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Israel Saeta Pérez committed a56524b

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+extra:	Reading recipe "main.aap"
+error:	Error in recipe "/data/alv/FreeDocuments/FdL-1_0_0/main.aap" line 11: ImportError: No module named yaml
+
+extra:	Reading recipe "main.aap"
+changedir:	Entering directory `/home/alv/libredocumentos/FdL-1_0_0/fig'
+extra:	Reading recipe "main.aap"
+extra:	Finished reading recipe "main.aap"
+depend:	Adding default dependency for "clean"
+depend:	Adding default dependency for "cleanmore"
+changedir:	Entering directory `/home/alv/libredocumentos/FdL-1_0_0'
+extra:	Reading recipe "latex.aap"
+print:	AQ> Generating pdf from tex via pdftex
+extra:	Finished reading recipe "latex.aap"
+extra:	Finished reading recipe "main.aap"
+depend:	Adding default dependency for "clean"
+depend:	Adding default dependency for "cleanmore"
+depend:	Building targets specified on command line
+depend:	1 - updating target "mastertex"
+depend:	2 - Using dependency "mastertex{comment=fill LaTeX template with metadata to produce master}{remember=1}{virtual=1} : FdL-1_0_0.tex"
+depend:	3 - updating target "FdL-1_0_0.tex"
+depend:	4 - Using dependency "FdL-1_0_0.tex{comment=fill LaTeX template with metadata to produce master} : FdL-1_0_0.yml /home/alv/edita/latex/latex-book-b-es.tex"
+depend:	5 - updating target "FdL-1_0_0.yml"
+depend:	5 - Target has no build commands and exists: "FdL-1_0_0.yml"
+depend:	5 - Unknown type of file, no dependency check for "FdL-1_0_0.yml"
+note:	Cannot read sign file "AAPDIR/sign": [Errno 2] No such file or directory: '/home/alv/libredocumentos/FdL-1_0_0/AAPDIR/sign'
+depend:	5 - updating target "../../edita/latex/latex-book-b-es.tex"
+depend:	5 - Target has no build commands and exists: "../../edita/latex/latex-book-b-es.tex"
+depend:	3 - Updating "FdL-1_0_0.tex" from "FdL-1_0_0.yml ../../edita/latex/latex-book-b-es.tex": no old signature for "FdL-1_0_0.yml"
+print:	AQ> FdL-1_0_0.yml + /home/alv/edita/latex/latex-book-b-es.tex => FdL-1_0_0.tex (filling metadata into template file)
+depend:	1 - Virtual target has no build commands: "mastertex"
+=FdL-1_0_0.tex=../../edita/latex/latex-book-b-es.tex@md5=7071e69d6030d9ead003ff14a4751df6-lastupdate=1082116572.56=FdL-1_0_0.yml@md5=0df2bc27d66b61aca6cc9556fc4dee71-@buildcheck=5b45a82cbc92a2285b779d997d8dc951

File FdL-macros.sty

+%put [c] in the options for package {optional} to
+%activate comments, another string (ej: "no") to 
+%disactivate.
+\usepackage[no]{optional}
+
+\newcommand{\com}[1]{
+\opt{c}{
+\begin{quote}
+\noindent\textsf{\small #1}\marginpar{$\bigcirc$}
+\end{quote}
+\vspace{0.5cm}}}
+
+\newcommand{\D}{\displaystyle}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
+\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
+\DeclareMathOperator{\dive}{div}
+\renewcommand{\vec}{\mathbf}
+
+
+%% Macros para tildar transmitividades en
+%% el cap�tulo de funci�n de transferencia del resonador.
+\newcommand{\ti}[1]{\tilde{#1}}
+\newcommand{\tit}{\tilde{t}}
+\newcommand{\tir}{\tilde{r}}
+
+
+
+%\newcommand{\collab}[1]{
+%\setlength{\unitlength}{#1 cm}
+%\begin{picture}(1,1)
+%\put(0,0){\framebox(1,1)[t]{\fbox{\tiny{\texttt{\href{http://alqua.org/figuras}{alqua.org/figuras}}}}}}
+%\end{picture}}
+
+
+%% Este fichero contiene los macros de alqua
+%% clasificados por secciones. Para usarlo hay que
+%% escribir una directiva \input{macros.sty} en el pre�mbulo.
+
+%% Nota: eso har� que los documentos de LyX compilen correctamente, pero
+%% no que se muestren en el documento-fuente de LyX. Para lograr eso hay que 
+%% cargar un fichero .lyx que contenga los macros antes de acceder al documento
+%% en cuesti�n, o bien poner los macros en �l.
+
+%% General categorized macro file
+
+%% Por �lvaro Tejero Cantero para alqua.com
+%% Versi�n 0.1 22 11 2001
+
+%% Macros diferenciales
+
+\newcommand{\da}[2]{\frac{\mathrm{d}#1 }{\mathrm{d}#2 }}
+\newcommand{\dda}[2]{\frac{\mathrm{d}^{2}#1 }{\mathrm{d}#2 ^{2}}}
+\newcommand{\dpa}[2]{\frac{\partial #1 }{\partial #2 }}
+\newcommand{\ddpa}[2]{\frac{\partial ^{2}#1 }{\partial #2 ^{2}}}
+\newcommand{\ddpas}[3]{\frac{\partial ^{2}#1 }{\partial #2 \partial #3 }}
+\newcommand{\dt}[1]{\frac{\mathrm{d}#1 }{\mathrm{d}t}}
+\newcommand{\dx}[1]{\da{#1 }{x}}
+\newcommand{\dy}[1]{\da{#1 }{y}}
+\newcommand{\dz}[1]{\da{#1 }{z}}
+\newcommand{\dr}[1]{\frac{\mathrm{d}#1 }{\mathrm{d}r}}
+\newcommand{\ddt}[1]{\dda{#1 }{t}}
+\newcommand{\ddx}[1]{\dda{#1 }{x}}
+\newcommand{\ddy}[1]{\dda{#1 }{y}}
+\newcommand{\ddz}[1]{\dda{#1 }{z}}
+\newcommand{\ddr}[1]{\frac{\mathrm{d}^{2}#1 }{\mathrm{d}r^{2}}}
+\newcommand{\dpt}[1]{\dpa{#1 }{t}}
+\newcommand{\dpx}[1]{\dpa{#1 }{x}}
+\newcommand{\dpy}[1]{\dpa{#1 }{y}}
+\newcommand{\dpz}[1]{\dpa{#1 }{z}}
+\newcommand{\dpr}[1]{\dpa{#1 }{r}}
+\newcommand{\ddpt}[1]{\ddpa{#1 }{t}}
+\newcommand{\ddpx}[1]{\ddpa{#1 }{x}}
+\newcommand{\ddpy}[1]{\ddpa{#1 }{y}}
+\newcommand{\ddpz}[1]{\ddpa{#1 }{z}}
+\newcommand{\ddpr}[1]{\ddpa{#1 }{r}}
+\newcommand{\dpac}[3]{\left( \dpa{#1 }{#2 }\right) _{#3 }}
+
+%% Mec�nica te�rica (diferenciales)
+\newcommand{\dpqi}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial q_{i}}}
+\newcommand{\dpqj}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial q_{j}}}
+\newcommand{\dpqn}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial q_{n}}}
+\newcommand{\dppi}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial p_{i}}}
+\newcommand{\dppj}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial p_{j}}}
+\newcommand{\dppn}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial p_{n}}}
+
+
+%% Teor�a de grupos
+\newcommand{\Gl}{\mathsf{GL}\left( n,\Bbb K\right) }
+\newcommand{\Glr}{\mathsf{GL}\left( n,\Bbb R\right) }
+\newcommand{\Glc}{\mathsf{GL}\left( n,\Bbb C\right) }
+\newcommand{\gl}{\mathsf{gl}\left( n,\Bbb K\right) }
+\newcommand{\glr}{\mathsf{gl}\left( n,\Bbb R\right) }
+\newcommand{\glc}{\mathsf{gl}\left( n,\Bbb C\right) }
+\newcommand{\mat}{\mathrm{Mat}\left( n,\Bbb K\right) }
+\newcommand{\matr}{\mathrm{Mat}\left( n,\Bbb R\right) }
+\newcommand{\matc}{\mathrm{Mat}\left( n,\Bbb C\right) }
+\newcommand{\tq}{\, |\, }
+
+
+%% Mec�nica cu�ntica
+
+\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle }
+\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right| }
+\newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 |#2 \right\rangle } 
+\newcommand{\Braket}[3]{\left\langle #1 \left| #2 \right| #3 \right\rangle }
+\newcommand{\BraketH}[2]{\left\langle #1 \left| \mathcal{H}\right| #2 \right\rangle }
+
+
+%% Nombres m�s cortos para las flechas
+
+\newcommand{\fd}{\rightarrow }
+\newcommand{\fiz}{\leftarrow }
+\newcommand{\fdi}{\leftrightarrow }
+\newcommand{\Fd}{\Rightarrow }
+\newcommand{\Fi}{\Leftarrow }
+\newcommand{\Fdi}{\Leftrightarrow }
+\newcommand{\fld}{\longrightarrow }
+\newcommand{\fli}{\longleftarrow }
+\newcommand{\fldi}{\longleftrightarrow }
+\newcommand{\Fld}{\Longrightarrow }
