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+\pdfminorversion=3
+\documentclass{vuiprep}
+\input{commandes-auteur}
+\usepackage{lipsum,subfigure}
+% \endofdump
+\begin{document}
+
+\tableofcontents{}
+
+\part{Thermodynamique et Mécanique}
+
+\setcounter{chapter}{25}
+\chapter[Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
+macrocovalents et moléculaires]
+  {Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
+  macrocovalents\\ et moléculaires}
+
+\begin{cours}
+\index[comp]{savoir lire}
+
+\index{forces}
+
+\section{Forces volumiques et surfaciques}
+	\subsection{Plongeon introductif}
+	
+        \begin{paragraphe}
+          Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes
+          physiques essentiels dans ce chapitre, considérons une
+          personne qui plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne
+          reposent plus sur la surface du plongeoir, la personne tombe
+          sous l'effet de son poids dans l'air, un premier fluide. Au
+          fur et à mesure que son corps pénètre dans l'eau, un autre
+          fluide, il apparaît une force qui fait finalement remonter
+          le corps vers la surface.  Pendant la phase où le plongeur
+          descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
+          des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface
+          sans décompresser.
+
+          Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes
+          physiques essentiels dans ce chapitre, considérons une
+          personne qui plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne
+          reposent plus sur la surface du plongeoir, la personne tombe
+          sous l'effet de son poids dans l'air, un premier fluide. Au
+          fur et à mesure que son corps pénètre dans l'eau, un autre
+          fluide, il apparaît une force qui fait finalement remonter
+          le corps vers la surface.  Pendant la phase où le plongeur
+          descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
+          des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface
+          sans décompresser.
+        \end{paragraphe}
+
+
+        \begin{resultat}
+          test
+        \end{resultat}
+
+        \begin{figure}
+          \centering
+          \subfigure[première sous figure]{\includegraphics[width=2cm]{tiger}}
+          \subfigure[deuxième sous figure]{\includegraphics[width=1cm]{tiger}}
+          \caption{test de subfigure}
+        \end{figure}
+
+
+% \begin{lstlisting}[language=bash]
+%   for i in /Téléchargement/*.jpg ;
+%     do convert $i $i.pdf ;
+%   done
+%   # C'est l'été à Oster. Ça va.
+% \end{lstlisting}
+
+        \begin{application}[Exemple de titre optionnel]
+          On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$,
+          largeur $\ell$, et de hauteur $H$, que l'on remplit d'eau
+          jusqu'à une hauteur $h$, pour une expérience typique de
+          tipe.  On place un repère cartésien dont l'origine coïncide
+          avec un coin du fond de la cuve, de sorte que l'eau
+          remplisse le domaine (\(0\leq x\leq \ell,\, 0\leq y\leq L,\,
+          0\leq z\leq h \)).  On note \(p_0\) la pression
+          atmosphérique.
+
+		\begin{questions} 
+			\item 
+				Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en fonction de $h$.
+			\item 
+				Déterminer la force exercée sur chacune des parois.
+			\item 
+				Applications numériques pour 
+				\(L=\SI{1,5}{m}, \ell=\SI{1,0}{m},h=\SI{0,50}{m}\).
+		\end{questions}
+        \end{application}
+
+	Analysons qualitativement cette expérience, afin de  dégager les notions que nous devrons préciser
+	dans la suite. La force de pesanteur qui fait tomber le plongeur s'exerce aussi bien dans l'air 
+	que dans l'eau. C'est le cas usuel de force dite \emph{volumique}, qui ne dépend donc pas du fluide 
+	environnant. 
+	La douleur ressentie au niveau des tympans met très clairement en évidence le fait que l'eau pousse 
+	sur la surface extérieure du plongeur. Cette force \emph{surfacique} correspond aux forces de pression.
+	Enfin, si le corps tombe lorsqu'il est dans l'air, alors qu'il remonte spontanément lorsqu'il est dans 
+	l'eau, bien que soumis au même poids, c'est parce que la résultante des forces de pression exercées
+	par l'air (peu dense) ou par l'eau (nettement plus dense) est toujours dirigée vers le haut, mais
+	surcompense le poids du plongeur dans un cas mais pas dans l'autre.
+
+
+	\subsubsection{Forces sur un élément de fluide}
+
+	
+		La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent par l'établissement du bilan
+		des forces exercées sur ce point matériel% \footnote{Il est parfois possible de mettre en avant
+		% des méthodes énergétiques, et ainsi de s'affranchir partiellement de ce bilan des forces.}
+              .
+		Dans ce chapitre, nous nous intéressons à un fluide, typiquement de l'air ou de l'eau, 
+		considéré à l'échelle macroscopique	comme un système \emph{continu}. Dans le référentiel considéré, ce
+		fluide est supposé statique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de mouvement 
+		d'ensemble% \footnote{\`{A} l'échelle moléculaire, cependant, il existe toujours des mouvements
+		% erratiques liés à l'agitation thermique, essentiels pour comprendre l'existence de la pression
+		% au niveau microscopique (voir chapitres de thermodynamique).}
+              . Le cours de deuxième 
+		année abordera la description de ces mouvements de convection dans un fluide.
+	
+
+	\begin{definition}[Titre optionnel]
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+          Environnement 1 (définitions)
+
+          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
+          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
+          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
+		\end{equation}
+	\end{definition}
+
+          La force volumique la plus usuelle est la force de
+          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
+          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
+          fluide considéré.
+
+	\begin{theoreme}[Rolle]
+          Environnement 2 (énoncés)
+
+          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
+          \begin{itemize}
+          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
+          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
+          \item $f(a)=f(b)$.
+          \end{itemize}
+          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
+        \end{theoreme}
+
+	\begin{proposition}
+          Environnement 2 (énoncés)
+
+          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
+          \begin{itemize}
+          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
+          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
+          \item $f(a)=f(b)$.
+          \end{itemize}
+          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
+        \end{proposition}
+
+        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
+        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
+        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
+
+	\begin{lemme}
+          Environnement 2 bis (énoncés secondaires)
+
+          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
+          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
+          ce point matériel
+        \end{lemme}
+
+        Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
+        réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
+        \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas
+        d'un fluide statique est par définition la force de pression.
+	
+        \begin{demonstration}
+          Environnement 3 (preuves)
+
+          Pour démontrer ce résultat, il suffit d'appliquer la
+          définition intrinsèque du gradient et de considérer une
+          surface isobare.  On considère un déplacement élémentaire
+          \(\vv{\dd \ell}\) sur une surface isobare.  On peut alors
+          écrire:
+          \begin{align*}
+            dp&=\grad p\cdot \vv{\dd \ell} \quad\text{(définition du gradient)}\\
+            \text{et} \quad dp&=0\quad \text{(surface isobare)}
+          \end{align*}
+          On conclut donc que \(\grad p \cdot \vv{\dd \ell}=0\), ce
+          qui prouve que les vecteurs \(\grad p\) et \(\dd \ell\) sont
+          orthogonaux.
+        \end{demonstration}
+
+	\begin{remarque}
+          Environnement 4 (illustrations)
+
+          Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
+          déterminer facilement la résultante des forces de
+          pression. En aucun cas cependant cette poussée ne correspond
+          à une nouvelle force.  Attention en particulier de ne pas
+          compter d'une part la poussée d'Archimède, et d'ajouter la
+          somme des forces de pression; cela n'aurait pas de sens.
+	\end{remarque}
+
+        En suivant la démarche vue en mécanique du point, isolons un
+        élément de fluide, dans le but d'établir un bilan des forces
+        exercées sur ce système.  Cet élément de fluide est
+        caractérisé par un volume \(V\), délimité par un surface
+        fermée \(\Sigma\) (figure \ref{figvolumeV}).
+
+                \begin{figure}
+                  \centering
+                  \includestandalone{test-standalone}
+                  \caption{Trois toutes petites figures avec la même
+                    légende. Le volume \(V\) délimité par la surface
+                    fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
+                    de forces.}
+                  \label{figvolumeV}
+                \end{figure}
+
+		On peut penser au plongeur pour fixer les idées.
+		
+		Nous sommes amenés à distinguer deux types de forces qui s'exercent sur ce système : 
+		\begin{pointsimportants}
+                \item des forces volumiques d'une part,
+                \item des forces surfaciques d'autre part.
+		\end{pointsimportants}	
+
+		\begin{itemize}
+                \item des forces volumiques d'une part,
+                \item des forces surfaciques d'autre part.
