}} +\tonda {2+\frac {2}{5}}\tonda {\frac {3}{4}-\frac {4}{3}+ \frac {1}{2}}}:\frac {11}{6}}\) \(\left [-\dfrac {60}{11} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\tonda {1-\frac {1}{2}}^{-2}\cdot \quadra {\tonda {1+\frac {1}{2}}^{2}}^{-2}:\tonda {\frac {5}{2}-2 }^{-3}}\) \(\left [\dfrac {8}{81} \right ]\)

1.112 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore della seguente espressione.
\( \left \{\left [\left (1-\dfrac {3}{5}\right )^3:\left (\dfrac {2}{5}\right )^{4}\right ]: \left (\dfrac {2}{5}\right )^{2} \right \}^{6} :\left \{\left [\left (\dfrac {2}{5}\right )^{4}\cdot \left (\dfrac {7}{5}- 1\right )^2\right ]^{2}\cdot \left [\left (1-\dfrac {3}{5}\right )^{5}:\left (\dfrac {2}{5}\right )^{4} \right ]^{2}\right \}^{2} \) \(\left [\left (\frac {2}{5} \right )^{-46} \right ]\)

1.113 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {1}{5}-\frac {1}{4}}\tonda {-1- \frac {1}{3}}+\quadra {\tonda {1+\frac {4}{3}}\cdot \tonda {4-\frac {9}{2}}}\cdot {\frac {3}{4}}+3-\tonda {\frac {2}{27} \cdot {\frac {9}{10}}-\frac {1}{10}}-\frac {9}{40}}\) \(\left [2 \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\left [0,625+4,5\cdot (0,75-0,\overline {6})\right ]: \left [0,875+0,75\cdot (2,5-2,\overline {3})\right ]}\) \(\left [1 \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\graffa {3-\quadra {0,\overline {6}-\tonda {0,1\overline {6}+ \frac {5}{12}}}:0,25}^{2}\cdot (0,\overline {6}-0,625)}\) \(\left [\dfrac {8}{27} \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {12}{9}-1}^{2}\cdot \tonda {\frac {2}{81}:3 }^{-1}\cdot \frac {1}{2}+\tonda {\frac {7}{4}}^{3}\cdot \quadra {-\tonda {\frac {4}{3}-\frac {1}{3}}^{3}\cdot \tonda {\frac {5}{49}- \frac {3}{147}}}-\frac {1}{(-4)^{2}}}\) \(\left [\dfrac {25}{4} \right ]\)

1.114 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\left [0,1\overline {6}+(0,1\overline {36}+0,41 \overline {6}-0,2\overline {27}):0,3\overline {90}\right ]:\left [0,\overline {36}+2.25\cdot (0,\overline {5}-0,\overline {27})\right ]}\) \(\left [1 \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\tonda {\frac {1}{5}}^{2}-\tonda {\frac {1}{6} }^{-1}-\frac {\tonda {\frac {1}{3}+0,5}^{-2}}{\tonda {\frac {1}{3}-0,5}^{-2}}+\tonda {\frac {0,5-0,1}{1-0,5} }^{-2}-4^{-2}}\) \(\left [-\dfrac {9}{2} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\frac {1,6-0,5\cdot (0,\overline {6}-0,5):(1-0, \overline {6})^{2}-0,7}{3\cdot (1-0,5)^{2}+0,875-(1-0,5)^{2}:0,2-0,6\cdot 0,5}}\) \(\left [2 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {{0,1\overline {6}}^{2}+\left [1,5:1,5^{2}+\left (1, \overline {6}-0,5\right ):\left (2-0,\overline {3}\right )+\left (0,\overline {6}+0,5-0,2\right )\cdot 0,75:5,8\right ]\cdot 0, \overline {6}}\) \(\left [\dfrac {38}{45} \right ]\)