+\newcommand{\Fli}{\Longleftarrow }
+\newcommand{\Fldi}{\Longleftrightarrow }
+
+
+%% Diversos tipos de matrices (en obsolescencia)
+
+\newcommand{\vfn}[1]{\left( #1 _{1},#1 _{2},\ldots ,#1 _{n}\right) }
+\newcommand{\vf}[3]{\left( #1 ,#2 ,#3 \right) }
+\newcommand{\vc}[3]{\left[ \protect\begin{array}{c}
+#1 \protect\\
+#2 \protect\\
+#3 
+\protect\end{array}\right] }
+\newcommand{\vcdos}[2]{\left[ \protect\begin{array}{c}
+#1 \protect\\
+#2 
+\protect\end{array}\right] }
+\newcommand{\vcn}[1]{\left[ \protect\begin{array}{c}
+#1 ^{1}\protect\\
+#1 ^{2}\protect\\
+\vdots \protect\\
+#1 ^{3}
+\protect\end{array}\right] }
+\newcommand{\idr}[1]{\int #1 \, \mathrm{d}\mathbf{r}}
+\newcommand{\idrp}[1]{\int #1 \, \mathrm{d}\mathbf{r}'}
+\newcommand{\intinf}[2]{\int _{0}^{\infty }#1 \: \mathrm{d}#2 }
+\newcommand{\mdd}[4]{\left[ \protect\begin{array}{cc}
+#1  & #3 \protect\\
+#2  & #4 
+\protect\end{array}\right] }
+\newcommand{\mtt}[9]{\left[ \protect\begin{array}{ccc}
+#1  & #4  & #7 \protect\\
+#2  & #5  & #8 \protect\\
+#3  & #6  & #9 
+\protect\end{array}\right] }
+ 
+
+%% S�mbolos en negrita (nombre normal + 'n'
+
+\newcommand{\ceron}{\boldsymbol {0}}
+\newcommand{\alphan}{\boldsymbol {\alpha }}
+\newcommand{\betan}{\boldsymbol {\beta }}
+\newcommand{\gamman}{\boldsymbol {\gamma }}
+\newcommand{\deltan}{\boldsymbol {\delta }}
+\newcommand{\epsilonn}{\boldsymbol {\epsilon }}
+\newcommand{\varepsilonn}{\boldsymbol {\varepsilon }}
+\newcommand{\phin}{\boldsymbol {\phi }}
+\newcommand{\varphin}{\boldsymbol {\varphi }}
+\newcommand{\chin}{\boldsymbol {\chi }}
+\newcommand{\etan}{\boldsymbol {\eta }}
+\newcommand{\iotan}{\boldsymbol {\iota }}
+\newcommand{\kappan}{\boldsymbol {\kappa }}
+\newcommand{\lambdan}{\boldsymbol {\lambda }}
+\newcommand{\mun}{\boldsymbol {\mu }}
+\newcommand{\nun}{\boldsymbol {\nu }}
+\newcommand{\pin}{\boldsymbol {\pi }}
+\newcommand{\thetan}{\boldsymbol {\theta }}
+\newcommand{\omegan}{\boldsymbol {\omega }}
+\newcommand{\rhon}{\boldsymbol {\rho }}
+\newcommand{\sigman}{\boldsymbol {\sigma }}
+\newcommand{\taun}{\boldsymbol {\tau }}
+\newcommand{\xin}{\boldsymbol {\xi }}
+\newcommand{\psin}{\boldsymbol {\psi }}
+\newcommand{\zetan}{\boldsymbol {\zeta }}
+
+
+%% Electromagnetismo
+
+\newcommand{\cpe}{\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}}
+\newcommand{\potC}[2]{\frac{#1 }{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right| ^{#2 }}}
+ 
+
+%% Operadores diferenciales en diversos 
+%% sistemas de coordenadas (en obsolescencia)
+
+
+\newcommand{\gradcar}[1]{\left( \dpx{#1 },\dpy{#1 },\dpz{#1 }\right) }
+\newcommand{\divcar}[3]{\dpx{#1 _{x}}+\dpy{#1 _{y}}+\dpz{#1 _{z}}}
+\newcommand{\rotcar}[3]{\left( \dpy{#1 _{z}}-\dpz{#1 _{y}},\dpz{#1 _{x}}-\dpx{#1 _{z}},\dpx{#1 _{y}}-\dpy{#1 _{z}}\right) }
+\newcommand{\Lapcar}[1]{\ddpx{#1 }+\ddpy{#1 }+\ddpz{#1 }}
+\newcommand{\gradcil}[1]{\left( \dpa{#1 }{r},\frac{1}{r}\dpa{#1 }{\theta },\dpa{#1 }{z}\right) }
+\newcommand{\divcil}[1]{\frac{1}{r}\left( \dpa{\left( r#1 _{r}\right) }{r}+\dpa{#1 _{\theta }}{\theta }+\dpz{\left( r#1 _{z}\right) }\right) }
+\newcommand{\rotcil}[1]{\left( \frac{1}{r}\dpa{#1 _{z}}{\theta }-\dpa{#1 _{\theta }}{z},\dpa{#1 _{r}}{z}-\dpa{#1 _{z}}{r},\frac{1}{r}\dpa{\left( r#1 _{\theta }\right) }{}-\frac{1}{r}\dpa{#1 _{r}}{\theta }\right) }
+\newcommand{\Lapcil}[1]{\ddpa{#1 }{r}+\frac{1}{r}\dpa{#1 }{r}+\frac{1}{r^{2}}\ddpa{#1 }{\theta }+\ddpz{#1 }}
+\newcommand{\gradesf}[1]{\left( \dpa{#1 }{r},\frac{1}{r}\dpa{#1 }{\phi },\frac{1}{r\sin \phi }\dpa{#1 }{\theta }\right) }
+\newcommand{\divesf}[1]{\frac{1}{r^{2}}\dpa{\left( r^{2}#1 _{r}\right) }{r}+\frac{1}{r\sin \phi }\dpa{\left( \sin \phi #1 _{\phi }\right) }{\phi }+\frac{1}{r\sin \phi }\dpa{#1 _{\theta }}{\theta }}
+\newcommand{\rotesf}[1]{\left[ \frac{1}{r\sin \phi }\left( \dpa{\left( \sin \phi #1 _{\theta }\right) }{\phi }-\dpa{#1 _{\phi }}{\theta }\right) ,\frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin \phi }\dpa{#1 _{r}}{\theta }-\dpa{\left( r#1 _{\theta }\right) }{r}\right) ,\frac{1}{r}\left( \dpa{\left( r#1 _{\phi }\right) }{r}-\dpa{#1 _{r}}{\phi }\right) \right] }
+\newcommand{\Lapesf}[1]{\ddpa{#1 }{r}+\frac{2}{r}\dpa{#1 }{r}+\frac{1}{r^{2}\sin ^{2}\phi }\ddpa{#1 }{\theta }+\frac{\cos \phi }{r^{2}\sin \phi }\dpa{#1 }{\phi }+\frac{1}{r^{2}}\ddpa{#1 }{\phi }}
+
+
+%% �ptica
+
+\newcommand{\fase}{\left( \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t\right) }
+
+
+%% Qu�mica 
+
+\newcommand{\reaccion}{\rightleftharpoons }
+
+
+%% Geometr�a diferencial avanzada
+
+\newcommand{\Cinf}{\mathcal{C}^{\infty }}
+\newcommand{\cR}[1]{\mathbb {R}^{#1 }}
+\newcommand{\dpxi}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial x^{i}}}
+\newcommand{\dpxj}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial x^{j}}}
+\newcommand{\dpyj}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial y^{j}}}
+\newcommand{\dpyi}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial y^{i}}}
+\newcommand{\xm}{x^{1}\ldots x^{m}}
+\newcommand{\yn}{y^{1}\ldots y^{n}}
+\newcommand{\pe}{\wedge }
+

File FdL-packages.sty

+\usepackage{amstext}%%%%%%%%
+\usepackage{amsfonts}%%%%%%%
+\usepackage{amssymb}%%%%%%%% AMSLaTeX
+\usepackage{amscd}%%%%%%%%%%
+\usepackage{amsmath}%%%%%%%%
+@book{Reif,
+author = {F. Reif},
+title = {Fundamentos de f\'isica estad\'istica y t\'ermica},
+publisher = {Ed. del Castillo},
+year = {1968},
+}
+
+@book{McDaniel,
+author = {E. W. Mc Daniel, E. A. Mason},
+title = {The mobility and diffusion of ions in gases},
+publisher = {John Wiley and Sons},
+}
+
+@book{Sanchez,
+editor = {C. Sanchez del R�o (coordinador)},
+title = {F\'isica cu\'antica},
+publisher = {Pir\'amide},
+}
+
+@book{Loui,
+author = {W. H. Louisell},
+title = {Quantum statistical properties of radiation},
+publisher = {John Wiley and Sons},
+}
+
+@book{Ross,
+author = {D. Ross},
+title = {Lasers: light amplifiers and oscillators},
+publisher = {John Wiley and Sons},
+}
+
+@book{Siegman,
+author = {A. E. Siegman},
+title = {Lasers},
+publisher = {Oxford University Press},
+}
+
+---
+alquafeatures:
+    - manifiesto
+    - pub
+    - librosabiertos
+authors:
+    -
+        email: jmguerra@fis.ucm.es
+        name: Jos� Manuel Guerra P�rez
+        url: 'http://alqua.org/people/jmguerra'
+base_url: 'http://alqua.org/documents/'
+bodyunits:
+    -
+        basename: campo-electromagnetico
+        name: El campo electromagn�tico
+
+    -  
+        basename: cuantificacion-radiacion
+        name: La cuantificaci�n de la radiaci�n
+
+    -   
+        basename: cuantificacion-materia
+        name: La cuantificaci�n de la materia
+
+    - 
+        basename: evolucion-temporal
+        name: La evoluci�n temporal de los estados
+
+    -
+        basename: absorcion-emision
+        name: Absorci�n y emisi�n de radiaci�n
+
+    -
+        basename: tr-no-radiativas
+        name: Transiciones no radiativas
+
+    -
+        basename: modelo-probabilistico