+		\end{itemize}	
+
+	
+
+		\begin{figure}
+		\centering
+		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+			\coordinate (A) at (0,0);
+			\coordinate (B) at (2,0);
+			\coordinate (C) at (2,1.75);
+			\coordinate (D) at (0,2);
+			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
+			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
+			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
+			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
+			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
+			
+			\coordinate (V) at (-1,1);
+			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
+			\coordinate (V2) at (1,.9);
+			\coordinate (S) at (2.5,1);	
+			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
+			
+			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
+				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
+				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
+				
+			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
+			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
+			\filldraw (V2) circle (.05cm);
+			
+			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
+			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
+		\end{tikzpicture}
+		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+			\coordinate (A) at (0,0);
+			\coordinate (B) at (2,0);
+			\coordinate (C) at (2,1.75);
+			\coordinate (D) at (0,2);
+			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
+			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
+			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
+			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
+			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
+			
+			\coordinate (V) at (-1,1);
+			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
+			\coordinate (V2) at (1,.9);
+			\coordinate (S) at (2.5,1);	
+			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
+			
+			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
+				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
+				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
+				
+			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
+			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
+			\filldraw (V2) circle (.05cm);
+			
+			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
+			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
+		\end{tikzpicture}
+		
+		\caption{Deux figures côtes-à-côtes, avec la même
+                  légende. Le volume \(V\) délimité par la surface
+                  fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan de
+                  forces.}
+		\label{figvolumeV}
+		\end{figure}
+
+		
+          La force volumique la plus usuelle est la force de
+          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
+          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
+          fluide considéré.
+		
+		Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces réparties sur les éléments de surface 
+		qui composent la surface \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas d'un fluide
+		 statique est par définition la force de pression.
+	
+
+\begin{figure}
+		\centering
+		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+			\coordinate (A) at (0,0);
+			\coordinate (B) at (2,0);
+			\coordinate (C) at (2,1.75);
+			\coordinate (D) at (0,2);
+			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
+			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
+			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
+			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
+			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
+			
+			\coordinate (V) at (-1,1);
+			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
+			\coordinate (V2) at (1,.9);
+			\coordinate (S) at (2.5,1);	
+			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
+			
+			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
+				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
+				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
+				
+			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
+			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
+			\filldraw (V2) circle (.05cm);
+			
+			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
+			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
+		\end{tikzpicture}
+				
+		\caption{Une figure seule et sa légende. Le volume
+                  \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\), sur
+                  lequel on établit un bilan de forces.}
+		\label{figvolumeV}
+		\end{figure}
+
+                \newenvironment{sidecapfig}[2]{%
+                  \begin{figure}
+                    \captionsetup{font={footnotesize,corpsdesnotes},labelfont={bleu,bf},
+                      labelsep=period,margin=0cm,justification=centerlast}
+                    \centering
+                    \fcapside[\FBwidth]{#1}{\caption{#2}}
+}{\end{figure}}
+
+\begin{sidecapfig}{\includegraphics[width=4cm]{tiger}} {Placement d'une légende sur le côté de sa
+                    figure. Le volume \(V\) délimité par la surface
+                    fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
+                    de forces.
+                  \label{figvolumeV}
+                  }
+                \end{sidecapfig}
+	
+	\subsection{Forces volumiques}	
+	
+	
+		Considérons d'abord la force de pesanteur. Pour un volume élémentaire noté \(\delta \tau\)
+		d'un fluide de masse volumique \(\mu\), soumis au champ de pesanteur \(\vv{g}\), 
+		la force de pesanteur (le poids) s'écrit :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\mu \vv{g} \delta \tau\label{test}
+		\end{equation}
+		
+                Renvoi vers l'équation \eqref{test}.
+
+		Cette force est donc proportionnelle au volume considéré. 
+		Il est donc pertinent d'introduire une force par unité de volume, 
+		ou densité volumique de force de pesanteur :
+		\begin{equation}
+			\frac{\vv{\delta f}}{\delta \tau}=\mu \vv{g}
+		\end{equation}
+	
+	
+		
+		Dans le système international, on exprime une force  en newtons (\si{N}). 
+		Cela vaut pour la force exercée sur un volume infinitésimal de même que pour 
+		celle exercée  sur un volume fini de dimensions macroscopiques.
+		Une densité volumique  de force s'exprimera, elle, en \si{N.m^{-3}}.
+	
+	
+	\begin{exemple}
+		Rappelons qu'une charge électrique \(q\) soumise à un champ électrique \(\E\) subit une force
+		électrique \(\vv{F}=q \E\).	
+		Considérons à présent un fluide qui est caractérisé par une densité volumique de 
+		charge électrique  notée \(\rho(\vv{r})\). 
+		En chaque point de l'espace repéré par le vecteur \(\vv{r}\),
+		le champ électrique vaut \(\E(\vv{r})\).
+		Le volume élémentaire de fluide \(\delta \tau\), de charge électrique \(\delta q=\rho \,\delta \tau\),
+		 est soumis à la force élémentaire :
+		\begin{equation}
+			\vv{\delta f}=\rho(\vv{r}) \,\delta \tau \E(\vv{r}) =\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \,\delta \tau
+		\end{equation}
+		 En plus de la force volumique de pesanteur, il faut alors prendre
+		 en compte une densité volumique de force électrostatique 
+		 que l'on peut noter \(\vv{f}_{V,\text{élec}}\), avec:
+		\begin{equation}
+			 \vv{f}_{V,\text{élec}}(\vv{r})=\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \quad%
+			 \text{ou plus simplement} \quad \vv{f}_{V,\text{élec}}=\rho \E
+		\end{equation}
+	\end{exemple}
+\end{cours}
+
+% \rappeltitre{Synthèse Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
+%   macrocovalents et moléculaires}
+\begin{synthese}
+ % \section{Forces volumiques et surfaciques}
+ % 	\subsection{Plongeon introductif}
+
+         La force volumique la plus usuelle est la force de
+          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
+          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
+          fluide considéré.
+
+	\begin{encadresynthese}[Titre d'un encadré dans la rubrique Synthèse]
+          Environnement « encadré synthèse »
+
+          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
+          \begin{itemize}
+          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
+          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
+          \item $f(a)=f(b)$.
+          \end{itemize}
+          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
+        \end{encadresynthese}
+
+        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
+        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
+        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
+
+	\begin{encadresynthese}[Attention]
+          Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière
+          obligatoire, sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
+
+          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
+          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
+          ce point matériel
+        \end{encadresynthese}
+
+        Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
+        réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
+        \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas
+        d'un fluide statique est par définition la force de pression.
+	
+
+       % \begin{exemple}
+        %   Environnement 4 (illustrations)
+
+        %   Pour l'eau, l'ordre de grandeur de la masse volumique dans les conditions usuelles est 
+        %   \(\SI{1,0e3}{kg.m^{-3}}\). Prenons \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\), on conclut que la pression
+        %   a doublé par rapport à la surface lorsqu'on est à \SI{10}{m} de profondeur,
+	% 		puis cette pression augmente d'un bar tous les \SI{10}{m}. 
+        %                 L'ordre de grandeur des pressions dans les zones
+	% 		abyssales, typiquement à \SI{5000}{m} de profondeur, vaut \SI{500}{bar}. 
+	% 		Cette donnée mécanique 	est cruciale pour préparer les engins qui vont étudier ces régions.		
+	% 	\end{exemple}
+
+		\begin{figure}[h]
+		\centering
+		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+			\coordinate (A) at (0,0);
+			\coordinate (B) at (2,0);
+			\coordinate (C) at (2,1.75);
+			\coordinate (D) at (0,2);
+			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
+			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
+			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
+			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
+			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
+			
+			\coordinate (V) at (-1,1);
+			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
+			\coordinate (V2) at (1,.9);
+			\coordinate (S) at (2.5,1);	
+			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
+			
+			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
+				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
+				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
+				
+			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
+			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
+			\filldraw (V2) circle (.05cm);
+			
+			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
+			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
+		\end{tikzpicture}
+		\caption{Le volume \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\),\\ sur lequel on établit
+		 un bilan de forces.}
+		\label{figvolumeV}
+		\end{figure}
+
+
+	Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes physiques
+        essentiels dans ce chapitre, considérons une personne qui
+        plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne reposent plus sur la
+        surface du plongeoir, la personne tombe sous l'effet de son
+        poids dans l'air, un premier fluide. Au fur et à mesure que
+        son corps pénètre dans l'eau, un autre fluide, il apparaît une
+        force qui fait finalement remonter le corps vers la surface.
+        Pendant la phase où le plongeur descend dans l'eau, il ressent
+        une douleur vive au niveau des oreilles s'il descend à
+        quelques mètres sous la surface sans décompresser.
