1. Łukasz Ligowski
  2. egzamin

Commits

Łukasz Ligowski  committed 2f1be44

poprawki

  • Participants
  • Parent commits 7a958f3
  • Branches default

Comments (0)

Files changed (2)

File 21_metody_szukania_ekstremow.tex

View file
  • Ignore whitespace
 
 \begin{frame}
 	\frametitle{}
+	
+	\begin{block}{ekstremum funkcji}
+		niech funkcja $u=f(x_1,\ldots,x_n)$, będzie określona
+		w~obszarze $D$ i~niech $\mathbb{x}$ będzie punktem wewnętrznym tego
+		obszaru. Będziemy mówili, że funkcja $f(x_1, \ldots, x_n)$ ma
+		w~punkcie $x$ maksimum(minimum) jeżeli można wyznaczyć takie
+		otoczenie tego punktu $(x_i - \delta, x_i + \delta)\quad
+		i=1,\ldots,n$ (kulę otwartą), że dla wszystkich punktów tego
+		otoczenia spełniona jest nierówność
+		\begin{align}
+			f(\mathbb{x})\leq(\geq)f(x)	
+		\end{align}
+		jeśli otoczenie można dobrać tak, żeby nierówność była ostra, to
+		w~punkcie $\mathbb{x}$ jest minimum/maksimum właściwe (wpp
+		niewłaściwe)
+	\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}\frametitle{związek z~pochodną}
+	
+	
+\end{frame}
+\begin{frame}\frametitle{warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji klasy
+	$C^1$ (jednej zmiennych)}
+
+	\begin{itemize}
+		\item ma ekstremum w~$x_0$ jeśli pierwsza pochodna zmienia znak
+			w~$x_0$
+		\item  jeśli istnieje druga pochodna w~$x_0$, to dla pierwszej pochodnej
+			równej $0$ w~$x_0$ druga musi być niezerowa
+		\item jeśli pierwsza z~pochodnych nie równych zeru w~punkcie
+			$x_0$ jest rzędu nieparzystego, funkcja nie ma w~punkcie
+			$x_0$ ani maksimum, ani minimum. Jeśli taką pochodną
+			jest pochodna rzędu parzystego, funkcja ma w~punkcie
+			$x_0$ maksimum albo minimum w~zależności od tego czy
+			pochodna jest ujemna czy dodatnia
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}\frametitle{warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji klasy
+	$C^1$ (wielu zmiennych)}
+
+	\begin{itemize}
+		\item 
+	\end{itemize}
+
+	\begin{block}{funkcja wielu zmiennych}
+
+	\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\begin{block}{ ekstrema związane - interpretacja geometryczna}
+
+	\end{block}
+
+	\begin{block}{metoda mnożników lagrange'a}
+		
+	\end{block}
+
+	\begin{block}{ przykłady różnych problemów prowadzących do zadania
+		wyznaczenia ekstremum funkcji}
+	\end{block}
 		