+        name: El modelo probabil�stico
+
+    -
+        basename: campo-paraxial
+        name: El campo electromagn�tico paraxial
+
+    -
+        basename: f-transferencia
+        name: Resonadores
+
+    -
+        basename: ampli-propagacion
+        name: Amplificadores de propagaci�n de radiaci�n
+
+    -
+        basename: pequenya-senyal-sat
+        name: Peque�a se�al y saturaci�n
+
+    -
+        basename: laser-avalancha
+        name: L�seres de avalancha
+
+    -
+        basename: ampli-res-regenerativos
+        name: Amplificadores resonantes regenerativos
+
+    -
+        basename: saturado-espontanea
+        name: El oscilador l�ser saturado por la emisi�n espont�nea
+
+    -
+        basename: optimiz
+        name: Optimizaci�n de la salida de un l�ser
+
+    -
+        basename: bombeo-pulsado
+        name: El l�ser de r�gimen de bombeo pulsado cuasiestacionario
+
+    -
+        basename: dinamica-laser
+        name: Din�mica del l�ser
+
+    -
+        basename: metodos-bombeo
+        name: M�todos de bombeo
+
+
+appendixes:
+    -
+        basename: convol-2lorentz
+        name: Convoluci�n de dos perfiles de Lorentz
+    -
+        basename: sol-gauss-hermite
+        name: Soluci�n Gauss-Hermite
+    -
+        basename: sol-propag-I-fp
+        name: Resoluci�n de la ecuaci�n de propagaci�n de la intensidad en el Fabry-Perot
+    -
+        basename: gas-esferas-duras
+        name: El modelo del gas de esferas duras
+
+classification:
+    area: �ptica
+    doctype: libro
+    series: apuntes
+    udc: '535.13'
+coverimage: fig/evol-intens-propag.eps
+dedication: []
+description: Un curso de f�sica del l�ser en el que se describen sus fundamentos en la teor�a cu�ntica de la radiaci�n, el funcionamiento de los resonadores com�nmente utilizados, el proceso de amplificaci�n y los m�todos de bombeo para instalar la inversi�n de poblaci�n. El libro se centra en los fundamentos te�ricos que mayor dificultad pueden ofrecer al estudiante no especializado, exponi�ndolos de una forma detallada, ordenada y lo m�s autoconsistente posible. Contiene ejemplos y numerosas figuras.
+editors:
+    -
+        email: alvaro@alqua.org
+        name: �lvaro Tejero Cantero
+        url: 'http://alqua.org/people/alvaro'
+features:
+    - toc
+    - ind
+    - bib
+    - lic
+keywords: [l�ser, resonadores �pticos, Fabry-Perot, amplificaci�n de radiaci�n, modos gaussianos, din�mica l�ser, bloqueo de modos, mode-locking, conmutaci�n de ganancia, Q-switch, pulso gigante, bombeo �ptico, bombeo en descargas, bombeo de inyecci�n, coeficientes de Einstein, ensanchamiento homog�neo, perfil Lorentz, ensanchamiento inhomog�neo, perfil Gauss, propagaci�n paraxial]
+language: es
+license:
+    backcover: 'Aprende en comunidad - http://alqua.org'
+    frontcover: 'Un libro libre de Alqua'
+    invariant:
+        - Manifiesto de alqua
+    name: CC-by_nc_sa
+    version: '1.0'
+    restrictions:
+      - by
+      - nc
+      - sa
+note: ''
+publisher:
+    email: alqua@alqua.org
+    name: alqua
+    url: 'http://alqua.org'
+
+releases:
+     - 
+        date: '2004-04-15'
+        description:
+            - Primera versi�n p�blica, basada en los los temas expuestos en el curso de la asignatura F�sica del l�ser impartida en la licenciatura de Ciencias F�sicas de la Universidad Complutense de Madrid por Jos� Manuel Guerra P�rez.
+            - Pasados a m�quina, con numerosas figuras por Roberto Ar�valo, Lucas Lamata, Jos� Augusto Rodrigo, Isabel Gonz�lez y �lvaro Tejero.
+            - Reorganizaci�n de la estructura, con la creaci�n de cuatro ap�ndices - ATC, JGP.
+            - Correcci�n de erratas, revisi�n notacional, mejoras a la presentaci�n - ATC, JGP.
+            - Compleci�n de la n�mina de figuras  - ATC, Robert J�rdens.
+        number: '1.0.0'
+        
+requisites:
+    - Un curso de electromagnetismo que cubra las ecuaciones de Maxwell.
+    - Un curso de f�sica cu�ntica.
+    - Un curso de �ptica electromagn�tica.
+shorttitle: FdL
+sourceformat:
+    ext: lyx
+    macros:
+        - FdL-macros.sty
+    name: LyX
+    packages:
+        - FdL-packages.sty
+        - lyxpackages.sty
+    ver: '1.3'
+subtitle: 'Volumen 1: fundamentos'
+title: F�sica del l�ser
+todo:
+    - Incorporar ejercicios.
+    - Completar la bibliograf�a indicando las ediciones m�s actuales.
+    - Completar y homogeneizar el �ndice de materias.
+contributors:
+    - �lvaro Tejero Cantero <alvaro@antalia.com> 2003,2004.
+    - Robert J�rdens <jordens@debian.org> 2004.

File absorcion-emision.lyx

+#LyX 1.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 221
+\textclass book
+\begin_preamble
+\input{FdL-packages.sty}
+\input{FdL-macros.sty}
+\end_preamble
+\language spanish
+\inputencoding latin1
+\fontscheme default
+\graphics default
+\paperfontsize default
+\spacing single 
+\papersize a4paper
+\paperpackage a4
+\use_geometry 0
+\use_amsmath 1
+\use_natbib 0
+\use_numerical_citations 0
+\paperorientation portrait
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\defskip medskip
+\quotes_language english
+\quotes_times 2
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+
+\layout Chapter
+
+Absorci�n y emisi�n de radiaci�n
+\layout Section
+
+Hamiltoniano del sistema radiaci�n-materia
+\layout Standard
+
+En los temas anteriores hemos estudiado los estados del campo de radiaci�n
+ y tambi�n el espectro de autoestados de los sistemas moleculares.
+ Por otra parte, hemos comprobado c�mo se puede hacer el estudio de un sistema
+ sometido a una peque�a perturbaci�n.
+ Es el momento de aprovechar estas herramientas para afrontar la descripci�n
+ del sistema acoplado radiaci�n-materia, como un sistema aislado.
+ 
+\layout Standard
+
+Si el sistema material es tratado en la aproximaci�n de una part�cula, obedece
+ al hamiltoniano at�mico 
+\begin_inset Formula $H_{a}$
+\end_inset 
+
+,
+\begin_inset Formula \[
+H_{a}=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+eV\left(\vec{r}\right)\]
+
+\end_inset 
+
+El hamiltoniano de 
+\emph on 
+un
+\emph default 
+ modo de radiaci�n es, por su parte
+\begin_inset Formula \[
+H_{r}=\hbar\omega\left(a^{\dag}a+1/2\right)\]
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset ERT
+status Collapsed
+
+\layout Standard
+
+\backslash 
+com{Esta notaci�n es confusa, porque cuando hicimos la cuantificaci�n de la radiaci�n $H_r$ correspond�a a la 
+\backslash 
+emph{suma} de todos los hamiltonianos de los modos... Por otra parte, quiz� podr�amos poner el indicativo de a qu� sistema se refiere el hamiltoniano como super�ndice (muy �til para $H_{i}$), ya que el H no suele aparecer en potencias -ATC.}
+\end_inset 
+
+Como es sabido, en la formulaci�n del hamiltoniano de un sistema cu�ntico
+ el operador de momento lineal est� asociado al momento hamiltoniano de
+ la part�cula (la variable can�nicamente conjugada de las coordenadas generaliza
+das).