+
+	\begin{filetsynthese}[Titre optionnel de l'environnement « filetsynthese »]
+          Environnement 4 (illustrations)
+
+          Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
+          déterminer facilement la résultante des forces de
+          pression. En aucun cas cependant cette poussée ne correspond
+          à une nouvelle force.  Attention en particulier de ne pas
+          compter d'une part la poussée d'Archimède, et d'ajouter la
+          somme des forces de pression; cela n'aurait pas de sens.
+	\end{filetsynthese}
+
+        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
+        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
+        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
+
+	\begin{encadresynthese}[Attention]
+          Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière
+          obligatoire, sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
+
+          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
+          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
+          ce point matériel
+        \end{encadresynthese}
+
+
+        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
+        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
+        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
+
+\end{synthese}
+
+% \titreduchapitreencours{Mon joli titre de substitution}
+
+\begin{exercices}
+
+\begin{exoVF}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont numérotés}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
+    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
+  \derniervraioufaux{Ils affichent tous un niveau 
+    de difficulté et un temps estimé pour leur réalisation}
+\end{exoVF}
+
+\begin{ExosGuides}
+\begin{exoGuide}[\calcul]{30}{3}
+          \textsc{Complément.}  On prolonge l'exercice de cours 
+	(voir \ref{exercice-etoile}).
+		
+			On peut chercher, avec ce modèle simple, à obtenir un critère pour initier une réaction de fusion 
+			entre noyaux d'atomes d'hydrogène dans une étoile.
+		      \begin{questions}
+		            \item
+					Le gaz d'hydrogène dans le c{\oe}ur d'une étoile est totalement ionisé. 
+					Rappeler l'expression des niveaux d'énergie de l'hydrogène, et en déduire
+					 un ordre de grandeur de la température minimale 
+					qui permet cette ionisation grâce à l'agitation thermique.
+		            \item
+					\textit{Culturel.} 
+					Quel(s) noyau(x) atomique(s) peut-on obtenir par fusion entre noyaux d'hydrogène
+					 (ou d'isotopes de l'hydrogène, que l'on nommera) ?
+					Quel type de force ou d'interaction peut entraîner ces réactions ? 
+					La force électrostatique entre protons favorise-t-elle ces réactions ?
+		            \item 
+					%\textit{Complément.} 
+						Afin d'initier la fusion, l'énergie d'agitation thermique doit permettre
+						 aux protons de s'approcher suffisamment pour vaincre la répulsion électrostatique. 
+						En introduisant comme intermédiaire de calcul une distance typique $d$ 
+						entre protons à atteindre, montrer que l'on atteint la température nécessaire 
+						si la masse 	de l'étoile dépasse une valeur minimale (on pourra introduire
+						la constante de Boltzmann $k_B$).
+		      \end{questions}
+		\end{exoGuide}
+
+	\begin{exoGuide}{15}{1}
+	On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$, largeur $\ell$, et de hauteur $H$,
+	que l'on remplit d'eau jusqu'à une hauteur $h$, pour une expérience typique de tipe.
+	On place un repère cartésien dont l'origine coïncide avec un coin du fond de la cuve, 
+	de sorte que l'eau remplisse le domaine 
+	(\(0\leq x\leq \ell,\, 0\leq y\leq L,\, 0\leq z\leq h \)).
+	On note \(p_0\) la pression atmosphérique.
+
+		\begin{questions} 
+			\item 
+				Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en fonction de $h$.
+			\item 
+				Déterminer la force exercée sur chacune des parois.
+			\item 
+				Applications numériques pour 
+				\(L=\SI{1,5}{m}, \ell=\SI{1,0}{m},h=\SI{0,50}{m}\).
+		\end{questions}
+				\begin{center}
+					\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+				% cube perpective de base 
+				\coordinate (A) at (0,0);
+				\coordinate (A1) at (-.25,0);
+				\coordinate (A3) at (-.25,-.25);
+				\coordinate (A2) at (-.5,-.5);
+				\coordinate (B) at (2,0);
+				\coordinate (B1) at (2.25,0);
+				\coordinate (B3) at (2,-.25);
+				\coordinate (C) at (2,1.5);
+				\coordinate (D) at (0,1.5);
+				\coordinate (D1) at (-.25,1.5);
+				\coordinate (E) at (0.75,0.75);
+				\coordinate (F) at (2.75,.75);
+				\coordinate (F1) at (3.,.75);
+				\coordinate (F2) at (3.5,.75);
+				\coordinate (G) at (2.75,2.25);
+				\coordinate (G1) at (3,2.25);
+				\coordinate (H) at (0.75,2.25);
+				\coordinate (H1) at (0.75,2.25);
+				\coordinate (H2) at (.75,2.75);
+				
+				\coordinate (Ae) at (0,1);
+				\coordinate (Be) at (2,1);
+				\coordinate (Fe) at (2.75,1.75);
+				\coordinate (Ee) at (0.75,1.75);
+			
+				\coordinate (Fe1) at (3.,1.75);
+				\draw [<->] (F1) -- (Fe1);	
+				\path (Fe1) ++(0.25,-.25) node {\(h\)};
+				
+				% eau
+				\draw (Ae) -- (Be) -- (Fe) -- (Ee) -- cycle;	
+				
+			
+				\draw (A) rectangle (C);
+				\draw [dashed] (H) -- (E) -- (F);
+				\draw (F) -- (G) -- (H);
+				\draw [dashed] (A) -- (E);
+				
+				\draw (B) -- (F);
+				\draw (C) -- (G);
+				\draw (D) -- (H);
+				
+				%dimensions
+				
+				\draw [<->] (A3) -- (B3);	
+				\path (A3) ++(1,-.25) node {\(L\)};
+				\draw [<->] (B1) -- (F1);	
+				\path (A1) ++(-.25,1) node {\(H\)};
+				\draw [<->] (A1) -- (D1);	
+				\path (B1) ++(.8,.25) node {\(\ell\)};
+				%axes
+				
+				\draw [->] (E) -- (A2) node [anchor=east] {\(x\)};
+				\draw [->] (E) -- (F2) node [anchor=south] {\(y\)};
+				\draw [->] (E) -- (H2) node [anchor=south] {\(z\)};
+				
+			\end{tikzpicture}
+		\end{center}
+	\end{exoGuide}
+
+        \begin{analysedoc}
+          Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques,
+          définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la
+          linéarité du problème (on reste en petites déformations), on
+          peut considérer indépendamment chaque composante,
+          c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque
+          fois qu'à une seule sollicitation simple.
+
+          Le principe d'équivalence établit une relation entre chaque
+          effort de cohésion et les contraintes générées localement en
+          chaque point de la section. Pour les sollicitations
+          complexes, on somme les contraintes de toutes les
+          sollicitations simples (principe de superposition).
+
+          Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont
+          correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point
+          d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne
+          donne pas de bon résultats, on peut les considérer comme
+          presque corrects dès que la distance au point d'application
+          dépasse plusieurs fois le diamètre de la section. Ce
+          principe n'est valable que pour des poutres massives, pour
+          la plupart des autres cas il est faux. Il faut en ce sens
+          entendre « poutre massive » lorsqu'ici est évoqué la notion
+          de poutre.
+
+          Par la suite, la grandeur $S$ désigne l'aire de la section
+          droite.
+        \end{analysedoc}
+
+		\begin{exoGuide}[\calcul]{15}{0}
+		
+			\textsc{Poussée sur une voile Flettner}
+			
+			On s'intéresse à la force exercée par un écoulement de vent laminaire autour d'un cylindre
+			(rayon \(R\), hauteur \(h\)). On considère que le problème
+			est invariant par translation selon \(z\) (axe du cylindre) et on
+			utilise des coordonnées polaires dans le plan \(O,x,y\),
+			l'origine étant sur l'axe du cylindre. 
+			Loin du cylindre la pression est uniforme, égale à \(p_{\infty}\), la vitesse du vent 
+			est elle aussi uniforme et vaut \(v_{\infty}\vv{e}_x\).
+			L'air est considéré comme incompressible, de masse volumique \(\mu\).
+						
+			\begin{questions}
+				\item Faire un schéma dans un plan \(z=Cte\).
+				 Représenter les vecteurs de la base polaire.
+				
+				\item 
+			      	On suppose d'abord le cylindre fixe dans le référentiel d'étude.
+			      	Le champ de pression à la surface du cylindre admet l'expression suivante:
+			      	\[p(R,\theta)=p_{\infty}+\frac{1}{2}\mu v_{\infty}^2-%
+			      	\frac{1}{2}\mu(2v_{\infty}\sin\theta)^2
+			      	\]
+			      	On cherche à déterminer la résultante des forces de
+			      	 pression exercées par l'air sur le cylindre.
+			      	\begin{enumerate}
+			      		\item 
+						En considérant des éléments de surface symétriques dans une relation 
+						géométrique simple,
+						montrer que les contributions des forces selon \(\vv{e}_x\) s'annulent.