1.115 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\left \{0,8\overline {3}-\left [0,\overline {6}+(0,75-{0, \overline {6}}^{2}-(1-2,\overline {3}\cdot 0,25))\right ]+0,\overline {6}:0,\overline {8}\right \}:1,02\overline {7}}\) \(\left [\dfrac {40}{37} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}+\frac {1}{\sqrt {13^{2}-12^2}}- \sqrt {\cfrac {1}{36}+\cfrac {1}{8}-\cfrac {1}{24}}}\) \(\left [\dfrac {1}{15} \right ]\)
c )
\(\displaystyle {\sqrt {20-2\cdot (2+3)+(2+1)\cdot 5}+\sqrt {48:6-3 \cdot 2+10:5}}\) \(\left [7 \right ]\)
d )
\(\displaystyle {\sqrt {\cfrac {1}{9}\cdot \graffa {\quadra {\cfrac {11}{3}- \tonda {\cfrac {1}{3}-\cfrac {1}{4}}}:\quadra {\tonda {2-\cfrac {7}{4}}+\cfrac {10}{3}}}}}\) \(\left [\dfrac {1}{3} \right ]\)

1.116 (\(\relax ^{\ast }\)). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a )
\(\displaystyle {\sqrt {\graffa {\quadra {\tonda {\cfrac {5}{4}}^{2}: \tonda {\cfrac {1}{4}}^{2}}\quadra {\tonda {\cfrac {1}{5}+\cfrac {1}{10}+\cfrac {1}{20}}\cdot \cfrac {4}{5} }\cdot \cfrac {1}{4}}^{2}:\tonda {1-\cfrac {5}{6}\cdot \cfrac {3}{10}}^{2}}}\) \(\left [\dfrac {7}{3} \right ]\)
b )
\(\displaystyle {\left (1+\frac {1}{1-\cfrac {1}{2}}\right )^{-2}\cdot \left (1-\frac {1}{1+\cfrac {1}{2}}\right )^{2}\cdot \tonda {4-\frac {9}{2}}^{-3}}\) \(\left [-\dfrac {8}{81} \right ]\)

1.117. Calcola il valore dell’espressione \(E = A- B\), dove \[A=\left (\left (\left (-{\frac {3}{7}}\right )^{4}: \left (-{\frac {7}{3}}\right )^{-2}\right )\cdot \left (\frac {3}{7}\right )^{-1}\right )^{-2},\qquad B=\left (\left (\frac {3}{7}\right )^{-6}\cdot \left (1-\frac {4}{7}\right )^{5}\right )^{2}.\]

1.9 Problemi

1.118. La distanza Roma - Bari è di \(450\unit {km}\) Se ho percorso i \(2/5\) del tragitto quanti chilometri mancano ancora da percorrere?

1.119. Lucia ha letto \(3/5\) di un libro, le rimangono da leggere 120 pagine. Quante pagine ha il libro? [300]

1.120. Una persona possiede \(525\matheuro \). Se spende i \(3/5\) della somma e poi i \(2/3\) della rimanente, quale somma di denaro gli rimane?

1.121. Luigi ha 18 anni, cioè i \(3/7\) dell’età di sua madre, che a sua volta ha i \(4/5\) dell’età del marito. Quali sono l’età del padre e della madre di Luigi?

1.122. L’età di Paolo è i \(4/11\) di quella della madre che ha \(55\) anni. Quanti anni ha Paolo? [20]

1.123. In un’azienda \(7/20\) degli impiegati sono addetti contabilità. Qual è la percentuale degli addetti contabilità rispetto a tutti gli impiegati azienda? [35%]

1.124. A un gruppo dipersone è stato chiesto quale quotidiano leggono. Le risposte sono state le seguenti:

Trasforma in percentuali i dati ottenuti.
[45%; 15%; 35%; 5%]

1.125. Un televisore a \(16/9\) ha la base di \(70\,cm\). Quanti pollici misura l’altezza?
[\(315/8\,cm=39,375\,cm\)]

1.126. A un concorso si sono presentati 568 candidati, 22 hanno superato il concorso. Qual è stata la percentuale dei candidati che non hanno superato il concorso? [\(96\%\)]

1.127. In un supermercato si vende il pomodoro pelato a 0.69 in confezioni da \(500\unit {g}\) e a  0.89 in confezioni da \(750\unit {g}\) Qual è la percentuale di sconto che usufruisce chi compra la confezione da mezzo chilo? [\(14\%\)]