+ Este momento frecuentemente coincide en los sistemas conservativos con
+ el momento mec�nico, 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{\pi}=m\vec{v}$
+\end_inset 
+
+ o 
+\emph on 
+cantidad de movimiento
+\emph default 
+ de la part�cula.
+ No obstante, si la part�cula est� en interacci�n con un campo electromagn�tico
+ esto no es as�.
+ En este caso el momento mec�nico de la part�cula es 
+\begin_inset Formula \[
+\boldsymbol{\pi}=\vec{p}-e\vec{A}\]
+
+\end_inset 
+
+donde 
+\begin_inset Formula $\vec{p}$
+\end_inset 
+
+ es el momento hamiltoniano y por tanto es el que tiene asociado el operador
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{p}=-i\hbar\grad{}$
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{A}$
+\end_inset 
+
+ es el potencial vector del campo electromagn�tico.
+ Esto es consecuencia del car�cter no conservativo del campo electromagn�tico,
+ pues la fuerza de Lorentz 
+\begin_inset Formula $\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\wedge\vec{B}$
+\end_inset 
+
+ depende de la velocidad.
+ Entonces el hamiltoniano total del sistema, incluyendo la interacci�n radiaci�n
+ materia es
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+H & = & \frac{(\vec{p}-e\vec{A})^{2}}{2m}+eV(\vec{r})+H_{r}\\
+ & = & \frac{\vec{p}^{2}}{2m}+eV(\vec{r})+H_{r}+\frac{e}{2m}(-\vec{p}\cdot\vec{A}-\vec{A}\cdot\vec{p})+\frac{e^{2}}{2m}\vec{A}^{2}\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+Aqu� 
+\begin_inset Formula $\vec{A}(\vec{r})$
+\end_inset 
+
+ en principio no conmuta con 
+\begin_inset Formula $\vec{p}$
+\end_inset 
+
+, pero s� cumple
+\begin_inset Foot
+collapsed true
+
+\layout Standard
+
+El lector puede comprobar que una funci�n arbitraria 
+\begin_inset Formula $F\left(q_{i}\right)$
+\end_inset 
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $[p_{i},F(q_{i})]=-i\hbar\frac{\partial F}{\partial q_{i}}$
+\end_inset 
+
+.
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+p_{i}A_{i}-A_{i}p_{i}=-i\hbar\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}\]
+
+\end_inset 
+
+que se da la circunstancia de que utilizando la condici�n de Coulomb
+\begin_inset LatexCommand \index{Coulomb! gauge de}
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset LatexCommand \index{gauge! de Coulomb (o de radiaci�n)}
+
+\end_inset 
+
+ o gauge de radiaci�n
+\begin_inset LatexCommand \index{radiaci�n! gauge de}
+
+\end_inset 
+
+ (
+\begin_inset Formula $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$
+\end_inset 
+
+) se transforma en:
+\begin_inset Formula \[
+\vec{p}\cdot\vec{A}-\vec{A}\cdot\vec{p}=-i\hbar\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\]
+
+\end_inset 
+
+Entonces, como 
+\begin_inset Formula $\vec{p}\cdot\vec{A}=\vec{A}\cdot\vec{p}$
+\end_inset 
+
+ el t�rmino lineal en 
+\begin_inset Formula $\vec{A}$
+\end_inset 
+
+ se simplifica:
+\begin_inset Formula \[
+H=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+eV(\vec{r})+H_{r}-\frac{e}{m}\vec{A}\cdot\vec{p}+\frac{e^{2}}{2m}\vec{A}^{2}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+En esta expresi�n 
+\begin_inset Formula $\vec{p}$
+\end_inset 
+
+ es el momento hamiltoniano y no el momento mec�nico de la part�cula pero
+ aun as� 
+\begin_inset Formula $\left|e\vec{A}\right|\ll\left|\vec{p}\right|$
+\end_inset 
+
+ consideraremos como hamiltoniano no perturbado 
+\begin_inset Formula \[
+H_{0}=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+eV(\vec{r})+H_{r}\]
+
+\end_inset 
+
+Y como perturbaci�n debida a la interacci�n el hamiltoniano
+\begin_inset Formula \[
+H_{i}=-\frac{e}{m}\vec{A}\cdot\vec{p}+\frac{e^{2}}{2m}\vec{A}^{2}.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Usualmente, incluso para grandes intensidades de radiaci�n,
+\begin_inset Formula \[
+\left|\frac{e}{m}\,\vec{A}\cdot\vec{p}\right|\gg\frac{e^{2}}{2m}\,\vec{A}^{2}\]
+
+\end_inset 
+
+as� que despreciamos el t�rmino en 
+\begin_inset Formula $\vec{A}^{2}$
+\end_inset 
+
+, cuyas contribuciones m�s importantes se producen a los procesos a dos
+ fotones:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+H_{i}\simeq-\frac{e}{m}\vec{A}\cdot\vec{p}\label{eq:ham-interaccion-rad-mat}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Escribimos las ecuaciones de autovalores de la radiaci�n y del �tomo con
+ la siguiente notaci�n, respectivamente:
+\begin_inset Formula \begin{align*}
+a^{\dag}a|n\rangle & =n|n\rangle &  & \textnormal{(radiaci�n)}\\
+H_{a}|s\rangle & =\Sigma_{s}|s\rangle &  & \textrm{(materia)}\end{align*}
+
+\end_inset 
+
+Las autofunciones y autovalores de 
+\begin_inset Formula $H_{0}$
+\end_inset 
+
+ (es decir, sin considerar la interacci�n radiaci�n--materia) tienen la
+ siguiente forma:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+|s,n\rangle & = & |s\rangle\otimes|n\rangle\\
+E_{sn} & = & \Sigma_{s}+\hbar\omega\left(n+1/2\right)\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+Entonces el coeficiente de probabilidad del estado 
+\begin_inset Formula $|s',n'\rangle$
+\end_inset 
+
+ es, suponiendo la perturbaci�n 
+\begin_inset Formula $V\equiv H_{i}$
+\end_inset 
+
+ independiente del tiempo (ec.
+ 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:coef-desarrollo-perturb-indepd-t}
+
+\end_inset 
+
+):
+\begin_inset Formula \[
+C_{s'n'}(t)=\frac{1}{i\hbar}\sum_{sn}C_{sn}(0)\, H_{i,s'n'sn}\,\frac{e^{i\omega_{s'n'sn}t}-1}{i\omega_{s'n'sn}}\]
+
+\end_inset 
+
+donde 
+\begin_inset Formula \[
+\omega_{s'n'sn}=\left(\Sigma_{s'}-\Sigma_{s}\right)/\hbar+\omega(n'-n)=\omega_{s's}+\omega(n'-n)\]
+
+\end_inset 
+
+con 
+\begin_inset Formula $\hbar\omega$
+\end_inset 
+
+ la energ�a del cuanto de radiaci�n en el modo, 
+\begin_inset Formula $H_{i,s'n'sn}=\langle s',n'|H_{i}|s,n\rangle$
+\end_inset 
+
+ el elemento de matriz de la transici�n y 
+\begin_inset Formula $\omega_{s's}=\left(\Sigma_{s'}-\Sigma_{s}\right)/\hbar$
+\end_inset 
+
+ la frecuencia de Bohr
+\begin_inset LatexCommand \index{frecuencia!de Bohr}
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset LatexCommand \index{Bohr!frecuencia de}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Probabilidad de transici�n
+\layout Standard
+
+En la onda electromagn�tica (ec.
+ 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:campo-un-modo}
+
+\end_inset 
+
+):
+\begin_inset Formula \[
+\vec{A}(\vec{r})=\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\varepsilon_{0}}}\left[a\vec{u}(\vec{r})+a^{\dag}\vec{u}^{*}(\vec{r})\right]\]
+
+\end_inset 
+
+usando que 
+\begin_inset Formula $\vec{u}(\vec{r})=\vec{e}\, u\left(\vec{r}\right)$
+\end_inset 
+
+ el operador de interacci�n 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:ham-interaccion-rad-mat}
+
+\end_inset 
+
+ se expresa
+\begin_inset Formula \[
+H_{i}=-\frac{e}{m}\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\varepsilon_{0}}}\,\left[a\, u(\vec{r})+a^{\dag}\, u^{*}(\vec{r})\right]\vec{e}\cdot\vec{p}\]
+
+\end_inset 
+
+y el elemento de matriz de 
+\begin_inset Formula $H_{i}$
+\end_inset 
+
+ para la transici�n resulta
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset Formula \[
+H_{i,s'n'sn}=-\frac{e}{m}\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\varepsilon_{0}}}\left[\Braket{n'}{a}{n}\Braket{s'}{u\left(\vec{r}\right)\,\vec{p}}{s}+\left\langle n'|a^{\dag}|n\right\rangle \Braket{s'}{u^{*}\left(\vec{r}\right)\,\vec{p}}{s}\right]\cdot\vec{e}.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Las funciones de onda de los estados 
+\begin_inset Formula $|s\rangle$
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|s'\rangle$
+\end_inset 
+
+ s�lo toman valores apreciables en las proximidades de la posici�n 
+\begin_inset Formula $\vec{r}_{a}$
+\end_inset 
+
+ del sistema acoplado al campo.