+						\item 
+						\'{E}crire la force élémentaire correspondant à un élément de surface du cylindre, 
+						en projection selon \(\vv{e}_y\), puis l'intégrale qui donne la force totale 
+						selon cet axe.
+						Déterminer sa valeur, soit explicitement, soit en utilisant des considérations
+						de symétrie.
+			      	\end{enumerate}
+			      \item	
+			      	On suppose désormais que le cylindre est entraîné en rotation autour de son axe.
+			      	Nous admettrons que la perturbation du champ des vitesses due à cette rotation
+			      	ajoute un terme au champ de pression à la surface du cylindre, qui devient:
+			      	\[p(R,\theta)=p_{\infty}+\frac{1}{2}\mu v_{\infty}^2-%
+			      	\frac{1}{2}\mu \left[-2v_{\infty}\sin\theta+\frac{\Gamma}{2\pi R}\right]^2
+			      	\]
+			      	(où \(\Gamma\) est fonction du rayon du cylindre et de sa vitesse angulaire 
+			      	de rotation \(\Gamma=2\pi \Omega R^2\)).
+			      	
+			      	Reprendre la détermination de la force exercée par l'air sur ce cylindre.
+			\end{questions}
+						
+
+	\end{exoGuide}
+      \end{ExosGuides}
+      
+\begin{ExosApp}
+	\begin{exo}[\calcul]{25}{3}	
+	Retenir l'eau dans un verre retourné avec une feuille d'eau.
+	
+	Expliquer comment un simple morceau de papier posé sur un verre rempli d'eau peut permettre de retenir l'eau lorsque l'on retourne l'ensemble, comme dans la figure \ref{figVerreEauRetourne}.
+
+        \begin{compl}
+          Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques,
+          définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la
+          linéarité du problème (on reste en petites déformations), on
+          peut considérer indépendamment chaque composante,
+          c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque
+          fois qu'à une seule sollicitation simple.
+
+          Le principe d'équivalence établit une relation entre chaque
+          effort de cohésion et les contraintes générées localement en
+          chaque point de la section. Pour les sollicitations
+          complexes, on somme les contraintes de toutes les
+          sollicitations simples (principe de superposition).
+
+          Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont
+          correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point
+          d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne
+          donne pas de bon résultats, on peut les considérer comme
+          presque corrects dès que la distance au point d'application
+          dépasse plusieurs fois le diamètre de la section. Ce
+          principe n'est valable que pour des poutres massives, pour
+          la plupart des autres cas il est faux. Il faut en ce sens
+          entendre « poutre massive » lorsqu'ici est évoqué la notion
+          de poutre.
+
+          Par la suite, la grandeur $S$ désigne l'aire de la section
+          droite.
+        \end{compl}
+
+	\begin{figure}[h]
+	\begin{center}
+	\includegraphics[width=5cm, keepaspectratio=true]{tiger} 
+	\end{center}
+	\label{figVerreEauRetourne}
+	\caption{Une feuille de papier retient l'eau dans le verre retourné !}
+	\end{figure}
+	\end{exo}
+
+
+
+
+
+		\begin{exo}{30}{3}			
+			On considère une bille sphérique de rayon \(a\), maintenue immobile
+			dans le référentiel d'étude.
+			Un fluide incompressible de masse volumique \(\rho\) s'écoule en			
+			régime stationnaire autour de la bille. Loin de la bille le
+			 mouvement du fluide est rectiligne uniforme, de vitesse 
+			 \(U\vv{e}_z\), et la pression vaut \(p_0\). La pesanteur est négligée.
+			 On note \(\eta\) la viscosité du fluide.
+			 \begin{enumerate}
+				 \item 
+					 On admet que dans la limite des faibles vitesses %nombres de Reynolds,
+					 on puisse écrire, en coordonnées sphériques au point \(M(r,\,\theta,\,\phi)\) :
+					\begin{align*}
+						p&=p_0-\frac{3}{2}\frac{\eta U a}{r^2}\cos\theta
+					\end{align*}
+					 Discuter la compatibilité de ce champ avec le problème posé.
+				 \item 
+				 	Déterminer la résultante des forces de pression.
+				 \item 
+				 	On admet que les forces de viscosité produisent une contribution similaire,
+				 	deux fois plus importante. Exprimer la force de frottement à laquelle la bille est soumise
+				 	à petite vitesse (formule de Stokes).			 
+			\end{enumerate}	
+			
+		\end{exo}
+
+	\begin{exo}[\calcul]{5}{0}
+		La différence entre eau douce et eau salée est-elle significative pour un nageur ?
+	\end{exo}
+
+		\begin{exo}{10}{1}
+		Dans un thermomètre de Galilée, on dispose dans une colonne de liquide
+		un ensemble d'ampoules de verre scellées, partiellement remplies
+		de liquide coloré, et dont la masse est précisément ajustée grâce à de petits poids solides
+		suspendus, sur lesquels on lit une température.
+		
+		
+		%Chercher à expliquer le principe du thermomètre de Galilée.
+		\end{exo}
+
+		\begin{exo}{20}{2}
+		\begin{enumerate}
+		 \item
+			On considère une boule de fluide dans le vide, en équilibre gravitationnel, 
+			de rayon \(R_0\),  de masse volumique supposée uniforme \(\rho\).
+			On admet ici que le champ de pesanteur  à l'intérieur de la boule de fluide peut s'écrire
+			en coordonnées sphérique sous la forme:
+			\[\vv{g}(r\leq R_0)=-\frac{4\pi}{3} \mathcal{G} \rho \,r \,\vv{e}_r\]
+			Déterminer le champ de pression \(p(r)\) en fonction de la constante gravitationnelle 
+			\(\mathcal{G}\), de la masse totale \(M\) de l'étoile, de \(r\) et \(R_0\).
+			 Tracer le graphe de \(r\mapsto p(r)\).
+		 \item 
+			En considérant que le fluide peut être modélisé par un gaz parfait d'hydrogène 
+			(masse molaire \(M_H\)),
+			en déduire la température maximale \(T_\text{max}\) en fonction de 
+			\(M_H\), \(\mathcal{G}\),  \(R_0\), \(\mathcal{N}_A\) et \(k_B\).
+		\end{enumerate}
+		\end{exo}
+
+
+		\begin{exo}{20}{2}
+			La compressibilité isotherme de l'eau, définie par 
+			\(\chi_T=\dfrac{1}{V}\left(\diffp{V}{p}\right)_T\) est de l'ordre 
+			\(\chi_\text{eau}=\SI{5e-10}{Pa^{-1}}\).
+			Quelle pression faut-il exercer pour diminuer d'un centième la masse volumique ?
+			Quel est l'ordre de grandeur de la profondeur correspondante ?
+
+                        \begin{methode}
+                          Cette donnée mécanique est cruciale pour
+                          préparer les engins qui vont étudier ces
+                          régions.
+                        \end{methode}
+		\end{exo}
+		
+		\begin{exo}{10}{1}
+		Déterminer l'ordre de grandeur de la force exercée sur chaque centimètre carré de notre peau, 
+		puis sur l'ensemble du dos par la la pression atmosphérique.
+		\end{exo}
+
+                \begin{TP}
+                  \begin{exoTP}{20}{1}
+                    Énoncé d'un exercice de TP.
+                  \end{exoTP}
+                \end{TP}
+
+\end{ExosApp}
+
+\end{exercices}
+
+\begin{corriges}
+  		\begin{CorrVF}
+                  \begin{enumerate}
+                  \item première réponse
+                  \item deuxième réponse
+                  \item troisième réponse
+                  \end{enumerate}
+		L'augmentation de pression doit valoir 
+		\(\Delta p=\dfrac{\frac{\Delta V}{V}}{\chi_T}=\SI{2e6}{Pa}\),
+		ce qui correspond à environ \SI{20}{m}.
+		\end{CorrVF}
+
+		\begin{CorrQCM}
+		Sur \SI{1}{cm^2}, on a:
+		\[F=pS=10^5\times 10^{-4}=\SI{10}{N}\]
+		Cette force correspond au poids d'une masse de  \SI{1}{kg}.
+		Sur le dos, d'aire environ \SI{0,5}{m^2}=\SI{500}{cm^2}, on a l'équivalent du poids
+		 d'une masse de \SI{500}{kg} !
+		\end{CorrQCM}
+
+  \begin{exemple}
+    Test d'un exemple (environnement de catégorie 4) dans un corrigé.