1.128. Per preparare una torta bisogna mettere 3 parti di zucchero ogni 8 parti di farina. Se si utilizzano \(500\unit {g}\) di farina, quanto zucchero bisogna utilizzare? [\(187\unit {g}\)]

1.129. Anna entra in una cartoleria e compra 2 penne, di cui una costa il doppio dell’altra; riceve lo sconto 15% sulla penna più costosa e del 30% su quella meno costosa. Qual è lo sconto che riceve complessivamente? [\(23\%\)]

1.130. Per pavimentare una piazza 8 operai impiegano 10 giorni lavorando 8 ore al giorno; quanti giorni impiegherebbero 5 operai se lavorassero 6 ore al giorno? [\(24\)]

1.131. Pierino si reca in un negozio di giocattoli, dove ne acquista uno. A Pierino vengono offerti due tipi di sconti, da usare in sequenza: uno del 10% e uno del 40%. In quale ordine converrà ricevere i due sconti? Spiega il motivo. [è uguale]

1.132. Un ingegnere incassa per la realizzazione di un progetto una certa somma. Di essa il 0,23% deve essere restituita allo stato come IVA e della parte rimanente il 0,4% deve essere pagata come tasse. Qual è la percentuale della somma che rimane all’ingegnere?
[\(0,48\%\)]

1.133. Nel paese di Vattelapesca il 20% degli abitanti è europeo il restante 80% è asiatico. La lingua inglese è parlata dal 50% degli europei e dal 40% degli asiatici. Se a Vattelapesca 5 930 persone parlano inglese, quanti sono gli abitanti di Vattelapesca? [\(18\,500\)]

1.134. Un liquido viene filtrato con un primo filtro che toglie il 40% delle impurità. Successivamente viene filtrato con un secondo filtro che toglie il 30% delle impurità. Infine viene filtrato con un terzo filtro che elimina il 50% delle impurità. Quale percentuale complessiva delle impurità è stata eliminata?
[\(21\%\)]

1.135. Una prova di ammissione consiste di due test. Solo i 2/3 dei candidati superano il primo test e 1/5 di quelli che hanno superato il primo test superano anche il secondo. Qual è la percentuale di candidati che hanno superato tutti e due i test? [\(20\%\)]

1.136. L’acquisto di un’auto può essere fatto con due tipi di pagamento: pagando l’intero importo di \(24000\matheuro \) all’acquisto il 1° gennaio 2021; oppure dividendo il pagamento in tre rate annuali di 8150, da pagare il 1° gennaio 2021, il 1° gennaio 2022, il 1° gennaio 2023. Avendo tutto il denaro su un conto corrente bancario a un interesse annuo del 0.01% quale forma di pagamento è più vantaggiosa? Di quanto? [pagamento a rate: \(24\,205,5\)]

1.137. Una forte influenza ha colpito il 56% dei bambini di età inferiore o uguale a 10 anni e il 16% delle persone di età maggiore. Se la percentuale di persone che si sono ammalate di questa influenza è stata del 21%, qual è la percentuale di bambini in quella popolazione? [\(12,5\%\)]

1.138. Una ragazza, di \(48\unit {kg}\), va dal dietologo, che le consiglia di restare entro il 5% del peso attuale. Tra quali valori può oscillare il suo peso? [\(45,6 < peso < 50,4\)]

1.139. Per raccogliere le foglie cadute nel cortile della scuola, Aura impiega 6 ore, Bruno 8 ore, Carlo 12 ore. Se i tre si mettessero a lavorare insieme, in quante ore pulirebbero il cortile? [\(2\!:\!40\)]

1.140. Un oggetto è costituito da una lega di zinco e rame. Il suo peso è di \(280\unit {g}\) e la percentuale di rame è il 20%. Quanti grammi di zinco contiene? […]

1.141. Un misurino contiene 1/8 di kg di farina. Quanti misurini di farina sono necessari per riempire un sacchetto di \(5\unit {kg}\)? […]

1.142. In un’azienda 3/10 degli impiegati sono addetti contabilità. Qual è la percentuale degli addetti contabilità rispetto a tutti gli impiegati azienda? […]

