Source

egzamin / 16_o_pojeciu_odleglosci.tex

Full commit
\documentclass{beamer}
\mode<presentation>
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ucs}
\usepackage{polski}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{color}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{texments}

\usetheme{Madrid}

\begin{document}

\begin{frame}
	\frametitle{o~pojęciu odległości}
	
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{}
	
	\begin{itemize}
		\item definicja przestrzeni metrycznej
		\item przykłady metryk występujących w~różnych działach
			matematyki (geometria, analiza)
		\item pojęcie izometrii.
		\item opis analitycznych izometrii w~przestrzeni kartezjańskiej
			$\mathbb{R}^n$
		\item przykłady metryk w~przestrzeniach funkcyjnych
		\item różne rodzaje zbieżności ciągów i~szeregów funkcyjnych,
			związki między nimi
	\end{itemize}
		
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{}
	
	\begin{block}{przestrzeń metryczna}
		przestrzeń metryczna to zbiór w którym określono metrykę
		(funkcję odległości) $\rho$ o~następujących własnościach
		\begin{itemize}
			\item $0\leq \rho(x,y) \leq \infty \quad \forall
				x,y\in X$
			\item $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
			\item $\rho(x,y) = \rho(x,y) \quad \forall x,y\in X$
			\item $\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y)\quad
				x,y,z\in X$ (nierówność trójkąta)
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{przykłady metryk}
	\begin{itemize}
		\item Euklidesowa $d(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \ldots + (x_n
			- y_n)^2}$ dla $\mathbb{R}^{n}$ - ``kula to kula``
			
		\item $d(x,y) = \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|$ Manhattan - kula to
			''(w~2D obrócony o~45 stopni kwadrat)``
		\item metryka kolejowa - odległość pomiędzy punktami
			współiniowymi z~$0$ euklidesowa, jeśli nie to suma
			odległości od punktu $0$
		\item metryka rzeka - odległość od prostej $0$ obu punktów +
			odległość pomiędzy punktami z~prostej
		\item $d(x,y) = \max_{k}|x_k - y_k|$ odległość Czebyszewa - ''kula
			to kostka``
			(odpowiada metryce $L^{\infty})$
		\item 
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{block}{izometria}
		izometrią (ruchem) przestrzeni euklidesowej $E$ nazywamy każde
		odwzorowanie $f:E\to E$ zachowujące odległość, tzn.
		\begin{align}
			\rho(f(p), f(q)) = \rho(p,q)\quad \forall p,q\in E
		\end{align}
		(z~tego wynika, że jest $1-1$
	\end{block}
	
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{opis analitycznych izometrii w~przestrzeni
	kartezjańskiej $\mathbb{R}^n$}
	\begin{block}{orientacja}
		bazy przestrzeni $X$ są zgodnie zorientowane jeśli macierz
		przejścia mam dodoatni wyznacznik, klasy abstrakcji - orientacje	
	\end{block}
	\begin{block}{parzystość}
		jeśli izometria powoduje zmianę orientacji jest nieparzysta, jeśli
		nie to parzysta
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{itemize}
		\item prosta - parzyste - tożsamość, przesunięcie
		\item prosta - nieparzyste - symetria środkowa
		\item płaszczyzna - parzyste - tożsamość, przesunięcie, obrót
		\item płaszczyzna - nieparzyste - symetria osiowa, symetria
			z~poślizgiem (złożenie przesunięcia i~symetrii)
		\item przestrzeń trójwymiarowa - parzyste - tożsamość,
			przesunięcie, obrót wokół prostej, ruch śrubowy
		\item przestrzeń trójwymiarowa - nieparzyste - symetria
			płaszczyznowa, symetria płaszczyznowa z~poślizgiem,
			symetria obrotowa (obrót wokół prostej z~symetrią)
	\end{itemize}
\end{frame}
	
\begin{frame}\frametitle{przykłady metryk w~przestrzeniach funkcyjnych}
	przestrzeń Banacha metryka wyznaczona przez normę $\Vert \cdot \Vert_p$,
	warunek trójkąta wynika z~nierówności Minkowskiego
	\begin{align}
		\Big(\sum_{n=1}^{\infty}[|a_n|+|b_n|]^p\Big)^{\frac{1}{p}} \leq
		\Big(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\Big)^{\frac{1}{p}} +
		\Big(\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^p\Big)^{\frac{1}{p}}
	\end{align}
	\begin{itemize}
		\item norma $\Vert f\Vert_p = \{\int_X |f|^p
			d\mu\}^{\frac{1}{2}}$ przestrzeń $L_p(\mu)$ to
			przestrzeń wszystkich funkcji dla których ta norma jest
			skończona $p \geq 1$
		\item $L_\infty$ - dla normy $\Vert x \Vert_p = \sup\{|x_n|:n\in
			\mathbb{N}\}$
		\item metryka z~normy $d(x,y) = \Vert x - y\Vert$
	\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{rodzaje zbieżności ciągów i~szeregów funkcyjnych}
	\begin{itemize}
		\item prawie wszędzie - ciąg funkcji $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$
			jest zbieżny prawie wszędzie do funkcji $f$ jeśli jest
			zbieżny punktowo do funkcji $f$ poza zbiorem miary $0$
		\item według miary ciąg $f_n$ funkcji zespolonych $\mathfrak{M}$-mierzalnych
			określonych na zbiorze $A$ nazywa się zbieżny według
			miary $\mu$ do funkcji $\mathfrak{M}$-mierzalnej
			$f:A\mapsto C$ jeśli przy każdym $\epsilon > 0$ ciąg
			liczb
			\begin{align}
				\mu(\{x\in A: |f_n(x)-f(x)| > \epsilon\})	
			\end{align}
			dąży do zera
		\item w~$L_p$
		\item zbieżność jednostajna - ($(Y,\rho_Y)$ - przestrzeń
			metryczna) ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$
			funkcji $f_n:X\to Y$ jest jednostajnie zbieżny do
		funkcji $f:X \to Y$ jeżeli
			\begin{align}
				\forall \epsilon > 0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\
				\ \forall n
			\geq \mathbb{N}\ \ \forall x\in X\ \ \rho_Y(f_n	(x), f(x)) <
			\epsilon
			\end{align}
			można to zrozumieć tak
			\begin{align}
				\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in
				X}(\rho_Y(f_n(x), f(x)))= 0	
			\end{align}
		\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{itemize}
		\item zbieżność prawie jednostajna - jw. tyle, że 
			\begin{align*}
				\forall \epsilon > 0\ \
				\exists B\subset A\in \mathfrak{M}\\ \ [\mu(A-B) <
				\epsilon \cap (f_n|_B)_{n\in\mathbb{N}}
				\text{jest zbieżny jednostajnie do funkcji} \ \
				f|B]
			\end{align*}
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{związki}
	
	
\end{frame}




\end{document}