+  \end{exemple}
+
+
+\begin{CorrExosGuides}
+
+	\begin{corrige}
+		\begin{enumerate}
+			\item 
+				On obtient directement le champ de pression à partir de la relation d'hydrostatique
+				 \(\Delta p=\mu g h\) entre la surface du liquide et le point de cote \(z\):
+				 \begin{align*}
+				 	p(z)-p(h)&=\mu g (h-z)\\
+				 	p(z)&=p_0+\mu g (h-z)
+				 \end{align*}
+			\item 
+				\begin{itemize}
+					\item
+						Pour chaque paroi, il faut compter les forces associées à la pression de l'air et
+						celles associées à la pression de l'eau pour les parties recouvertes d'eau.
+						Pour les parties correspondant à \(z>h\), la pression est supposée uniforme et
+						égale à \(p_0\),
+						donc la résultante des forces qui s'exercent de part et d'autre de chaque plaque est
+						nulle.
+					\item 
+						Considérons la surface correspondant à (\(0\leq x\leq \ell,\, y=0	,\,0\leq z \leq h)\).
+						La contribution de l'élément de surface \(\dd x\dd z\) donne:
+						\begin{align*}
+							\vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd x\dd z \vv{e}_x -p_\text{eau} \dd x\dd z \vv{e}_y\\
+							\vv{\delta F}&=\big(p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big) \dd x\dd z \vv{e}_y\\
+							\vv{\delta F}&=\big(-\mu g (h-z)\big) \dd x\dd z\vv{e}_y
+						\end{align*}
+						On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette plaque:
+						\begin{align*}
+							\vv{F}&=\int_{x=0}^{x=\ell}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd x\dd z\vv{e}_y \\
+							\vv{F}&=\mu g \ell \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_y \\
+							\vv{F}&=\mu g \ell \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_y \\
+							\vv{F}&=-\mu g \ell \frac{h^2}{2} \vv{e}_y \\
+						\end{align*}
+						Sur la plaque opposée, il s'exerce une force opposé, par symétrie.
+					\item 
+						On conduit un calcul similaire pour la surface correspondant à:%
+						\[x=0,\,0\leq y\leq L,\,0\leq z \leq h\]
+						La contribution de l'élément de surface \(\dd y\dd z\) donne:
+						\begin{align*}
+							\vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd y\dd z \vv{e}_ -p_\text{eau} \dd y\dd z \vv{e}_x\\
+							\vv{\delta F}&=\big[p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big] \dd y\dd z \vv{e}_x\\
+							\vv{\delta F}&=-\mu g (h-z) \dd y\dd z\vv{e}_x
+						\end{align*}
+						On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette plaque:
+						\begin{align*}
+							\vv{F}&=\int_{y=0}^{y=L}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd y\dd z\vv{e}_x \\
+							\vv{F}&=\mu g L \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_x \\
+							\vv{F}&=\mu g L \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_x \\
+							\vv{F}&=-\mu g L \frac{h^2}{2} \vv{e}_x \\
+						\end{align*}
+						Sur la plaque opposée, on a la force opposée.
+					\item	
+						On obtient respectivement \SI{2,5}{kN} et \SI{3,7}{kN} en prenant
+						 \(\mu=\SI{1,0}{kg.m^{-3}}\) et \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\),%
+						  forces qui correspondent aux poids
+						 de masses de \SI{0,25}{tonnes} et \SI{0,37}{tonnes} respectivement.
+						La résultante des forces est nulle, donc le centre d'inertie est en équilibre, 
+						mais le calcul montre que des contraintes fortes tendent à séparer les quatre
+						plaques les unes 	des autres. En pratique, des solutions reposant seulement sur de la
+						colle conduisent souvent à des problèmes d'étanchéité, voire de rupture. 
+						Il est préférable d'avoir recours à des vis.					
+				\end{itemize}
+				
+		\end{enumerate}
+	\end{corrige}
+
+	\begin{corrige}
+	
+	\textsc{début de rédaction à compléter}
+	
+	\begin{center}
+			\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
+				\coordinate (O) at (0,0);
+				\coordinate (A1) at (-2,0);
+				\coordinate (A2) at (2,0);
+				\coordinate (B1) at (0,-1.5);
+				\coordinate (B2) at (0,1.5);
+				
+				\draw [->] (A1) -- (A2) node [anchor=south west] {\(x\)};
+				\draw [->] (B1) -- (B2) node [anchor=south west] {\(y\)};
+				
+				\draw (O) circle (1cm);
+				
+				\draw (O) --++(30:2) node {\tiny \(\bullet\)};
+				\draw [->] (O) ++(30:2) -- +(30:.75) node [anchor=south] {\(\vv{e}_{r}\)} ;
+				\draw [->] (O) ++(30:2) -- +(120:.75) node [anchor=south] {\(\vv{e}_{\theta}\)} ;
+				
+				\draw [->] (1.5,0) arc (0:30:1.5);;
+				\path (1.75,.45)  node {\(\theta\)};
+				
+				\draw[->] (-3,1.85) -- ++(1,0) node [anchor=south west] {\(\vv{v}_{\infty}\)};
+	\end{tikzpicture}
+	\end{center}
+          
+%           On a utilisé la valeur du dipôle obtenue précédemment : $D=-2\pi R^2 v_{\infty}$.
+
+		\begin{enumerate}
+			\item
+           On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
+           forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
+           projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires. Il vient :
+           \begin{align*}
+                 \vv{dF}&=-p(R,\theta) \,\vv{\delta S}\\
+                 dF_y&=-p\vv{e}_r\cdot\vv{e}_y \delta S\\
+                 \frac{F_y}{L}&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}-p(R,\,\theta)R\dd\theta
+                 \sin\theta
+           \end{align*}
+           Examinons les différents termes qui vont
+           intervenir dans la pression, lorsqu'on multiplie par \(\sin\theta\) et
+           que l'on intègre de 0 à \(2\pi\).
+           \begin{itemize}
+                 \item 
+                       Le terme constant \(p_{\infty}+\dfrac{1}{2}\mu v_{\infty}^2-%
+                       \dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{\Gamma}{2\pi R}\right)^2\)
+                       donne une contribution nulle puisque \(\dint_{0}^{2\pi}\sin\theta
+                       \dd\theta=0\) 
+                 \item 
+                       Le terme en \(\sin^2\theta\) dans la pression
+                       donne aussi une contribution nulle parce que
+                       \(\dint_{0}^{2\pi}\sin^3\theta \dd\theta=0\) 
+                 \item 
+                       Le seul terme non
+                       nul vient du double produit
+                       \(\dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{4v_{\infty}\sin\theta \Gamma}{2\pi R}\right)\)
+           \end{itemize}
+
+           On a donc :
+           \begin{align*}
+                 \frac{F_y}{L}&=\int_{0}^{2\pi}-\left(\frac{1}{2}\mu%
+                 \left(4\frac{v_{\infty}\Gamma}{2\pi R}\right)\right)Rd\theta \sin^2\theta\\
+                 \frac{F_y}{L}&=-\mu v_{\infty} \Gamma
+                 \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta
+           \end{align*}
+           \begin{equation}
+           \boxed{\frac{F_y}{L}=-\mu v_{\infty}\Gamma}
+           \end{equation}
+         \end{enumerate}
+		\end{corrige}
+              \end{CorrExosGuides}
+
+              \begin{CorrExos}
+
+		\begin{corrige}
+		\textsc{Détailler encore la correction}
+						
+			\begin{enumerate}
+			      \item On vérifie que la pression est uniforme et égale à \(p_0\) loin de la sphère.
+			      Ces trois conditions sont vérifiées avec le champ des vitesses et
+			      le champ de pression proposés. 
+			      \item \textbf{Résultante des forces de pression}
+			      L'axe \(Oz\) porte nécessairement la résultante des forces, vu la symétrie de
+			      révolution du problème. 
+			      
+			       On conduit le calcul en intégrant les contributions élémentaires, par
+			      couronnes comprises entre \(\theta\) et \(\theta+d\theta\) et  en
+			      projetant systématiquement chaque contribution selon \(\vv{e}_z\).
+			      On a alors:
+			      \begin{align*}
+			            \delta F_z&=-p(\theta)\,\delta S\,\cos\theta\\
+			            \delta F_z&=-\left(p_0-\frac{3}{2}\eta
+			            \frac{Ua}{a^2}\cos\theta\right)2\pi a\sin\theta
+			            a\,\dd\theta\,\cos\theta\\
+			            F_z&=(2\pi a)\left[\int_0^{\pi}-p_0\sin\theta\cos\theta \dd\theta+%
+			            \int_0^{\pi}\frac{3}{2}\frac{\eta U}{a}\cos^2\theta \sin\theta \dd\theta\right]\\
+			            F_z&=2\pi a^2p_0\left[\frac{\cos^2\theta}{2}\right]^{\pi}_0-(2\pi a^2)
+			            \left(\frac{3}{2}\eta \frac{U}{a}\right)\left[\frac{\cos^3\theta}{3}\right]^{\pi}_0\\
+			            F_z&=0+2\pi \eta U a
+			      \end{align*}
+			      \begin{equation}
+			            \boxed{\vv{ F}_p=2\pi \eta U a\vv{e}_z}
+			      \end{equation}
+			\end{enumerate}
+			
+		\end{corrige}
+
+		\begin{corrige}
+		\begin{enumerate}
+			\item L'idée est d'intégrer la relation fondamentale de statique des fluides.
