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Camilo Rocha
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Es una colección de objetos en la cual siempre es posible determinar
si un objeto hace parte o no de la colección.
¿Cómo se pregunta si un objeto hace parte de un conjunto?
Para ello se utiliza el símbolo de la pertenencia \in (épsilon). Dado
un objeto o y un conjunto X, se pregunta por la pertenencia de o a X
de la siguiente manera:
o \in X
Cuando un objeto o hace parte de un conjunto X, se dice que o es
elemento de X.
¿Cómo se escriben o denotan los conjuntos?
Para denotar un conjunto se usan los corchetes { y }. Hay varios
estilos de escritura:
- Enumeración:
{ o1, o2, o3 }
{ o1, o2, o3, ... }
- Comprensión:
{ x | "tales que x ..." }
Ejemplos
(1) { } (Conjunto vacío)
(2) { 0, 1, 2, 3 } (Colección con 0, 1, 2 y 3)
(3) { 0, 1, 2, 3, ... } (Colección de los números naturales)
(4) { x | 0 <= x <= 3 } (La misma colección (2))
(5) { 2, 4, 6, 8, ... } (Los números naturales pares sin el cero)
(6) { z | "z es par" y "z es impar" }
(La misma colección (1))
(7) { { } } (La colección que contiene al conjunto vacío)
(8) { { }, a } (La colección con los elementos {} y a)
(9) { 5, 5 } (El conjunto { 5 })
Comparaciones
(1) ¿ { 5, 5 } = { 5, { 5 } } ? (no, son distintos: los agrupamientos
importan)
(2) ¿ { 4, { 4 } } = { { 4 }, 4 } ? (si, son iguales: el orden no importa)
(3) ¿ { 3 } = { 3, 3 } ? (si, son iguales: las repeticiones no
importan)
Consultas
(1) ¿ 5 \in { 5 } ? (si)
(2) ¿ 5 \in { { 5 } } ? (no)
(3) ¿ { 5 } \in { { 5 } } ? (si)
Operaciones
(*) Unión
Dados dos conjuntos A,B, denotamos su unión como
A u B
Si C = A u B y queremos saber si x \in C, basta
con saber x \in A o x \in B.
(*) Intersección
Dados dos conjuntos A,B, denotamos su intersección como
A n B
Si C = A n B y queremos saber si x \in C, basta
con saber x \in A y x \in B.
(*) Diferencia
Dados dos conjuntos A,B, denotamos la diferencia de
A con B como
A \ B
Si C = A \ B y queremos saber si x \in C, basta con
saber si x \in A y x \notin B
Ejemplos
(1) Si A = { 2 } y B = { 2, 3 }, entonces
A u B = { 2, 3 }
A n B = { 2 }
A \ B = { }
B \ A = { 3 }
(2) Si A = { 2, 3, 4 } y B = { a, b }, entonces
A u B = { 2, 3, 4, a, b }
A n B = { }
A \ B = { 2, 3, 4 }
B \ A = { a, b }
(3) Si A es un conjunto, entonces
A u { } = A. ¿Por qué? La razón es que el conjunto vacío no
aporta ningún elemento a la unión con
A. Entonces, un elemento está en A u { }
únicamente cuando está en A (y viceversa).
A n { } = { } ¿Por qué? La razón es que el conjunto vacío no
tiene elementos. Entonces, es imposible que haya
elementos en común entre el conjunto vacío y
cualquier conjunto.
A \ { } = A
{ } \ A = { }
(4) Si
A = { x | "x es un número natural" y "x es par" }
y
B = { x | "x es un número natural" y "x es impar" },
entonces A u B es el conjunto de todos los números naturales.
¿Por qué? La razón es porque cualquier número natural al ser
divido entre 2 deja residuo 0 (par) o 1 (impar). Entonces, dado
cualquier número natural x se tiene que x \in A o x \in
B. Consecuentemente, x \in A u B.
A su vez, A n B es el conjunto vacío porque, como se explica
anteriormente, no hay un número natural alguno que sea par e
impar a la vez.
Como A y B no cmparten elementos, se tiene que A \ B = A y
B \ A = B.
Propiedades
(*) Inclusión
Dados dos conjuntos A,B, denotamos la inclusión de A
en B como
A c= B
La comparación A c= B es cierta cuando cualquier elemento de A
es un elemento de B. En otras palabras, si A c= B, entonces es
imposible que algún elemento de A no sea elemento de B. Cuando A
c= B es cierto, decimos que A está incluído en B o que A es
subconjunto de B.
(*) Igualdad
Dados dos conjuntos A,B, denotamos la igualdad de A y B como se
estableció anteriormente
A = B
La comparación A = B es cierta cuando A y B tienen los mismos
elementos. Entonces es falsa, si hay al menos un elemento de A
que no esté en B o si hay al menos un elemento de B que no está
en A.
Hay una relación muy importante entre la igualdad y la inclusión.
Es muy común razonar sobre la igualdad de conjuntos con base en
la inclusión, de la siguiente manera:
A = B si y solo si A c= B y B c= A
Dada esta equivalencia de propiedades, si se logra establecer
que A es subconjunto de B y también que B es subconjunto de A,
entonces necesariamente A y B son iguales.
¿Por qué si A y B son iguales se cumplen las dos inclusiones?
(*) Cardinalidad
Dado un conjunto A finito, denotamos su cardinalidad (o
cantidad de elementos) como
card(A)
Para poder referirse a la cardinalidad de un conjunto, por lo
menos en el caso de este curso, dicho conjunto debe ser finito.
Intuitivamente, un conjunto es finito cuando no se pueden
"eliminar" indefinidamente y uno a uno elementos de este.
En los textos y artículos es común encontrar que la cardinalidad
de un conjunto A también se escribe como | A |.
Ejemplos
(1) Si Si A = { 2 } y B = { 2, 3 }, entonces
A c= B es cierto
B c= A es falso
A = B es falso porque falla B c= A a pesar de que A c= B es cierto
card(A) = 1
card(B) = 2
(2) Si A = { 2, 3, 4 } y B = { a, b }, entonces
A c= B es falso
B c= A es falso
A = B es falso
card(A) = 3
card(B) = 2
(3) Si A es un conjunto, entonces
{ } c= A es cierto
A c= { } es cierto únicamente si A = { }. La razón es que si A tiene al menos
un elemento, dicho elemento no está { }. Entonces, el único conjunto
que es subconjunto de { } es aquel que no tiene elementos, es decir,
el conjunto vacío.
A c= { } es cierto únicamente si A = { }. ¿Por qué?
card(A) solo tiene sentido escribirlo cuando A es finito
(4) Si
A = { x | "x es un número natural" y "x es par" }
y
B = { x | "x es un número natural" y "x es impar" },
entonces:
A c= B es falso. ¿Por qué?
B c= A es falso. ¿Por qué?
A = B es falso. ¿Por qué?
card(A) no tiene sentido como expresión porque A no es finito.
card(B) no tiene sentido como expresión porque B no es finito.
(5) Como { } no tiene elementos, su cardinalidad es 0, es decir, card({ }) = 0.
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