+ Es decir, en regiones de tama�o at�mico, del orden de 
+\begin_inset Formula $10^{-10}$
+\end_inset 
+
+ metros.
+ Sin embargo, la distribuci�n espacial 
+\begin_inset Formula $u(\vec{r})$
+\end_inset 
+
+ del campo tiene sus variaciones m�s r�pidas en distancias del orden de
+ la longitud de onda 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset 
+
+.
+ En las regiones del espectro electromagn�tico que nos interesan 
+\begin_inset Formula $\lambda\gg10^{-10}$
+\end_inset 
+
+ metros: la distribuci�n espacial es mucho m�s uniforme.
+ Por lo tanto en el c�lculo de los elementos de matriz se puede considerar
+ 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset 
+
+ constante con el valor que toma en la posici�n 
+\begin_inset Formula $\vec{r}_{a}$
+\end_inset 
+
+.
+ As�: 
+\begin_inset Formula \[
+\langle s'|u\left(\vec{r}\right)\,\vec{p}|s\rangle\simeq u(\vec{r}_{a})\langle s'|\vec{p}|s\rangle\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Queremos reepresar el operador momento.
+ Para ello, nos valemos de la expresi�n
+\begin_inset Foot
+collapsed true
+
+\layout Standard
+
+Esta ecuaci�n se cumple cuando se puede desarrollar 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset 
+
+ en serie de potencias y se obtiene a partir de 
+\begin_inset Formula $\left[x,p\right]=i\hbar$
+\end_inset 
+
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+[x_{i},F(p_{i})]=i\hbar\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\]
+
+\end_inset 
+
+que permite escribir
+\begin_inset Formula \[
+[\vec{r},H_{a}]=\left[\vec{r},\frac{p^{2}}{2m}\right]=i\hbar\frac{\vec{p}}{m}=\vec{r}\, H_{a}-H_{a}\,\vec{r}\]
+
+\end_inset 
+
+y entonces, llamando 
+\begin_inset Formula $\vec{r}_{s's}\equiv\langle s'|\vec{r}|s\rangle$
+\end_inset 
+
+ 
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}\langle s'|\vec{p}|s\rangle & =-\frac{i}{\hbar}m\left(\langle s'|\vec{r}H_{a}|s\rangle-\langle s'|H_{a}\vec{r}|s\rangle\right)\\
+ & =\frac{i}{\hbar}m\langle s'|\vec{r}|s\rangle(\Sigma_{s'}-\Sigma_{s})=i\, m\,\omega_{s's}\,\vec{r}_{s's}\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Designamos por 
+\begin_inset Formula $\vec{D}_{s's}$
+\end_inset 
+
+ al elemento de matriz del momento dipolar de la carga acoplada al campo,
+ 
+\begin_inset Formula $\langle s'|e\vec{r}|s\rangle=\vec{D}_{s's}$
+\end_inset 
+
+.
+ Entonces: 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+H_{i,s'n'sn}=-i\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\varepsilon_{0}}}\omega_{s's}\left[u(\vec{r}_{a})\langle n'|a|n\rangle+u^{*}(\vec{r}_{a})\langle n'|a^{\dag}|n\rangle\right]\,\vec{e}\cdot\vec{D}_{s's}\label{eq:Hi-prop-D}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+Los elementos de matriz de la radiaci�n se calculan empleando las ecuaciones
+ 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:elem-matriz-destruccion}
+
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:elem-matriz-creacion}
+
+\end_inset 
+
+; podemos abreviar el factor dependiente de la materia como,
+\begin_inset Formula \[
+H_{i,s's}=-i\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\varepsilon_{0}}}\omega_{s's}\,\vec{e}\cdot\vec{D}_{s's}\]
+
+\end_inset 
+
+con lo que finalmente el elemento de matriz de la transici�n es
+\begin_inset Formula \[
+H_{i,s'n'sn}=H_{i,s's}\left[u(\vec{r}_{a})\sqrt{n}\,\delta_{n',n-1}+u^{*}(\vec{r}_{a})\sqrt{n+1}\,\delta_{n',n+1}\right]\]
+
+\end_inset 
+
+con �l la amplitud de probabilidad del estado al que se efect�a la transici�n
+ ser� 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\begin{split}C_{s'n'}(t) & =\frac{1}{i\hbar}\sum_{sn}C_{sn}(0)H_{i,s's}\left[u(\vec{r}_{a})\sqrt{n}\delta_{n',n-1}+u^{*}(\vec{r}_{a})\sqrt{n+1}\delta_{n',n+1}\right]\\
+ & \times\frac{{\displaystyle e^{i[\omega_{s's}+\omega(n'-n)]t}-1}}{{\displaystyle i[\omega_{s's}+\omega(n'-n)]}}.\end{split}
+\label{eq:factor-resonante}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Section
+
+Resonancia
+\layout Standard
+
+Supongamos que s�lo dos niveles de la materia (el 
+\begin_inset Formula $|s\rangle$
+\end_inset 
+
+ y el 
+\begin_inset Formula $|s'\rangle$
+\end_inset 
+
+) cumplen la condici�n 
+\begin_inset Formula $|\omega_{s's}|\sim\omega$
+\end_inset 
+
+ y por tanto s�lo �stos pueden hacer resonante el denominador de la expresi�n
+ 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:factor-resonante}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Entonces los t�rminos de la suma correspondientes a los dem�s estados ser�n
+ siempre muy peque�os y se podr�n ignorar.
+ Adem�s teniendo en cuenta las deltas que contiene la expresi�n s�lo son
+ posibles las transiciones en que el n�mero de cuantos del modo cambie en
+ una unidad, 
+\begin_inset Formula $\left|n-n'\right|=1$
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+Tenemos as� dos coeficientes correspondientes a dos procesos resonantes:
+ 
+\begin_inset Float figure
+wide false
+collapsed false
+
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Graphics
+	filename fig/proc-absorcion-src.eps
+	display monochrome
+	scale 90
+	keepAspectRatio
+	subcaption
+	subcaptionText "Absorci�n\label{fig:proc-absorcion}"
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Graphics
+	filename fig/proc-emision-src.eps
+	scale 90
+	keepAspectRatio
+	subcaption
+	subcaptionText "Emisi�n \label{fig:proc-emision}"
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+Procesos de absorci�n (izquierda) y emisi�n (derecha) entre dos estados
+ de la materia 
+\begin_inset Formula $\ket{s}$
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ket{s'}$
+\end_inset 
+
+.
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+Absorci�n de radiaci�n por la materia (figura 
+\begin_inset ERT
+status Collapsed
+
+\layout Standard
+
+\backslash 
+ref{fig:proc-absorcion}
+\end_inset 
+
+), con coeficiente
+\begin_inset ERT
+status Collapsed
+
+\layout Standard
+
+\backslash 
+com{Es necesario ajustar con opciones el paquete 
+\backslash 
+emph{subfigure} en la plantilla para que el aspecto de los pies de las subfiguras concuerde con el pie general.}
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+C_{s'n-1}(t)=\frac{H_{i,s's}}{i\hbar}C_{sn}(0)\sqrt{n}\, u(\vec{r}_{a})\frac{e^{i(\omega_{s's}-\omega)t}-1}{i\left(\omega_{s's}-\omega\right)}\]
+
+\end_inset 
+
+Es resonante si 
+\begin_inset Formula $\omega_{s's}>0$
+\end_inset 
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $\omega_{s's}-\omega\simeq0$
+\end_inset 
+
+.
+ 
+\newline 
+En este proceso el campo pasa de tener 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset 
+
+ fotones a tener 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset 
+
+ y la materia aumenta su energ�a de 
+\begin_inset Formula $\Sigma_{s}$
+\end_inset 
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\Sigma_{s'}$
+\end_inset 
+
+.
+ Obs�rvese que cuanto mayor sea el n�mero de fotones en el modo, mayor es
+ la amplitud de probabilidad de absorci�n.
+ 
+\layout Itemize
+
+Emisi�n de radiaci�n por la materia (figura 
+\begin_inset ERT
+status Collapsed
+
+\layout Standard
+
+\backslash 
+ref{fig:proc-emision}
+\end_inset 
+
+).