+			La boule de fluide qui modélise une étoile est placée dans le vide, 
+			la pression va donc s'annuler sur la surface extérieure de la boule,
+			en \(r=R_0\), ce qui fournit une condition limite pour le champ de pression.
+			Il vient donc, avec le champ de pesanteur fourni:
+			\begin{align*}
+				\grad p&=\mu \vv{g}\\
+				\diffp{p}{r}\vv{e}_r+\frac{1}{r}\diffp{p}{{\theta}}\vv{e}_{\theta}+%
+				\frac{1}{r\sin\theta}\diffp{p}{{\varphi}}\vv{e}_{\varphi}%
+				&=-\mu \times \frac{4\pi}{3} \mathcal{G} \rho \,r \,\vv{e}_r
+			\end{align*}
+			En projetant selon \(\vv{e}_{\theta}\) et \(\vv{e}_{\varphi}\), 
+			on montre que la pression ne dépend ni de \(\theta\) ni de \(\varphi\).
+			La projection selon \(\vv{e}_r\) donne alors:
+			\begin{align*}
+				\diff{p}{r}&=-\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\\
+				\int_{p(R)}^{p(r)} \dd p&=\int_R^r -\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\,\dd r\\
+				p(r)-\cancel{p(R)}&=-%
+				\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}\left(\frac{r^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)
+			\end{align*}
+			On peut exprimer la masse volumique:
+			\[\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\]
+			D'où l'expression de la pression en fonction des paramètres demandés:
+			\begin{align*}
+			p(r)&=\frac{4\pi\mathcal{G} }{3}\times%
+			\frac{M}{{\frac{4}{3}\pi R_0^3}}\left(\frac{R^2}{2}-\frac{r^2}{2}\right)\\
+			p(r)&=\frac{\mathcal{G}M}{2R_0^3}(R^2-r^2)
+			\end{align*}
+			
+			La pression présente un profil parabolique, avec un maximum bien sûr obtenu
+			 au centre de l'étoile et donné par:
+			\[p_\text{max}=\frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\]
+			
+			\begin{center}
+				\begin{tikzpicture}[thick, >=latex, scale=4]
+					\draw [->] (0,0) -- (1.25,0) node [anchor=south west] {\(r/R_{0}\)};
+					\draw [->] (0,0) -- (0,1.25) node [anchor=south west] {\(p/p_\text{max}\)} ;
+					\draw plot [domain=0:1] (\x,{-\x^2+1});
+				\end{tikzpicture}
+			\end{center}
+			\item On obtient la température avec la loi des gaz parfaits.
+			Il faut se ramener aux grandeurs demandées:
+			\begin{align*}
+				pV&=nRT\\
+				pV&=\frac{m}{M_H}RT\\
+				p&=\frac{\rho RT}{M_H}
+			\end{align*}
+			On a donc:
+			\begin{align*}
+				T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\,p_\text{max}\\
+				T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\times \frac{\mathcal{G} M}{2R_0}
+			\end{align*}
+			On utilise \(\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\) et \(R=\mathcal{N}_Ak_B\)
+			 pour finir.
+			 \begin{align*}
+				 T_\text{max}&=\frac{M_H}{\dfrac{M}{4\pi R_0^3/3}\mathcal{N}_A\, k_B}\times %
+				 \frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\\
+				 T_\text{max}&=\frac{2\pi}{3}\times \frac{M_H \mathcal{G}}{\mathcal{N}_A\, k_B}\times R_0^2
+			 \end{align*}			
+		\end{enumerate}
+		\end{corrige}
+
+                \begin{culturel}
+                  Test d'un environnement de catégorie 4 bis dans la partie Corrigés.
+                \end{culturel}
+
+              \end{CorrExos}
+            
+
+\end{corriges}
+              
+
+\chapter{Un autre chapitre}
+
+La numérotation des titres de sections, exercices, etc. est remise à
+zéro à chaque chapitre.
+
+\begin{exoTP}{20}{1}
+  Énoncé d'un exercice de TP.
+\end{exoTP}
+
+\lipsum
+
+
+\printindex[comp]
+\printindex
+\end{document}

tests-classes-prepas.tex

-\pdfminorversion=3
-\documentclass{vuiprep}
-\input{commandes-auteur}
-\usepackage{lipsum,subfigure}
-% \endofdump
-\begin{document}
-
-\tableofcontents{}
-
-\part{Thermodynamique et Mécanique}
-
-\setcounter{chapter}{25}
-\chapter[Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
-macrocovalents et moléculaires]
-  {Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
-  macrocovalents\\ et moléculaires}
-
-\begin{cours}
-\index[comp]{savoir lire}
-
-\index{forces}
-
-\section{Forces volumiques et surfaciques}
-	\subsection{Plongeon introductif}
-	
-        \begin{paragraphe}
-          Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes
-          physiques essentiels dans ce chapitre, considérons une
-          personne qui plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne
-          reposent plus sur la surface du plongeoir, la personne tombe
-          sous l'effet de son poids dans l'air, un premier fluide. Au
-          fur et à mesure que son corps pénètre dans l'eau, un autre
-          fluide, il apparaît une force qui fait finalement remonter
-          le corps vers la surface.  Pendant la phase où le plongeur
-          descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
-          des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface
-          sans décompresser.
-
-          Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes
-          physiques essentiels dans ce chapitre, considérons une
-          personne qui plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne
-          reposent plus sur la surface du plongeoir, la personne tombe
-          sous l'effet de son poids dans l'air, un premier fluide. Au
-          fur et à mesure que son corps pénètre dans l'eau, un autre
-          fluide, il apparaît une force qui fait finalement remonter
-          le corps vers la surface.  Pendant la phase où le plongeur
-          descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
-          des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface
-          sans décompresser.
-        \end{paragraphe}
-
-
-        \begin{resultat}
-          test
-        \end{resultat}
-
-        \begin{figure}
-          \centering
-          \subfigure[première sous figure]{\includegraphics[width=2cm]{tiger}}
-          \subfigure[deuxième sous figure]{\includegraphics[width=1cm]{tiger}}
-          \caption{test de subfigure}
-        \end{figure}
-
-
-% \begin{lstlisting}[language=bash]
-%   for i in /Téléchargement/*.jpg ;
-%     do convert $i $i.pdf ;
-%   done
-%   # C'est l'été à Oster. Ça va.
-% \end{lstlisting}
-
-        \begin{application}[Exemple de titre optionnel]
-          On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$,
-          largeur $\ell$, et de hauteur $H$, que l'on remplit d'eau
-          jusqu'à une hauteur $h$, pour une expérience typique de
-          tipe.  On place un repère cartésien dont l'origine coïncide
-          avec un coin du fond de la cuve, de sorte que l'eau
-          remplisse le domaine (\(0\leq x\leq \ell,\, 0\leq y\leq L,\,
-          0\leq z\leq h \)).  On note \(p_0\) la pression
-          atmosphérique.
-
-		\begin{questions} 
-			\item 
-				Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en fonction de $h$.
-			\item 
-				Déterminer la force exercée sur chacune des parois.
-			\item 
-				Applications numériques pour 
-				\(L=\SI{1,5}{m}, \ell=\SI{1,0}{m},h=\SI{0,50}{m}\).
-		\end{questions}
-        \end{application}
-
-	Analysons qualitativement cette expérience, afin de  dégager les notions que nous devrons préciser
-	dans la suite. La force de pesanteur qui fait tomber le plongeur s'exerce aussi bien dans l'air 
-	que dans l'eau. C'est le cas usuel de force dite \emph{volumique}, qui ne dépend donc pas du fluide 
-	environnant. 
-	La douleur ressentie au niveau des tympans met très clairement en évidence le fait que l'eau pousse 
-	sur la surface extérieure du plongeur. Cette force \emph{surfacique} correspond aux forces de pression.
-	Enfin, si le corps tombe lorsqu'il est dans l'air, alors qu'il remonte spontanément lorsqu'il est dans 
-	l'eau, bien que soumis au même poids, c'est parce que la résultante des forces de pression exercées
-	par l'air (peu dense) ou par l'eau (nettement plus dense) est toujours dirigée vers le haut, mais
-	surcompense le poids du plongeur dans un cas mais pas dans l'autre.
