1. Łukasz Ligowski
  2. egzamin

Source

egzamin / 09_przestrzenie_liniowe.tex

\documentclass{beamer}
\mode<presentation>
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ucs}
\usepackage{polski}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{color}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{texments}

\usetheme{Madrid}

\begin{document}

\begin{frame}
	\frametitle{przestrzenie i~przekształcenia liniowe}
	
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{}
	
	\begin{itemize}
		\item definicja przestrzeni liniowej i~przekształcenia liniowego
		\item przykłady występowania tych pojęć w~różnych działach
			matematyki (geometria, analiza, algebra)
		\item zapis macierzowy przekształcenia liniowego
		\item wektory i~wartości własne
		\item postać Jordana macierzy
	\end{itemize}
		
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{block}{przestrzeń liniowa}

	{\footnotesize
		niech $K$ będzie ciałem, $V$ niepustym zbiorem w~którym
		określone jest działania dodawania $+$ i~operacje mnożenia przez
		elementy z~ciała $K$ oraz wyróżniony jest element $0$
		elementy zbioru $V$ będziemy nazywać wektorami $0$ wektorem
		zerowym a~elementy ciała $K$ skalarami\\
		zbiór $V$ (z~działaniem $+$, operacją mnożenia przez skalary
		z~ciała $K$ oraz wyróżnionym elementem $0$) nazywamy
		przestrzenią liniową nad ciałem $K$ jeśli spełnione są
		następujące warunki dla dowolnych wektorów $\alpha, \beta,
		\gamma \in V$ i~skalarów $a, b\in K$
		\begin{itemize}
			\item przemienność dodawania wektorów
			\item łączność dodawania wektorów
			\item wektor $0$ jest elementem neutralnym dodawania
			\item dla każdego wektora $\alpha$ istnieje taki wektor
				$\delta$, że $\alpha + \delta= 0$
			\item rozdzielność $+$ wektorów względem mnożenia przez
				skalar $a(\alpha + \beta) = a\alpha + b\beta)$
			\item rozdzielność $+$ skalarów względem mnożenia
				wektora $(a + b)\alpha = a\alpha + a\beta$
			\item $(ab)\alpha = a(b\alpha)$
			\item $1\alpha = \alpha$
		\end{itemize}
	}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{przykłady}
	\begin{itemize}
		\item $\mathbb{R}^n$
		\item zbiór równań liniowych z~$n$ niewiadomymi $x_1, \ldots,
			x_n$ o~współczynnikach z~ciała $K$ (np. $\mathbb{R}$)
			z~działaniami $+$ i~operacją mnożenia przez elementy
			z~ciała $K$
		\item zbiór wszystkich funkcji określonych na ustalonym
			niepustym zbiorze $X$ i~przyjmujących wartości z~ciała
			$K$, suma dwóch funkcji $\alpha$, $\beta$ jest określona
			jako odwzorowanie $\delta(x) = \alpha(x) +
			\beta(x)$. Iloczyn skalara $a$ przez $\alpha$ to funkcja
			$\delta(x) = a\alpha(x)$, funkcja wyróżniona to funkcja
			stale równa $0$. w~szczególności zbiór wszystkich
			funkcji $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{pojęcia}
	\begin{itemize}
		\item baza
		\item liniowa zależność/niezależność
		\item kombinacja liniowa
		\item wymiar
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
	
	\begin{block}{przekształcenie liniowe (homomorfizm)}
		niech $K$ oznacza pewne ciało a~$U$ i~$V$ będą przestrzeniami
		liniowymi nad tym ciałem funkcję $A:U\to V$ nazywa się
		przekształceniem liniowy, jeżeli jest
		\begin{itemize}
			\item addytywna $A(x + y) = A(x) + A(y)$
			\item jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar)
				$A(cx) = cA(x)$
			\item lub równoważnie (warunek liniowości) $A(cx + dy) =
				cA(x) + dA(y)$
		\end{itemize}
	\end{block}
	