+ Su amplitud de probabilidad es
+\begin_inset Formula \[
+C_{s'n+1}(t)=\frac{H_{i,s's}}{i\hbar}C_{sn}(0)\sqrt{n+1}\, u^{*}(\vec{r}_{a})\,\frac{e^{i(\omega_{s's}+\omega)t}-1}{i(\omega_{s's}+\omega)}\]
+
+\end_inset 
+
+Hay resonancia si 
+\begin_inset Formula $\omega_{s's}<0$
+\end_inset 
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $\omega_{s's}+\omega\simeq0$
+\end_inset 
+
+.
+ 
+\newline 
+En este proceso el campo pasa de tener 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset 
+
+ fotones a tener 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset 
+
+.
+ La materia, al ser ahora 
+\begin_inset Formula $\Sigma_{s}>\Sigma_{s'}$
+\end_inset 
+
+, pierde la energ�a que se lleva el fot�n incorporado al modo.
+ La amplitud de probabilidad tambi�n crece con el n�mero 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset 
+
+ de fotones preexistentes en el modo.
+ Pero en este caso es no nula 
+\emph on 
+a�n en ausencia de fotones en el modo
+\emph default 
+.
+\layout Subsubsection*
+
+Absorci�n
+\layout Standard
+
+La probabilidad de la transici�n de absorci�n cuando se considera la resonancia
+ con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset 
+
+ fotones es
+\begin_inset Formula \[
+|C_{s'n-1}(t)|^{2}=\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}|C_{sn}(0)|^{2}\, n\,|u(\vec{r}_{a})|^{2}\,\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\]
+
+\end_inset 
+
+ Es evidente que la resonancia se produce con cualquier n�mero de fotones
+ que haya en los estados que forman parte del estado inicial (pi�nsese en
+ estados que no son Fock).
+ Por tanto la probabilidad 
+\emph on 
+total
+\emph default 
+ de paso del estado 
+\begin_inset Formula $|s\rangle$
+\end_inset 
+
+ al 
+\begin_inset Formula $|s'\rangle$
+\end_inset 
+
+ es una suma,
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}|C_{s'}|_{a}^{2} & =\sum_{n=1}^{\infty}|C_{sn-1}(t)|^{2}\\
+ & =\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}\,\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\,|u(\vec{r}_{a})|^{2}\,\sum_{n=1}^{\infty}|C_{sn}(0)|^{2}\, n\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+Supongamos ahora que en el estado inicial radiaci�n-materia, 
+\begin_inset Formula $\ket{\psi\left(0\right)}$
+\end_inset 
+
+ la radiaci�n est� en un estado coherente
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}|\psi(0)\rangle & =|s\rangle\otimes|\alpha\rangle=|s\rangle\otimes\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}}\,\,\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle\\
+ & =\sum_{n=0}^{\infty}C_{sn}(0)|s\rangle\otimes|n\rangle\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+Entonces 
+\begin_inset Formula \[
+C_{sn}(0)=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\]
+
+\end_inset 
+
+y as� la suma en 
+\begin_inset Formula $\left|C_{s'}\right|_{a}^{2}$
+\end_inset 
+
+ se puede concretar:
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}\sum_{n=1}^{\infty}|C_{sn}(0)|^{2}\, n & =\sum_{n=1}^{\infty}e^{-|\alpha|^{2}}\frac{|\alpha|^{2n}}{n!}\, n\\
+ & =e^{-|\alpha|^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\alpha|^{2(n-1)}}{(n-1)!}|\alpha|^{2}=|\alpha|^{2}=\langle n\rangle.\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+Por lo tanto 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+|C_{s'}(t)|_{a}^{2}=\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}|u(\vec{r}_{a})|^{2}\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\,\langle n\rangle.\label{eq:absorcion}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsubsection*
+
+Emisi�n
+\layout Standard
+
+En el proceso de emisi�n, 
+\begin_inset Formula \[
+|C_{s'n+1}(t)|^{2}=\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}\,|C_{sn}(0)|^{2}\,(n+1)\,|u\left(\vec{r}_{a}\right)|^{2}\,\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega-\omega_{ss'})t}{(\omega-\omega_{ss'})^{2}}\]
+
+\end_inset 
+
+La probabilidad total queda 
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}|C_{s'}|_{e}^{2} & =\sum_{n=0}^{\infty}|C_{sn+1}(t)|^{2}\\
+ & =\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}\,|u(\vec{r}_{a})|^{2}\,\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega-\omega_{ss'})t}{(\omega-\omega_{ss'})^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}|C_{sn}(0)|^{2}\,(n+1)\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+Si la radiaci�n est� inicialmente en un estado coherente 
+\begin_inset Formula \[
+\begin{split}\sum_{n=0}|C_{sn}(0)|^{2}\,(n+1) & =e^{-|\alpha|^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|\alpha|^{2n}}{n!}\,(n+1)\\
+ & =e^{-|\alpha|^{2}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\alpha|^{2n}}{(n-1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|\alpha|^{2n}}{n!}\right)\\
+ & =|\alpha|^{2}+1=\langle n\rangle+1\end{split}
+\]
+
+\end_inset 
+
+Y la probabilidad de emisi�n es 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+|C_{s'}|_{e}^{2}=\frac{|H_{i,s's}|^{2}}{\hbar^{2}}\,|u\left(\vec{r}_{a}\right)|^{2}\,\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega-\omega_{ss'})t}{(\omega-\omega_{ss'})^{2}}(\langle n\rangle\underline{+1}).\label{eq:emision}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsubsection*
+
+Onda coherente plana
+\layout Standard
+
+Si la radiaci�n fuera una onda plana normalizada en el volumen 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset 
+
+ que confina a la radiaci�n, se tendr�a (ec.
+ 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:def-depd-espacial}
+
+\end_inset 
+
+): 
+\begin_inset Formula \[
+u(\vec{r})=\frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{\sqrt{V}}\]
+
+\end_inset 
+
+Y en este caso 
+\begin_inset Formula \[
+|u(\vec{r}_{a})|^{2}=\frac{1}{V}.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+De modo que la probabilidad no depender�a de la posici�n del centro acoplado
+ a la radiaci�n.
+ No obstante en general esto no es as�, y en particular no lo es siempre
+ que la distribuci�n de la radiaci�n sea inhomog�nea.
+ Como veremos, la distribuci�n de la radiaci�n en un modo gaussiano (de
+ inter�s en los resonadores empleados en los l�ser) 
+\emph on 
+es
+\emph default 
+ inhomog�nea.
+\layout Subsubsection*
+
+Emisi�n espont�nea y emisi�n estimulada
+\layout Standard
+
+En 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:emision}
+
+\end_inset 
+
+ vemos que, como hab�amos apuntado, la emisi�n se puede producir incluso
+ cuando 
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle=0$
+\end_inset 
+
+.
+ El estado coherente, en que el valor esperado 
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle=0$
+\end_inset 
+
+ coincide con el estado Fock 
+\begin_inset Formula $|0\rangle$
+\end_inset 
+
+, cl�sicamente ser�a un estado sin radiaci�n, pero cu�nticamente sabemos
+ que la energ�a residual en el modo es 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{2}\hbar\omega$
+\end_inset 
+
+.
+ Esta energ�a puede inducir la emisi�n en ausencia de cuantos.
+ As�, las transiciones inducidas por la presencia de cuantos se llaman 
+\emph on 
+transiciones estimuladas
+\begin_inset LatexCommand \index{transiciones!estimuladas}
+
+\end_inset 
+
+
+\emph default 
+ y las inducidas por el campo residual se llaman 
+\emph on 
+transiciones espont�neas
+\emph default 
+
+\begin_inset LatexCommand \index{transiciones!espont�neas}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+En el caso de que la radiaci�n del modo se hubiera preparado en un estado
+ de Fock 
+\begin_inset Formula $|n\rangle$
+\end_inset 
+
+ en lugar de en un estado coherente 
+\begin_inset Formula $\ket{\alpha}$
+\end_inset 
+
+ el valor esperado ser�a 
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle=n$
+\end_inset 
+
+ y por tanto las expresiones de 
+\begin_inset Formula $|C_{s'}|^{2}$
+\end_inset 
+
+ ser�an las mismas sustituyendo 
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle$
+\end_inset 
+
+ por 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+El resultado 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:emision}
+
+\end_inset 
+
+ indica que la probabilidad 
+\begin_inset Formula $|C_{s'}|^{2}$
+\end_inset 
+
+ es la misma a trav�s de la emisi�n estimulada, cuando hay un valor esperado
+ 
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle=1$
+\end_inset 
+
+, que a trav�s de la emisi�n espont�nea.
+\layout Standard
+
+En lo que sigue vamos a utilizar el promedio espacial de los coeficientes
+ de probabilidad con el objeto de obtener resultados que no dependan de
+ la posici�n 
+\begin_inset Formula $\vec{r}_{a}$
+\end_inset 
+
+ del centro y sean al mismo tiempo realistas.