-
-
-	\subsubsection{Forces sur un élément de fluide}
-
-	
-		La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent par l'établissement du bilan
-		des forces exercées sur ce point matériel% \footnote{Il est parfois possible de mettre en avant
-		% des méthodes énergétiques, et ainsi de s'affranchir partiellement de ce bilan des forces.}
-              .
-		Dans ce chapitre, nous nous intéressons à un fluide, typiquement de l'air ou de l'eau, 
-		considéré à l'échelle macroscopique	comme un système \emph{continu}. Dans le référentiel considéré, ce
-		fluide est supposé statique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de mouvement 
-		d'ensemble% \footnote{\`{A} l'échelle moléculaire, cependant, il existe toujours des mouvements
-		% erratiques liés à l'agitation thermique, essentiels pour comprendre l'existence de la pression
-		% au niveau microscopique (voir chapitres de thermodynamique).}
-              . Le cours de deuxième 
-		année abordera la description de ces mouvements de convection dans un fluide.
-	
-
-	\begin{definition}[Titre optionnel]
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-	\end{definition}
-
-	\begin{definition}
-          Environnement 1 (définitions)
-
-          On peut généraliser cette écriture, en introduisant une
-          densité volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la
-          force correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-		\end{equation}
-	\end{definition}
-
-          La force volumique la plus usuelle est la force de
-          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
-          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
-          fluide considéré.
-
-	\begin{theoreme}[Rolle]
-          Environnement 2 (énoncés)
-
-          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-          \begin{itemize}
-          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-          \item $f(a)=f(b)$.
-          \end{itemize}
-          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-        \end{theoreme}
-
-	\begin{proposition}
-          Environnement 2 (énoncés)
-
-          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-          \begin{itemize}
-          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-          \item $f(a)=f(b)$.
-          \end{itemize}
-          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-        \end{proposition}
-
-        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
-        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
-        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-	\begin{lemme}
-          Environnement 2 bis (énoncés secondaires)
-
-          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
-          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
-          ce point matériel
-        \end{lemme}
-
-        Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
-        réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
-        \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas
-        d'un fluide statique est par définition la force de pression.
-	
-        \begin{demonstration}
-          Environnement 3 (preuves)
-
-          Pour démontrer ce résultat, il suffit d'appliquer la
-          définition intrinsèque du gradient et de considérer une
-          surface isobare.  On considère un déplacement élémentaire
-          \(\vv{\dd \ell}\) sur une surface isobare.  On peut alors
-          écrire:
-          \begin{align*}
-            dp&=\grad p\cdot \vv{\dd \ell} \quad\text{(définition du gradient)}\\
-            \text{et} \quad dp&=0\quad \text{(surface isobare)}
-          \end{align*}
-          On conclut donc que \(\grad p \cdot \vv{\dd \ell}=0\), ce
-          qui prouve que les vecteurs \(\grad p\) et \(\dd \ell\) sont
-          orthogonaux.
-        \end{demonstration}
-
-	\begin{remarque}
-          Environnement 4 (illustrations)
-
-          Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
-          déterminer facilement la résultante des forces de
-          pression. En aucun cas cependant cette poussée ne correspond
-          à une nouvelle force.  Attention en particulier de ne pas
-          compter d'une part la poussée d'Archimède, et d'ajouter la
-          somme des forces de pression; cela n'aurait pas de sens.
-	\end{remarque}
-
-        En suivant la démarche vue en mécanique du point, isolons un
-        élément de fluide, dans le but d'établir un bilan des forces
-        exercées sur ce système.  Cet élément de fluide est
-        caractérisé par un volume \(V\), délimité par un surface
-        fermée \(\Sigma\) (figure \ref{figvolumeV}).
-
-                \begin{figure}
-                  \centering
-                  \includestandalone{test-standalone}
-                  \caption{Trois toutes petites figures avec la même
-                    légende. Le volume \(V\) délimité par la surface
-                    fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
-                    de forces.}
-                  \label{figvolumeV}
-                \end{figure}
-
-		On peut penser au plongeur pour fixer les idées.
-		
-		Nous sommes amenés à distinguer deux types de forces qui s'exercent sur ce système : 
-		\begin{pointsimportants}
-                \item des forces volumiques d'une part,
-                \item des forces surfaciques d'autre part.
-		\end{pointsimportants}	
-
-		\begin{itemize}
-                \item des forces volumiques d'une part,
-                \item des forces surfaciques d'autre part.
-		\end{itemize}	
-
-	
-
-		\begin{figure}
-		\centering
-		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-			\coordinate (A) at (0,0);
-			\coordinate (B) at (2,0);
-			\coordinate (C) at (2,1.75);
-			\coordinate (D) at (0,2);
-			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
-			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
-			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
-			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
-			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
-			
-			\coordinate (V) at (-1,1);
-			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
-			\coordinate (V2) at (1,.9);
-			\coordinate (S) at (2.5,1);	
-			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
-			
-			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
-				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
-				
-			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
-			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
-			\filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
-			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
-		\end{tikzpicture}
-		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-			\coordinate (A) at (0,0);
-			\coordinate (B) at (2,0);
-			\coordinate (C) at (2,1.75);
-			\coordinate (D) at (0,2);
-			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
-			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
-			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
-			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
-			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
-			
-			\coordinate (V) at (-1,1);
-			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
-			\coordinate (V2) at (1,.9);
-			\coordinate (S) at (2.5,1);	
-			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
-			
-			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
-				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
-				
-			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
-			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
-			\filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
-			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
-		\end{tikzpicture}
-		
-		\caption{Deux figures côtes-à-côtes, avec la même
-                  légende. Le volume \(V\) délimité par la surface
-                  fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan de
-                  forces.}
-		\label{figvolumeV}
-		\end{figure}
-
-		
-          La force volumique la plus usuelle est la force de
-          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
-          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
-          fluide considéré.
-		
-		Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces réparties sur les éléments de surface 
-		qui composent la surface \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas d'un fluide
-		 statique est par définition la force de pression.
-	
-
-\begin{figure}
-		\centering
-		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-			\coordinate (A) at (0,0);
-			\coordinate (B) at (2,0);
-			\coordinate (C) at (2,1.75);
-			\coordinate (D) at (0,2);
-			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
-			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
-			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
-			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
-			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
-			
-			\coordinate (V) at (-1,1);
-			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
-			\coordinate (V2) at (1,.9);
-			\coordinate (S) at (2.5,1);	
-			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
-			
-			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
-				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
-				
-			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
-			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
-			\filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
-			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
-		\end{tikzpicture}
-				
-		\caption{Une figure seule et sa légende. Le volume
-                  \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\), sur
-                  lequel on établit un bilan de forces.}
-		\label{figvolumeV}
-		\end{figure}
-
-                \newenvironment{sidecapfig}[2]{%
-                  \begin{figure}
-                    \captionsetup{font={footnotesize,corpsdesnotes},labelfont={bleu,bf},
-                      labelsep=period,margin=0cm,justification=centerlast}
-                    \centering
-                    \fcapside[\FBwidth]{#1}{\caption{#2}}
-}{\end{figure}}
-
-\begin{sidecapfig}{\includegraphics[width=4cm]{tiger}} {Placement d'une légende sur le côté de sa
-                    figure. Le volume \(V\) délimité par la surface
-                    fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
-                    de forces.
-                  \label{figvolumeV}
-                  }
-                \end{sidecapfig}
-	
-	\subsection{Forces volumiques}	
-	
-	
-		Considérons d'abord la force de pesanteur. Pour un volume élémentaire noté \(\delta \tau\)
-		d'un fluide de masse volumique \(\mu\), soumis au champ de pesanteur \(\vv{g}\), 
-		la force de pesanteur (le poids) s'écrit :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\mu \vv{g} \delta \tau\label{test}
-		\end{equation}
-		
-                Renvoi vers l'équation \eqref{test}.
-
-		Cette force est donc proportionnelle au volume considéré. 
-		Il est donc pertinent d'introduire une force par unité de volume, 
-		ou densité volumique de force de pesanteur :
-		\begin{equation}
-			\frac{\vv{\delta f}}{\delta \tau}=\mu \vv{g}
-		\end{equation}
-	
-	
-		
-		Dans le système international, on exprime une force  en newtons (\si{N}). 
-		Cela vaut pour la force exercée sur un volume infinitésimal de même que pour 
-		celle exercée  sur un volume fini de dimensions macroscopiques.
-		Une densité volumique  de force s'exprimera, elle, en \si{N.m^{-3}}.
-	
-	
-	\begin{exemple}
-		Rappelons qu'une charge électrique \(q\) soumise à un champ électrique \(\E\) subit une force
-		électrique \(\vv{F}=q \E\).	
-		Considérons à présent un fluide qui est caractérisé par une densité volumique de 
-		charge électrique  notée \(\rho(\vv{r})\). 
-		En chaque point de l'espace repéré par le vecteur \(\vv{r}\),
-		le champ électrique vaut \(\E(\vv{r})\).
-		Le volume élémentaire de fluide \(\delta \tau\), de charge électrique \(\delta q=\rho \,\delta \tau\),
-		 est soumis à la force élémentaire :
-		\begin{equation}
-			\vv{\delta f}=\rho(\vv{r}) \,\delta \tau \E(\vv{r}) =\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \,\delta \tau
-		\end{equation}
-		 En plus de la force volumique de pesanteur, il faut alors prendre
-		 en compte une densité volumique de force électrostatique 
-		 que l'on peut noter \(\vv{f}_{V,\text{élec}}\), avec:
-		\begin{equation}
-			 \vv{f}_{V,\text{élec}}(\vv{r})=\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \quad%
-			 \text{ou plus simplement} \quad \vv{f}_{V,\text{élec}}=\rho \E
-		\end{equation}
-	\end{exemple}
-\end{cours}
-
-% \rappeltitre{Synthèse Cristaux métalliques, solides ioniques,\\ solides
-%   macrocovalents et moléculaires}
-\begin{synthese}
- % \section{Forces volumiques et surfaciques}
- % 	\subsection{Plongeon introductif}
-
-         La force volumique la plus usuelle est la force de
-          pesanteur.  Dans les cas simples, la résultante des forces
-          de pesanteur est directement proportionnelle au volume de
-          fluide considéré.
-
-	\begin{encadresynthese}[Titre d'un encadré dans la rubrique Synthèse]
-          Environnement « encadré synthèse »
-
-          Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-          \begin{itemize}
-          \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-          \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-          \item $f(a)=f(b)$.
-          \end{itemize}
-          Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-        \end{encadresynthese}
-
-        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
-        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
-        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-	\begin{encadresynthese}[Attention]
-          Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière
-          obligatoire, sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
-
-          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
-          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
-          ce point matériel
-        \end{encadresynthese}
-
-        Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
-        réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
-        \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas
-        d'un fluide statique est par définition la force de pression.
-	
-
-       % \begin{exemple}
-        %   Environnement 4 (illustrations)
-
-        %   Pour l'eau, l'ordre de grandeur de la masse volumique dans les conditions usuelles est 
-        %   \(\SI{1,0e3}{kg.m^{-3}}\). Prenons \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\), on conclut que la pression
-        %   a doublé par rapport à la surface lorsqu'on est à \SI{10}{m} de profondeur,
-	% 		puis cette pression augmente d'un bar tous les \SI{10}{m}. 
-        %                 L'ordre de grandeur des pressions dans les zones
-	% 		abyssales, typiquement à \SI{5000}{m} de profondeur, vaut \SI{500}{bar}. 
-	% 		Cette donnée mécanique 	est cruciale pour préparer les engins qui vont étudier ces régions.		
-	% 	\end{exemple}
-
-		\begin{figure}[h]
-		\centering
-		\begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-			\coordinate (A) at (0,0);
-			\coordinate (B) at (2,0);
-			\coordinate (C) at (2,1.75);
-			\coordinate (D) at (0,2);
-			\coordinate (A1) at (.7,-.5);
-			\coordinate (A2) at (1.5,-5);
-			\coordinate (B1) at (1.75,1.25);
-			\coordinate (C1) at (1.2,1.75);
-			\coordinate (D1) at (-.5,.5);
-			
-			\coordinate (V) at (-1,1);
-			\coordinate (V1) at (.7,1.5);
-			\coordinate (V2) at (1,.9);
-			\coordinate (S) at (2.5,1);	
-			\coordinate (S1) at (2,1.15);	
-			
-			\draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-				[rounded corners=.5cm]	 .. controls (B1) .. (C)%
-				[rounded corners=.5cm].. controls  (C1) .. (D) .. controls  (D1) .. (A);	
-				
-			\draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west] {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1);
-			\draw [rounded corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1) .. (V2);
-			\filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-			%\draw [rounded corners] (A)  .. controls (A1)  and (C)  .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
-			%\draw (A) .. controls (A1)  .. (B);
-		\end{tikzpicture}
-		\caption{Le volume \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\),\\ sur lequel on établit
-		 un bilan de forces.}
-		\label{figvolumeV}
-		\end{figure}
-
-
-	Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes physiques
-        essentiels dans ce chapitre, considérons une personne qui
-        plonge dans l'eau.  Lorsque les pieds ne reposent plus sur la
-        surface du plongeoir, la personne tombe sous l'effet de son
-        poids dans l'air, un premier fluide. Au fur et à mesure que
-        son corps pénètre dans l'eau, un autre fluide, il apparaît une
-        force qui fait finalement remonter le corps vers la surface.
-        Pendant la phase où le plongeur descend dans l'eau, il ressent
-        une douleur vive au niveau des oreilles s'il descend à
-        quelques mètres sous la surface sans décompresser.
-
-	\begin{filetsynthese}[Titre optionnel de l'environnement « filetsynthese »]
-          Environnement 4 (illustrations)
-
-          Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
-          déterminer facilement la résultante des forces de
-          pression. En aucun cas cependant cette poussée ne correspond
-          à une nouvelle force.  Attention en particulier de ne pas
-          compter d'une part la poussée d'Archimède, et d'ajouter la
-          somme des forces de pression; cela n'aurait pas de sens.
-	\end{filetsynthese}
-
-        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
-        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
-        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-	\begin{encadresynthese}[Attention]
-          Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière
-          obligatoire, sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
-
-          La résolution d'un problème de mécanique du point passe
-          souvent par l'établissement du bilan des forces exercées sur
-          ce point matériel
-        \end{encadresynthese}
-
-
-        On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des
-        forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les
-        projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-\end{synthese}
-
-% \titreduchapitreencours{Mon joli titre de substitution}
-
-\begin{exercices}
-
-\begin{exoVF}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont numérotés}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \vraioufaux{Tous les exercices de la collection
-    « Classes prépas. » sont sur fond bleu}
-  \derniervraioufaux{Ils affichent tous un niveau 
-    de difficulté et un temps estimé pour leur réalisation}
-\end{exoVF}
-
-\begin{ExosGuides}
-\begin{exoGuide}[\calcul]{30}{3}
-          \textsc{Complément.}  On prolonge l'exercice de cours 
-	(voir \ref{exercice-etoile}).
-		
-			On peut chercher, avec ce modèle simple, à obtenir un critère pour initier une réaction de fusion 
-			entre noyaux d'atomes d'hydrogène dans une étoile.
-		      \begin{questions}
-		            \item
-					Le gaz d'hydrogène dans le c{\oe}ur d'une étoile est totalement ionisé. 
-					Rappeler l'expression des niveaux d'énergie de l'hydrogène, et en déduire
-					 un ordre de grandeur de la température minimale 
-					qui permet cette ionisation grâce à l'agitation thermique.
-		            \item
-					\textit{Culturel.} 
-					Quel(s) noyau(x) atomique(s) peut-on obtenir par fusion entre noyaux d'hydrogène
-					 (ou d'isotopes de l'hydrogène, que l'on nommera) ?
-					Quel type de force ou d'interaction peut entraîner ces réactions ? 
-					La force électrostatique entre protons favorise-t-elle ces réactions ?
-		            \item 
-					%\textit{Complément.} 
-						Afin d'initier la fusion, l'énergie d'agitation thermique doit permettre
-						 aux protons de s'approcher suffisamment pour vaincre la répulsion électrostatique. 
-						En introduisant comme intermédiaire de calcul une distance typique $d$ 
-						entre protons à atteindre, montrer que l'on atteint la température nécessaire 
-						si la masse 	de l'étoile dépasse une valeur minimale (on pourra introduire
-						la constante de Boltzmann $k_B$).
-		      \end{questions}
-		\end{exoGuide}
-
-	\begin{exoGuide}{15}{1}
-	On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$, largeur $\ell$, et de hauteur $H$,
-	que l'on remplit d'eau jusqu'à une hauteur $h$, pour une expérience typique de tipe.
-	On place un repère cartésien dont l'origine coïncide avec un coin du fond de la cuve, 
-	de sorte que l'eau remplisse le domaine 
-	(\(0\leq x\leq \ell,\, 0\leq y\leq L,\, 0\leq z\leq h \)).
-	On note \(p_0\) la pression atmosphérique.
-
-		\begin{questions} 
-			\item 
-				Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en fonction de $h$.
-			\item