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{block}{zapis macierzowy przekształcenia liniowego}
		niech $U$ i~$V$ będą przestrzeniami liniowymi nad ustalonym
		ciałem z~bazami odpowiednio $A = (a_1, \ldots, a_n)$ i~$B =
		(b_1, \ldots, b_m)$ zaś $T:U\to V$ będzie przekształceniem
		liniowym. Macierzą przekształcenia $T$ w~bazach $A, B$ nazywa
		się taką macierz $T_{A}^{B}=[t_{ij}]$ typu $m\times n$
		o~współczynnikach z~danego ciała, że dla każdego $j=1,\ldots, n$
		zachodzi
		\begin{align}
			T(a_j)=\sum_{i=1}^m t_{ij}b_i		
		\end{align}
		(tzn. w~j\dywiz tej kolumnie macierzy $T^B_A$ stoją współrzędne
		wektora $T(a_j)$ w bazie $B$.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{przykład}
	
	\begin{itemize}
		\item macierz obrotu (dwuwymiarowy) $T:\mathbb{R}^2 \to
			\mathbb{R}^2$ o~kąt $\theta$
	\begin{align}
		\left[\begin{array}{c}
			x'\\
			y'
		\end{array}\right]
		 = \left[\begin{array}{cc}
			\cos\theta & -\sin\theta \\
			-\sin\theta & \cos\theta 
		\end{array}\right]
		\left[\begin{array}{c}
			x\\
			y
		\end{array}\right]
	\end{align}

	\end{itemize}

	
	
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{pojęcia}
	\begin{itemize}
		\item jądro - przeciwobraz wektora zerowego
		\item rząd - wymiar obrazu całej przestrzeni
		\item endomorfizm - przekształcenie liniowe w~siebie
		\item automorfizm - przekształcenie liniowe w~siebie i~$1-1$
			(przekształcenie zmieniające bazę na inną)
		\item wyznacznik (niezmiennik endomorfizmu)
		\item ślad
		\item wielomian charakterystyczny
	\end{itemize} 
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{wektory i~wartości własne macierzy}
	
	\begin{block}{}
		niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ a~$T$
		oznacza pewien jej endomorfizm (w~siebie) jeśli dla pewnego
		niezerowego wektora $x$ z~przestrzeni $X$ spełniony jest warunek
		\begin{align}
			Tx=\lambda x		
		\end{align}
		gdzie $\lambda$ jest pewnym skalarem, to $x$ nazywa się wektorem
		własnym, a~$\lambda$ nazywa się wartością własną przekształcenia
		$T$ danej wartości własnej $\lambda$ operatora $T$ odpowiada
		zbiór
		\begin{align}
			X_{\lambda}(T) = \{ x\in X: Tx=\lambda x\}
		\end{align}
		nazywany podprzestrzenią własną 
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
	
	\begin{itemize}
		\item dla skończenie wymiarowej przestrzeni $X$ i~jej
			przekształcenia $A$ wartości własne są pierwiastkami
			wielomianu charakterystycznego
			\begin{align}
				w_{A}(\lambda) = det(\lambda I - A)	
			\end{align}
	\end{itemize}
	
\end{frame}

\begin{frame}
	
	\begin{block}{postać Jordana macierzy}

		{\footnotesize
		załóżmy, że $V$ jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową
		nad ciałem algebraicznie domkniętym $F$ oraz $\sigma$ jest
		endomorfizmem tej przestrzeni, wówczas istnieje baza przestrzeni
		$V$ w~której $\sigma$ ma macierz w~postaci (macierzy
		klatkowej)
		
		
		\begin{align}
			J = \left[\begin{array}{cccccc}
				A_1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
				0 & A_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
				0 & 0 & A_3 & 0 & \ldots & 0 \\
				\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots
				& \vdots \\
				0 & 0 & 0 & 0 & A_{k-1} & 0 \\
				0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_k
			\end{array}\right]
		\end{align}
	gdzie każda macierz $A_i$ jest postaci	
	\begin{align}
		A_i = \left[\begin{array}{cccccc}
			\lambda_i & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
			0 & \lambda_i & 1 & 0 & \ldots & 0\\
			0 & 0 & \lambda_i & 1 & \ldots & 0\\
			\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots
			& \vdots \\
			0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i & 1\\
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i \\
			\end{array}\right]\quad \lambda_i\in F,
			i\in\{1,\ldots,k\}
	\end{align}
	}
	\end{block}
	
\end{frame}

\end{document}