+ Es decir, sustituiremos 
+\begin_inset Formula $|u(\vec{r}_{a})|^{2}$
+\end_inset 
+
+ por 
+\begin_inset Formula \[
+\overline{|\vec{u}(\vec{r})|^{2}}=\frac{1}{V}{\displaystyle \int\left|\vec{u}\left(\vec{r}\right)\right|^{2}\,\mathrm{d^{3}}V}=\frac{1}{V}\quad\textrm{pues}\quad\int\left|\vec{u}\left(\vec{r}\right)\right|^{2}\,\mathrm{d^{3}}V=1\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+\noindent 
+siendo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset 
+
+ el volumen del resonador en que est� confinada la radiaci�n.
+ Tambi�n recordaremos que 
+\begin_inset Formula \[
+|H_{i,s's}|^{2}=\frac{\hbar\,\omega_{s's}^{2}}{2\omega\,\varepsilon_{0}}|\vec{e}\cdot\vec{D}_{s's}|^{2}.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Section
+
+Los coeficientes de Einstein
+\layout Subsection
+
+Probabilidades de los procesos de absorci�n
+\layout Standard
+
+El coeficiente de probabilidad de la absorci�n, usando la expresi�n expl�cita
+ de 
+\begin_inset Formula $H_{i,s's}$
+\end_inset 
+
+ es
+\begin_inset Formula \[
+|C_{s'}(t)|^{2}=\frac{\omega_{s's}^{2}}{2\hbar\varepsilon_{0}V\omega}|\vec{e}\cdot\vec{D}_{s's}|^{2}\,\left\langle n\right\rangle \frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\]
+
+\end_inset 
+
+Esta expresi�n corresponde al caso en que una sola frecuencia (la del modo
+ de radiaci�n) interacciona con la materia.
+ Su comportamiento cerca de la resonancia es cuadr�tico en el tiempo
+\begin_inset Foot
+collapsed true
+
+\layout Standard
+
+Si 
+\begin_inset Formula $x\ll1$
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin x\simeq x$
+\end_inset 
+
+.
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\lim_{\omega\rightarrow\omega_{s's}}|C_{s'}(t)|^{2}=\frac{\omega_{s's}^{2}}{2\hbar\varepsilon_{0}V\omega}\,|\vec{e}\cdot\vec{D}_{s's}|^{2}\,\left\langle n\right\rangle \, t^{2}\]
+
+\end_inset 
+
+Sin embargo, el comportamiento proporcional a 
+\begin_inset Formula $t^{2}$
+\end_inset 
+
+ es poco usual, siendo en general la probabilidad proporcional a 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset 
+
+.
+ La raz�n esencial de esta discrepancia se encuentra en las hip�tesis simplifica
+doras que asumen una sola frecuencia en la radiaci�n y niveles de la materia
+ infinitamente estrechos.
+ En la pr�ctica ni los niveles at�micos ni la radiaci�n lo son.
+\layout Standard
+
+Como en el caso estudiado se ha supuesto la interacci�n de los niveles de
+ la materia con una sola frecuencia de la radiaci�n, para tener la probabilidad
+ inducida por todas las frecuencias presentes se habr�n de sumar las probabilida
+des sobre ellas.
+ Si tambi�n hay diferentes direcciones de propagaci�n y polarizaciones se
+ deben sumar de igual modo.
+ Imaginemos por ejemplo que (como en el caso de la radiaci�n de equilibrio
+ t�rmico) tenemos la energ�a distribuida en todos los modos: en todas las
+ frecuencias angulares 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset 
+
+, direcciones de propagaci�n 
+\begin_inset Formula $\hat{\vec{k}}=\vec{k}/\left|\vec{k}\right|$
+\end_inset 
+
+ y polarizaciones 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\left\langle n\right\rangle =\left\langle n\right\rangle \left(\omega,\hat{\vec{k}},\sigma\right).\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Seg�n hemos estudiado, el n�mero de modos con frecuencia angular 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset 
+
+ en un intervalo 
+\begin_inset Formula $\mathrm{d}\omega$
+\end_inset 
+
+, vector de ondas 
+\begin_inset Formula $\vec{k}$
+\end_inset 
+
+ dentro del �ngulo s�lido 
+\begin_inset Formula $\mathrm{d}^{2}\Omega$
+\end_inset 
+
+ y polarizaci�n 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset 
+
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula \[
+\mathrm{d}^{3}N_{\sigma}=\frac{V}{(2\pi c)^{3}}\omega^{2}\,\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}^{2}\Omega.\]
+
+\end_inset 
+
+Entonces la probabilidad de que un cuanto de esta radiaci�n sea absorbido
+ ser� el producto de la probabilidad de absorci�n 
+\begin_inset Formula $\left|C_{s'}\left(t\right)\right|^{2}$
+\end_inset 
+
+ de un cuanto en una frecuencia por el n�mero de modos � frecuencias disponibles
+,
+\begin_inset Float figure
+wide false
+collapsed false
+
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Graphics
+	filename fig/orienta-rel-D-e-src.eps
+	display monochrome
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:orienta-rel-D-e}
+
+\end_inset 
+
+La probabilidad total de absorci�n depende de la orientaci�n relativa de
+ los momentos dipolares de la materia 
+\begin_inset Formula $\vec{D}_{s's}$
+\end_inset 
+
+ y la polarizaci�n de la radiaci�n 
+\begin_inset Formula $\vec{e}_{\sigma}$
+\end_inset 
+
+.
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+\mathrm{d}^{3}P_{\sigma,a}=|C_{s'}(t)|^{2}\frac{V}{(2\pi c)^{3}}\omega^{2}\,\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d^{2}}\Omega\]
+
+\end_inset 
+
+Y la probabilidad total de absorci�n ser� 
+\begin_inset Formula \[
+P_{a}=\frac{\omega_{s's}^{2}}{2\hbar\varepsilon_{0}(2\pi c)^{3}}\sum_{\sigma=1,2}\int_{0}^{\infty}\left[\omega\frac{4\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\int|\vec{e}_{\sigma}\cdot\vec{D}_{s's}|^{2}\left\langle n_{\sigma}\right\rangle \mathrm{d}^{2}\Omega\right]\,\mathrm{d}\omega\]
+
+\end_inset 
+
+Como se aprecia en esta expresi�n lo que cuenta en la integral geom�trica
+ es c�mo est�n orientados los momentos dipolares de la materia 
+\begin_inset Formula $\vec{D}_{s's}$
+\end_inset 
+
+ respecto a la polarizaci�n de la radiaci�n 
+\begin_inset Formula $\vec{e}_{\sigma}$
+\end_inset 
+
+.
+ Dejando fija la polarizaci�n 
+\begin_inset Formula $\vec{e}_{\sigma}$
+\end_inset 
+
+, si las orientaciones at�micas est�n distribuidas isotr�picamente respecto
+ a 
+\begin_inset Formula $\vec{e}_{\sigma}$
+\end_inset 
+
+ podemos tomar el �ngulo s�lido 
+\begin_inset Formula $\mathrm{d}^{2}\Omega$
+\end_inset 
+
+ alrededor de la direcci�n de 
+\begin_inset Formula $\vec{D}_{s's}$
+\end_inset 
+
+ (figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:orienta-rel-D-e}
+
+\end_inset 
+
+): 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\begin{split}\sum_{\sigma=1,2}\int|\vec{e}_{\sigma}\cdot\vec{D}_{s's}|^{2}\left\langle n_{\sigma}\right\rangle \,\mathrm{d}\Omega & =\sum_{\sigma=1,2}\left\langle n_{\sigma}\right\rangle |\vec{D}_{s's}|^{2}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}\varphi\\
+ & =\frac{4\pi}{3}\,\left|\vec{D}_{s's}\right|^{2}\,\sum_{\sigma=1,2}\left\langle n_{\sigma}\right\rangle =\frac{4\pi}{3}\,\left|\vec{D}_{s's}\right|^{2}\,\left\langle n\right\rangle \end{split}
+\label{eq:polarizacion}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+(
+\begin_inset Formula $\langle n\rangle$
+\end_inset 
+
+ es el valor esperado del n�mero total de cuantos en las dos polarizaciones).
+ Con lo cual 
+\begin_inset Formula \[
+P_{a}=\frac{8\pi}{3}\frac{\omega_{s's}^{2}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}(2\pi c)^{3}}\int_{0}^{\infty}\omega\,\left\langle n(\omega)\right\rangle \frac{\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\,\mathrm{d}\omega\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+La funci�n subintegral contiene el factor r�pidamente variable 
+\begin_inset Float figure
+wide false
+collapsed false
+
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Graphics
+	filename fig/func-auxiliar-src.eps
+	display monochrome
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:func-auxiliar}
+
+\end_inset 
+
+Para tiempos suficientemente largos la variaci�n r�pida de la funci�n 
+\begin_inset Formula $g\left(\omega\right)$
+\end_inset 
+
+ permite considerar solamente el valor en el m�ximo 
+\begin_inset Formula $\left\langle n\left(\omega_{s's}\right)\right\rangle $
+\end_inset 
+
+ de la funci�n lentamente variable 
+\begin_inset Formula $\left\langle n\left(\omega\right)\right\rangle $
+\end_inset 
+
+.