1.143. A un gruppo di 200 intervistati è stato chiesto quale quotidiano leggono. Le risposte sono state le seguenti:

Trasforma in percentuali i dati ottenuti. […]

1.144. Un televisore a 16/9 ha la base di 18 pollici. Quanti pollici misura l’altezza? […]

1.145. A un concorso si sono presentati 324 candidati. 22 hanno superato il concorso. Qual è stata la percentuale dei candidati che non hanno superato il concorso? […]

1.146. In un supermercato si vende il pomodoro pelato a \(0,60\matheuro \) in confezioni da \(250\unit {g}\) e a 1,00 euro in confezioni da \(500\unit {g}\) Qual è la percentuale di sconto che usufruisce chi compra la confezione da mezzo chilo? […]

1.147. Per preparare una torta bisogna mettere 3 parti di zucchero ogni 4 parti di farina. Se si utilizzano 500g di farina, quanto zucchero bisogna utilizzare? […]

1.148. Anna entra in una cartoleria e compra due penne, di cui una costa il doppio dell’altra; riceve lo sconto 15% sulla penna più costosa e del 40% su quella meno costosa. Qual è lo sconto che riceve complessivamente? [21%]

1.149. Per pavimentare una piazza 8 operai impiegano 10 giorni lavorando 8 ore al giorno; quanti giorni impiegherebbero 5 operai se lavorassero 6 ore al giorno? […]

1.150. Pierino si reca in un negozio di giocattoli, dove ne acquista uno. A Pierino vengono offerti due tipi di sconti, da usare in sequenza: uno del 10% e uno del 35%. In quale ordine converrà ricevere i due sconti? Spiega il motivo. […]

1.151. Un ingegnere incassa per la realizzazione di un progetto una certa somma. Di essa il 20% deve essere restituita allo stato come IVA e della parte rimanente il 40% deve essere pagata come tasse. Qual è la percentuale della somma che rimane all’ingegnere? […]

1.152. Nel paese di Vattelapesca il 20% degli abitanti è europeo il restante 80% è asiatico. La lingua inglese è parlata dal 50% degli europei e dal 40% degli asiatici. Se a Vattelapesca 5 930 persone parlano inglese, quanti sono gli abitanti di Vattelapesca? […]

1.153. Un liquido viene filtrato con un primo filtro che toglie il 40% delle impurità. Successivamente viene filtrato con un secondo filtro che toglie il 30% delle impurità. Infine viene filtrato con un terzo filtro che elimina il 50% delle impurità. Quale percentuale complessiva delle impurità è stata eliminata? […]

1.154. Una prova di ammissione consiste di due test. Solo i 2/3 dei candidati superano il primo test e 1/5 di quelli che hanno superato il primo test superano anche il secondo. Qual è la percentuale di candidati che hanno superato tutti e due i test? […]

1.155. L’acquisto di un’auto può essere fatto con due tipi di pagamento: pagando l’intero importo di \(23\,000\matheuro \) all’acquisto il 1° gennaio 2011; oppure dividendo il pagamento in tre rate annuali di 8000, da pagare il 1° gennaio 2011, il 1° gennaio 2012, il 1° gennaio 2013. Avendo tutto il denaro su un conto corrente bancario a un interesse annuo del 3% quale forma di pagamento è più vantaggiosa? Di quanto? […]

1.156. Una forte influenza ha colpito il 60% dei bambini di età inferiore o uguale a 10 anni e il 15% delle persone di età maggiore. Se la percentuale di persone che si sono ammalate di questa influenza è stata del 20%, qual è la percentuale di bambini in quella popolazione? [19,19%]

1.157. Una ragazza, di \(46\unit {kg}\), va dal dietologo, che le consiglia di restare entro il 5% del peso attuale. Tra quali valori può oscillare il suo peso? […]

1.158. Per raccogliere le foglie cadute nel cortile della scuola, Mario impiega 6 ore, Marco 10 ore, Matteo 15 ore. Se i tre si mettessero a lavorare insieme, in quante ore pulirebbero il cortile? […]