 \end{frame}
 

File 28_skonczenie_generowane_grupy_abelowe.tex

View file
  • Ignore whitespace
 
 \begin{frame}
 	\frametitle{}
+	
+	\begin{block}{definicja}
+	dla dowolnego podzbioru $A$ grupy $G$ istnieje najmniejsza podgrupa
+	grupy $G$ zawierająca zbiór $A$. Podgrupę tę nazywamy podgrupą
+	generowaną przez $A$ i~$A$ nazywamy jej zbiorem generatorów.
+	\end{block}
+	
+	\begin{block}{grupy cykliczne}
+		grupę nazywamy cykliczną gdy ma ona zbiór generatorów złożony
+		z~jednego elementu
+	\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}\frametitle{opis skończonych grup abelowych}
+	\begin{itemize}
+		\item każda grupa skończona jest torsyjna tzn. $\exists\ n\ \
+			a^n=1$. Przykład: torsyjna nieskończona $\mu(C)$,
+			nietorsyjna $Z^{+}$
+	\end{itemize}
+	\begin{block}{twierdzenie/wniosek}
+		jeśli grupa $G$ jest abelowa oraz $A=\{a_1,\ldots,a_m\}$ jest
+		zbiorem skończonym, to każdy element podgrupy generowanej przez
+		$A$ można przedstawić w~postaci $a_1^{n_1}\cdot
+		a_2^{n_2}\cdot \ldots \cdot a_n^{n_m}$ gdzie
+		$n_i$ są liczbami całkowitymi
+	\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\begin{itemize}
+		\item liczby całkowite z~dodawaniem, liczby całkowite mod $n$, dowolna suma
+			prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup
+			przemiennych też jest skończona 
+		\item grupa liczb wymiernych (z~dodawaniem) nie jest
+	\end{itemize}
+
+	\begin{block}{twierdzenie}
+		każda skończenie generowana grupa abelowa $G$ jest izomorficzna
+		z~sumą prostą cyklicznych grup o~rzędach będących potęgami liczb
+		pierwszych,
+		$\mathbb{Z}^{n}\oplus\mathbb{Z}_{q_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}_{
+		_t}$ gdzie $n\geq 0$ a~liczby $q_1,\ldots,q_t$, są
+		niekoniecznie różnymi potęgami liczb pierwszych, w~szczególności
+		$G$ jest skończona wtedy i~tylko wtedy, gdy $n = 0$, wartości
+		$n, q_1, \ldots, q_t$ są wyznaczone jednoznacznie (co do
+		porządku) przez $G$.
+		
+	\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}\frametitle{związek z~kongruencjami ?}
+	\begin{itemize}
+		\item Grupy cykliczne tego samego rzędu są izomorficzne.
+		\item jeśli rzędy grup $G_1$, $G_2$ są równe pewnej liczbie
+			pierwszej, to grupy te są izomorficzne
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}\frametitle{małe twierdzenie Fermata}
+	\begin{block}{twierdzenie}
+		jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby
+		całkowitej $a$, liczba $a^p-a$ jest podzielna przez $p$ -
+		$a^p-a\equiv 0 (\mod p)$
+	\end{block}
+	\begin{itemize}
+		\item zbiór $\mathbb{Z}^{\ast}_p = \{1,\ldots,p-1\}$  jest
+			grupą z~działaniem mnożenia $\mod p$, grupa ta jest
+			rzędu $p - 1$, niech $a$ będzie dowolnym jej elementem,
+			oznaczmy przez $k$ rząd tego elementu, tzn.  najmniejsze
+			$k\in\mathbb{N}$ takie, że $a^k=1\Leftrightarrow
+			a^k\equiv 1 (\mod p)$, z~twierdzenia Lagrange'a, wynika,
+			że rząd elementu $a$ dzieli rząd grupy
+			$\mathbb{Z}^{\ast}_{p}$, czyli $k|p -1$. A~zatem
+			istnieje pewna liczba naturalna $m$ spełniająca warunek
+			$p -1 =km$
+			wówczas
+			$a^{p-1}\equiv a^{km} \equiv (a^{k})^{m} \equiv
+			1^{m}\equiv 1 (\mod p)$
+		\item tw. Lagrange'a w~grupie skończonej rząd dowolnej podgrupy
+			dzieli rząd grupy
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\begin{block}{twierdzenie chińskie o~resztach}
+		\begin{align}
+			x\equiv y_1 (\mod n_1)\\
+			x\equiv y_2 (\mod n_2)\\
+			\ldots\\
+			x\equiv y_k (\mod n_k)
+		\end{align}
+		gdzie $y_i$ są liczbami całkowitymi a~$n_i$ to liczby parami
+		względnie pierwsze, spełnia dokładnie jedna liczba $1 \geq x
+		\geq n_1n_2n_3\ldots n_k$
+	\end{block}
+	
+	\begin{block}{związek/wniosek}
+		$\mathbb{Z}_m$ jest izomorficzna z~iloczynem prostym
+		$\mathbb{Z}_j$ i~$\mathbb{Z}k$ wtedy i~tylko wtedy gdy $j$ oraz
+		$k$ są względnie pierwsze i~$m=jk$
+	\end{block}
+	
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\begin{block}{algebra wolna}
+		niech $K$ będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu, niech
+		$A\in K$. $S\subset A$ nazywamy zbiorem wolnych generatorów
+		algebry $A$ w~klasie $K \Leftrightarrow$, gdy dla każdego
+		przekształcenia $f:S\to B \in B$ istnieje dokladnie jeden taki
+		homomorfizm $h:A\to B$ że $h|_{S} =f$, jeśli dla danej algebry
+		$A$ istnieje jej zbiór wolnych generatorów w~klasie $K$, to
+		nazywamy ją algebrą wolną w~klasie $K$ 
+	\end{block}
+
+	\begin{block}{wolna grupa abelowa}
+		grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną, grupa abelowa jest
+		wolna $\Leftrightarrow$ gdy ma podzbiór o~tej własności, że
+		każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako
+		kombinacja liniowa o~współczynnikach całkowitych elementów tego
+		zbioru (bazy). 
+	\end{block}
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $\mathbb{Z}$ z~dodawaniem, bazą są zbiory $\{1\}$
+			i~$\{-1\}$
+		\item grupa addytywna pierścienia wielomianów o~współczynnikach
+			całkowitych. bazą tej grupy jest np. zbiór
+			$\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+
+	
+	\begin{block}{ związek z~algorytmem Euklidesa}
+	\end{block}
+
 		
 \end{frame}