+ 
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+g\left(\omega\right)=\frac{\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}},\]
+
+\end_inset 
+
+que representamos en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:func-auxiliar}
+
+\end_inset 
+
+.
+ La anchura del pico central, estimada como la distancia del m�ximo al primer
+ m�nimo, vale 
+\begin_inset Formula $2\pi/t$
+\end_inset 
+
+.
+ Si el tiempo transcurrido es lo suficientemente largo como para que �sta
+ sea mucho menor que la anchura 
+\begin_inset Formula $\triangle\omega$
+\end_inset 
+
+ de 
+\begin_inset Formula $\langle n(\omega)\rangle$
+\end_inset 
+
+, es decir, si se cumple
+\begin_inset Formula \[
+\frac{2\pi}{t}\ll\triangle\omega\]
+
+\end_inset 
+
+entonces se puede considerar 
+\begin_inset Formula $\left\langle n\left(\omega\right)\right\rangle \simeq\left\langle n\left(\omega_{s's}\right)\right\rangle $
+\end_inset 
+
+ y por lo tanto aproximar as� la integral
+\begin_inset Formula \[
+P_{a}(t)\simeq\frac{8\pi}{3}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}(2\pi c)^{3}}\,\langle n(\omega_{s's})\rangle\,\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\,\mathrm{d}\omega\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Con el cambio 
+\begin_inset Formula $x=\omega_{s's}-\omega$
+\end_inset 
+
+ 
+\begin_inset Formula \[
+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\frac{1}{2}(\omega_{s's}-\omega)t}{(\omega_{s's}-\omega)^{2}}\,\mathrm{d}\omega\simeq\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}\left(xt/2\right)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\, t\]
+
+\end_inset 
+
+y queda 
+\begin_inset Formula \[
+P_{a}(t)=\frac{1}{6\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}\langle n(\omega_{s's})\rangle t.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Finalmente, la probabilidad de absorci�n estimulada por la radiaci�n ser�,
+ por unidad de tiempo 
+\begin_inset Formula $W_{a}^{\mathrm{est}}\equiv P_{a}\left(t\right)/t$
+\end_inset 
+
+ o, 
+\begin_inset Formula \[
+W_{a}^{\mathrm{est}}=\frac{1}{6\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}\langle n(\omega_{s's})\rangle.\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsection
+
+Probabilidades de los procesos de emisi�n
+\layout Standard
+
+Si comparamos las expresiones 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:absorcion}
+
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:emision}
+
+\end_inset 
+
+ para la absorci�n y para la emisi�n vemos que esencialmente s�lo se diferencian
+ en el factor del n�mero de fotones, 
+\begin_inset Formula $\langle n_{\sigma}\rangle$
+\end_inset 
+
+ en un caso y 
+\begin_inset Formula $\langle n_{\sigma}\rangle+1$
+\end_inset 
+
+ en el otro.
+ Al sumar sobre las dos polarizaciones el factor para la emisi�n ser� 
+\begin_inset Formula $\langle n(\omega_{s's})\rangle+2$
+\end_inset 
+
+, por lo tanto, la probabilidad 
+\emph on 
+total
+\emph default 
+ de emisi�n ser� 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+W_{e}=\frac{1}{6\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}(\left\langle n(\omega_{s's})\right\rangle +2)\label{eq:prob-emision-tot}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+Las emisiones estimuladas, correspondientes al primer t�rmino, se producen
+ con una probabilidad igual que la de absorci�n estimulada,
+\begin_inset Formula \[
+W_{e}^{\mathrm{est}}=\frac{1}{6\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}\,\left\langle n(\omega_{s's})\right\rangle .\]
+
+\end_inset 
+
+Si la radiaci�n tiene su energ�a isotr�picamente distribuida, 
+\begin_inset Formula $\langle n(\omega_{s's})\rangle=2\langle n_{\sigma}(\omega_{s's})\rangle$
+\end_inset 
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $n_{\sigma}(\omega_{s's})$
+\end_inset 
+
+ es el n�mero de cuantos por modo en la frecuencia de la transici�n.
+ Entonces
+\begin_inset LatexCommand \index{emisi�n!estimulada}
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+W_{a}^{\mathrm{est}}=W_{e}^{\mathrm{est}}=\frac{1}{3\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}\langle n_{\sigma}(\omega_{s's})\rangle\label{eq:prob-proc-estim}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Por otra parte, si 
+\begin_inset Formula $u_{\nu}(\nu)$
+\end_inset 
+
+ es la densidad de energ�a de radiaci�n por unidad de volumen y de intervalo
+ de frecuencia, como 
+\begin_inset Formula $\langle n_{\sigma}\rangle\, h\nu$
+\end_inset 
+
+ es la energ�a por modo 
+\begin_inset Formula \[
+u_{\nu}(\nu)=\rho(\nu)\langle n_{\sigma}\rangle h\nu=\frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}h\nu\langle n_{\sigma}\rangle=\frac{2\hbar\omega^{3}}{\pi c^{3}}\langle n_{\sigma}\rangle\rightarrow\langle n_{\sigma}\rangle=\frac{\pi c^{3}}{2\hbar\omega^{3}}u_{\nu}(\nu)\]
+
+\end_inset 
+
+se pueden poner las probabilidades de los procesos estimulados en funci�n
+ de la densidad de energ�a de la radiaci�n:
+\begin_inset Formula \[
+W_{a}^{\mathrm{est}}=W_{e}^{\mathrm{est}}=B_{s's}u_{\nu}(\nu_{s's})\]
+
+\end_inset 
+
+donde los coeficientes 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset 
+
+ se conocen como 
+\emph on 
+coeficientes de Einstein de las transiciones estimuladas
+\emph default 
+
+\begin_inset LatexCommand \index{coeficientes de Einstein!de las transiciones estimuladas}
+
+\end_inset 
+
+ y valen:
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+B_{s's}=\frac{|\vec{D}_{s's}|^{2}}{6\hbar^{2}\varepsilon_{0}}=B_{ss'}\label{eq:coef-B}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+El segundo t�rmino de 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:prob-emision-tot}
+
+\end_inset 
+
+ nos indica que puede haber emisi�n de un cuanto aunque no haya cuantos
+ en la radiaci�n 
+\begin_inset Formula $(\langle n_{\sigma}\rangle=0)$
+\end_inset 
+
+.
+ Por ello este t�rmino se conoce como la 
+\emph on 
+probabilidad de emisi�n espont�nea
+\emph default 
+
+\begin_inset LatexCommand \index{emisi�n!espont�nea}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Su expresi�n ser� la 
+\begin_inset LatexCommand \ref{eq:prob-proc-estim}
+
+\end_inset 
+
+ pero tomando en ella 
+\begin_inset Formula $\langle n_{\sigma}\rangle=1$
+\end_inset 
+
+, ya que como se desprende de la expresi�n para 
+\begin_inset Formula $W_{e}$
+\end_inset 
+
+ el campo de cero fotones produce la misma emisi�n que el de un fot�n:
+\begin_inset Formula \[
+A_{s's}=\frac{1}{3\pi}\frac{\omega_{s's}^{3}|\vec{D}_{s's}|^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{3}}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+El cociente entre el coeficiente de emisi�n espont�nea y el coeficiente
+ de uno cualquiera de los procesos estimulados (de emisi�n o de absorci�n)
+ depende �nicamente de la longitud de onda de la radiaci�n (en el medio,
+ ya que 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset 
+
+ est� referida al medio): 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\frac{A_{s's}}{B_{s's}}=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}=\frac{8\pi h}{\lambda^{3}}\label{eq:rel-A-B-Einstein}\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+La f�rmula es de aplicabilidad general a toda radiaci�n electromagn�tica.
+ As�, sabemos ahora que la radiaci�n estimulada, que es la de inter�s en
+ el l�ser, predominar� con mayor facilidad cuanto mayor sea la longitud
+ de onda.
+ En efecto, una emisora de radio emite estimuladamente, y por lo tanto con
+ muy poco ruido cu�ntico (emisi�n espont�nea), mientras que los �tomos y
+ mol�culas representan una situaci�n intermedia; en los n�cleos, dada la
+ cort�sima longitud de onda en la que emiten (rayos 
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset 
+
+), la radiaci�n estimulada est� en proporci�n despreciable.
+\layout Standard
+
+El uso de radiaciones de onda muy corta en los resonadores l�ser plantea
+ adem�s numerosos problemas tecnol�gicos; a pesar de ello, se ha conseguido
+ dise�ar sistemas l�ser que trabajan en el dominio de los rayos 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset