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 \pdfminorversion=3
 \documentclass[maths,noir]{vuiprep}
-\input{commandes-auteur}
-\usepackage{lipsum,subfigure,relsize}
-% \endofdump
-\usetikzlibrary{external}
-\tikzexternalize[prefix=TikzPictures/]
-\newcounter{VQexemple}
-\numberwithin{VQexemple}{chapter}
-\renewenvironment{exemple}[1][]{%
-  \refstepcounter{VQexemple}%
-  \unless\if@nobreak \goodbreak \fi
-  % Attention, pas d'environnements flottants dans les exemples. Si on 
-  % a besoin d'une légende pour une figure, utiliser la commande
-  % \captionof{figure}{...}
-  \ifCorriges
-  \begin{filetexemplecorriges}
-  \else
-  \begin{filetexemple}
-  \fi
-  \noindent
-  {%
-    \textcolor{bleufonce}{\TitleTheoremLikeFont \exemplename{} \arabic{chapter}.\arabic{VQexemple}
-      \ifx\relax#1\relax\else\space (#1)\fi
-  }
-    \par\nobreak\noindent
-  }%
-\ignorespaces}
-{%
-  \ifCorriges
-  \end{filetexemplecorriges}
-  \else
-  \end{filetexemple}
-  \fi
-}
 
+\begin{document}
 \pagenumbering{Roman}
 
-
-Tester la TDM sur page paire.
-
-\titredulivre{Livre de maths pour les classes prépas}
-\tableofcontents{}
-
-\pagestyle{entetesavantpropos}
-
-\chapter*{Avant-propos}
-\markboth{Livre de maths pour les classes prépas}{Avant-propos}
-\thispagestyle{entetesavantpropos}
-
-\begin{center}
-  Denis Monasse
-\end{center}
-
-\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.7cm,bille/.style={fill, ball color=black}]
-\foreach \x in {0,..., 10}{
-\draw[fill, color=black!10] (\x,0.5) -- (\x+0.9,0.5) -- (\x+0.9,4.5) -- (\x,4.5) -- (\x,0.5);}
-\foreach \k in {0,1,4,5,8,9}{
-\draw [bille] (\k+0.45,1) circle (0.2cm);}
-\foreach \k in {0,5,6,7,8}{
-\draw [bille] (\k+0.45,2) circle (0.2cm);}
-\foreach \k in {0,...,6}{
-\draw [bille] (\k+0.45,3) circle (0.2cm);}
-\foreach \k in {0,1,2}{
-\draw [bille] (\k+0.45,4) circle (0.2cm);}
-\foreach \k in {1,2,3,4}{
-\draw (-0.5,\k) node {\k};}
-\draw (0.45,0.5) node [anchor=north] {début};
-\draw (10.45,0.5) node [anchor=north] {fin};
-\end{tikzpicture}
-
-
-Depuis leur création à la fin du \textsc{xix}\ieme{} siècle (par Henri Vuibert, alors plus jeune agrégé de mathématiques de France) les Éditions Vuibert proposent des manuels scientifiques rédigés par les meilleurs auteurs, tous professeurs passionnés par leur discipline et leur enseignement.
-
-Ce fut donc avec un très grand plaisir que je fus contacté pour diriger une nouvelle collection d'ouvrages scientifiques destinés aux étudiants préparationnaires, en adéquation avec les nouveaux programmes de la rentrée 2013.
-
-Nous avons réuni pour cette tâche difficile des auteurs de grand talent, aussi bien pour leur qualification disciplinaire que pour leur désir de communiquer leur savoir à un public de plus en plus hétérogène. 
-
-Entre 1980 et 2010, le nombre d'étudiants de CPGE scientifique a plus que doublé, de nouvelles sections ont vu le jour, des classes ont ouvert dans un grand nombre de villes ; pendant cette période, la formation initiale scientifique des élèves à la sortie de l'enseignement secondaire a beaucoup évolué, en même temps que s’érodait le nombre d’heures alloué aux disciplines scientifiques.
-
-
-
-Nous avons réuni pour cette tâche difficile des auteurs de grand talent, aussi bien pour leur qualification disciplinaire que pour leur désir de communiquer leur savoir à un public de plus en plus hétérogène. 
-
-Entre 1980 et 2010, le nombre d'étudiants de CPGE scientifique a plus que doublé, de nouvelles sections ont vu le jour, des classes ont ouvert dans un grand nombre de villes ; pendant cette période, la formation initiale scientifique des élèves à la sortie de l'enseignement secondaire a beaucoup évolué, en même temps que s’érodait le nombre d’heures alloué aux disciplines scientifiques.
-
-{\allowdisplaybreaks
-\begin{gather*}
-\begin{array}{l}
-  \left\{
-\begin{array}{cccccccl}
-  x &+& \lambda y& +& z& =& \lambda & L_1 \leftrightarrow L_2\\
-  \lambda x &+& y& +& z& =& 1 &\\
-  x &+ &y &+ &\lambda z &= &\lambda^2 &
-\end{array}
- \right.
-\displaybreak\\ \\
- \left\{
-\begin{array}{cccccccl}
-  x &+& \lambda y& +& z& =& \lambda & \\
-   && (1-\lambda^2)y& +& (1-\lambda)z& =& 1-\lambda^2 & L_2\leftarrow L_2-\lambda L_1\\
-  & &(1-\lambda)y &+ &(\lambda-1) z &= &\lambda^2-\lambda & L_3\leftarrow L_3- L_1
-\end{array}
- \right.
-\\ \\ 
- \left\{
-\begin{array}{cccccccl}
-  x &+& \lambda y& +& z& =& \lambda & \\
-  & &(1-\lambda)y &+ &(\lambda-1) z &= &\lambda^2-\lambda  & L_2\leftrightarrow L_3\\
-  && (1-\lambda^2)y& +& (1-\lambda)z& =& 1-\lambda^2&
-\end{array}
- \right.
-\\ \\
- \left\{
-\begin{array}{cccccccl}
-  x &+& \lambda y& +& z& =& \lambda & \\
-  & &(1-\lambda)y &+ &(\lambda-1) z &= &\lambda^2-\lambda  & \\
-  && & & (1-\lambda)(2+\lambda)z& =& (1-\lambda)^2(1+\lambda)&L_3\leftarrow L_3- (1+\lambda)L_2
-\end{array}
- \right.
-  \end{array}
-\end{gather*}
-}
-
-Depuis leur création à la fin du \textsc{xix}\ieme{} siècle (par Henri Vuibert, alors plus jeune agrégé de mathématiques de France) les Éditions Vuibert proposent des manuels scientifiques rédigés par les meilleurs auteurs, tous professeurs passionnés par leur discipline et leur enseignement.
-
-Ce fut donc avec un très grand plaisir que je fus contacté pour diriger une nouvelle collection d'ouvrages scientifiques destinés aux étudiants préparationnaires, en adéquation avec les nouveaux programmes de la rentrée 2013.
-
-Nous avons réuni pour cette tâche difficile des auteurs de grand talent, aussi bien pour leur qualification disciplinaire que pour leur désir de communiquer leur savoir à un public de plus en plus hétérogène. 
-
-Entre 1980 et 2010, le nombre d'étudiants de CPGE scientifique a plus que doublé, de nouvelles sections ont vu le jour, des classes ont ouvert dans un grand nombre de villes ; pendant cette période, la formation initiale scientifique des élèves à la sortie de l'enseignement secondaire a beaucoup évolué, en même temps que s’érodait le nombre d’heures alloué aux disciplines scientifiques.
-
-L’écart s'est donc creusé entre la terminale et les classes
-préparatoires aux grandes écoles. Il revient alors aux manuels, comme
-aux professeurs, de faire preuve de qualités pédagogiques
-exceptionnelles, sans jamais sacrifier la rigueur indispensable qui
-est une des forces de l'enseignement supérieur \og{} à la française \fg. 
-C'est dans ce but que les livres de la collection Vuibert Prépas ont été pensés et rédigés. Ils sont destinés au plus grand nombre et visent à amener ce plus grand nombre au niveau de l'excellence.
-
-Le rôle d'un manuel de classe préparatoire n'est pas évident. Les
-étudiants disposent déjà de leurs notes de cours, et parfois de
-polycopiés, provenant d'enseignants fort compétents. Mais chacun sait
-qu'on observe mieux une statue et qu'on en apprécie mieux la beauté en
-la regardant sous différents angles; il en est de même des disciplines
-scientifiques dans lesquelles une diversité d'approches ne peut que
-faciliter la compréhension et l'assimilation de notions a priori
-abstraites et difficiles. En ce sens, les ouvrages de la collection
-\og{} Vuibert Prépas \fg{} constituent une aide conséquente pour les élèves de CPGE scientifiques.
-
-À lire ces ouvrages, que ce soit dans les disciplines qui sont les miennes, Mathématiques et Informatique ou dans des disciplines qui me sont moins familières comme la Physique, la Chimie ou les Sciences de l'Ingénieur, je ne peux être qu'admiratif devant le talent des auteurs de toutes origines qui, dans des délais très courts, ont eu à cœur de faire passer leur amour pour la science et pour son enseignement. 
-
-Je suis certain que le public préparationnaire partagera mon enthousiasme pour cette collection qui marque le retour des éditions Vuibert au service de ces filières.
-
-
-\part[structures, réactivités et transformations en chimie organique
-(2\ieme{} période PC/PSI)]{structures, réactivités\newline et
-  transformations en chimie organique}
-
-\setcounter{chapter}{25}
-\chapter[Cristaux métalliques, solides ioniques, solides
-macrocovalents et moléculaires] {Cristaux métalliques, solides
-  ioniques,\\ solides macrocovalents\\ et moléculaires}
-
-\begin{cours}
-  \index[comp]{savoir lire}
-
-{\rowcolors{2}{}{bleupale}
-\begin{tabular}{ll}
-  \toprule
-    \bfseries Domaine                         & \bfseries Ordre de grandeur \tabularnewline \midrule
-    Plus petite tension mesurée               & \SI{10}{\femto\volt} \tabularnewline
-    Influx nerveux humain                     & \SI{70}{\milli\volt} \tabularnewline
-    Pile AAA                                  & \SI{1,5}{\volt} \tabularnewline
-    Électricité domestique (tension nominale) & \SI{230}{\volt} \tabularnewline
-    Anguille                                  & \SI{500}{\volt} \tabularnewline
-    Alimentation des métros                   & \SI{750}{\volt} \tabularnewline
-    Étincelles (vêtements en polaire)         & \SI{1}{\kilo\volt} \tabularnewline
-    Défibrilateur, clôture électrique         & \SI{5}{\kilo\volt} \tabularnewline
-    Alimentation des trains                   & \SI{25}{\kilo\volt} \tabularnewline
-    Pistolet paralysant                       & \SI{50}{\kilo\volt} \tabularnewline
-    Éclair                                    & \SI{50}{\mega\volt}\tabularnewline\bottomrule
-  \end{tabular}}
-
-\begin{center}
-  \begin{tabular}{m{5cm}>{\centering}m{4cm}}
-
-    \toprule
-
-    Temps du $k$\ieme\ dépassement & $t_k=\dfrac{k\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}$ \tabularnewline \midrule 
-
-    Amplitude du $k$\ieme\ dépassement & $D_k=Ke_0e^{-\dfrac{\zeta k\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}$ \tabularnewline \midrule 
-
-    Amortissement en fonction de $D_k$ & $\zeta=\left(1+\frac{k^2.\pi^2}{\ln^2D_k}\right)^{-\frac{1}{2}}$\tabularnewline \midrule
-
-    Pulsation propre en fonction de $t_k$&$\omega_0=\frac{k.\pi}{t_k.\sqrt{1-\varepsilon^2}}$\tabularnewline \midrule
-
-    Pseudo-pulsation & $\omega_a=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ \tabularnewline \midrule 
-
-    Pseudo-période & $T_a=\dfrac{2\pi}{\omega_a}=\dfrac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}$ \tabularnewline \bottomrule
-
-  \end{tabular}
-\end{center}
-
-\begin{minipage}{1.0\linewidth}
-  test de note\footnotemark{}
-\end{minipage}
-
-\footnotetext{test de note}
-
-  \index{forces}
-
-  \section{Forces volumiques et surfaciques}
-  \subsection{Plongeon introductif}
-	
-  \begin{paragraphe}
-    Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes physiques
-    essentiels dans ce chapitre, considérons une personne qui plonge
-    dans l'eau.  Lorsque les pieds ne reposent plus sur la surface du
-    plongeoir, la personne tombe sous l'effet de son poids dans l'air,
-    un premier fluide. Au fur et à mesure que son corps pénètre dans
-    l'eau, un autre fluide, il apparaît une force qui fait finalement
-    remonter le corps vers la surface.  Pendant la phase où le
-    plongeur descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
-    des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface sans
-    décompresser.
-
-    Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes physiques
-    essentiels dans ce chapitre, considérons une personne qui plonge
-    dans l'eau.  Lorsque les pieds ne reposent plus sur la surface du
-    plongeoir, la personne tombe sous l'effet de son poids dans l'air,
-    un premier fluide. Au fur et à mesure que son corps pénètre dans
-    l'eau, un autre fluide, il apparaît une force qui fait finalement
-    remonter le corps vers la surface.  Pendant la phase où le
-    plongeur descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau
-    des oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface sans
-    décompresser.
-  \end{paragraphe}
-
-  \begin{demonstration}
-    Environnement 3 (preuves)
-
-    Pour démontrer ce résultat, il suffit d'appliquer la définition
-    intrinsèque du gradient et de considérer une surface isobare.  On
-    considère un déplacement élémentaire \(\vv{\dd \ell}\) sur une
-    surface isobare.  On peut alors écrire:
-    \begin{align*}
-      dp&=\grad p\cdot \vv{\dd \ell} \quad\text{(définition du gradient)}\\
-      \text{et} \quad dp&=0\quad \text{(surface isobare)}
-    \end{align*}
-    On conclut donc que \(\grad p \cdot \vv{\dd \ell}=0\), ce qui
-    prouve que les vecteurs \(\grad p\) et \(\dd \ell\) sont
-    orthogonaux.
-  \end{demonstration}
-
-  \begin{resultat}
-    test
-  \end{resultat}
-
-  \begin{figure}
-    \centering \subfigure[première sous figure]
-    {\includegraphics[width=2cm]{tiger}} \subfigure[deuxième sous
-    figure] {\includegraphics[width=1cm]{tiger}}
-    \caption{test de subfigure et de la commande $\protect\vv{b}$}
-  \end{figure}
-
-  % \begin{lstlisting}[language=bash]
-  %   for i in /Téléchargement/*.jpg ;
-  %   do convert $i $i.pdf ;
-  %   done
-  %   # C'est l'été à Oster. Ça va.
-  % \end{lstlisting}
-
-  \begin{application}[Exemple de titre optionnel]
-    On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$, largeur
-    $\ell$, et de hauteur $H$, que l'on remplit d'eau jusqu'à une
-    hauteur $h$, pour une expérience typique de tipe.  On place un
-    repère cartésien dont l'origine coïncide avec un coin du fond de
-    la cuve, de sorte que l'eau remplisse le domaine (\(0\leq x\leq
-    \ell,\, 0\leq y\leq L,\, 0\leq z\leq h \)).  On note \(p_0\) la
-    pression atmosphérique.
-
-    \begin{questions}
-    \item Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en
-      fonction de $h$.
-    \item Déterminer la force exercée sur chacune des parois.
-      \interenum{Texte inséré afin de tester les possibilités de la
-        classe.
-
-      On va faire un texte sur deux paragraphes pour tester également
-      cette possibilité.}
-    \item Applications numériques pour \(L=\SI{1,5}{m},
-      \ell=\SI{1,0}{m},h=\SI{0,50}{m}\).
-
-    \interenum{Suite de l'énoncé qui va enchaîner avec de nouvelles questions,
-    dont la numérotation reprendra à la suite de la dernière question
-    précédente :}
-
-    \item la question.
-    \end{questions}
-
-    Du texte interméditaire.
-
-    \begin{questions}[resume]
-      \item Une dernière question.
-      \end{questions}
-  \end{application}
-
-    \begin{exemple}\label{exemple1}
-      \item fdjk fhdaks
-    \end{exemple}
-
-    Voir l'exemple \ref{exemple1}
-
-  Analysons qualitativement cette expérience, afin de dégager les
-  notions que nous devrons préciser dans la suite. La force de
-  pesanteur qui fait tomber le plongeur s'exerce aussi bien dans l'air
-  que dans l'eau. C'est le cas usuel de force dite \emph{volumique},
-  qui ne dépend donc pas du fluide environnant.  La douleur ressentie
-  au niveau des tympans met très clairement en évidence le fait que
-  l'eau pousse sur la surface extérieure du plongeur. Cette force
-  \emph{surfacique} correspond aux forces de pression.  Enfin, si le
-  corps tombe lorsqu'il est dans l'air, alors qu'il remonte
-  spontanément lorsqu'il est dans l'eau, bien que soumis au même
-  poids, c'est parce que la résultante des forces de pression exercées
-  par l'air (peu dense) ou par l'eau (nettement plus dense) est
-  toujours dirigée vers le haut, mais surcompense le poids du plongeur
-  dans un cas mais pas dans l'autre.
-
-
-  \subsubsection{Forces sur un élément de fluide}
-
-	
-  La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent par
-  l'établissement du bilan des forces exercées sur ce point
-  matériel% \footnote{Il est parfois possible de mettre en avant
-  % des méthodes énergétiques, et ainsi de s'affranchir partiellement
-  % de ce bilan des forces.}
-  . Dans ce chapitre, nous nous intéressons à un fluide, typiquement
-  de l'air ou de l'eau, considéré à l'échelle macroscopique comme un
-  système \emph{continu}. Dans le référentiel considéré, ce fluide est
-  supposé statique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de mouvement
-  d'ensemble% \footnote{\`{A} l'échelle moléculaire, cependant, il
-  % existe toujours des mouvements
-  % erratiques liés à l'agitation thermique, essentiels pour
-  % comprendre l'existence de la pression au niveau microscopique
-  % (voir chapitres de thermodynamique).}
-  . Le cours de deuxième année abordera la description de ces
-  mouvements de convection dans un fluide.
-	
-\begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau\label{test1}
-    \end{equation}
-
-    Voir l'équation \eqref{test1}.
-
-
-
-  \begin{definition}[Titre optionnel]\label{reftest}
- \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau\label{test2}
-    \end{equation}
-
-    Voir l'équation \eqref{test2}, page \pageref{test2}.
-
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-  \end{definition}
-
-  \begin{definition}
-    Environnement 1 (définitions)
-
-    On peut généraliser cette écriture, en introduisant une densité
-    volumique de force noté \(\vv{f}_V\), telle que la force
-    correspondante sur un volume élémentaire s'écrira :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\vv{f}_V  \,\delta \tau
-    \end{equation}
-  \end{definition}
-
-  La force volumique la plus usuelle est la force de pesanteur.  Dans
-  les cas simples, la résultante des forces de pesanteur est
-  directement proportionnelle au volume de fluide considéré.
-
-  \begin{theoreme}[Rolle]
-    Environnement 2 (énoncés)
-
-    Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-    \begin{itemize}
-    \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-    \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-    \item $f(a)=f(b)$.
-    \end{itemize}
-    Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-  \end{theoreme}
-
-  \begin{proposition}
-    Environnement 2 (énoncés)
-
-    Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-    \begin{itemize}
-    \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-    \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-    \item $f(a)=f(b)$.
-    \end{itemize}
-    Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-  \end{proposition}
-
-  On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des forces
-  de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les projections
-  selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-  \begin{lemme}
-    Environnement 2 bis (énoncés secondaires)
-
-    La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent
-    par l'établissement du bilan des forces exercées sur ce point
-    matériel
-  \end{lemme}
-
-  Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
-  réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
-  \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas d'un
-  fluide statique est par définition la force de pression.
-	
-  \begin{demonstration}
-    Environnement 3 (preuves)
-
-    Pour démontrer ce résultat, il suffit d'appliquer la définition
-    intrinsèque du gradient et de considérer une surface isobare.  On
-    considère un déplacement élémentaire \(\vv{\dd \ell}\) sur une
-    surface isobare.  On peut alors écrire:
-    \begin{align*}
-      dp&=\grad p\cdot \vv{\dd \ell} \quad\text{(définition du gradient)}\\
-      \text{et} \quad dp&=0\quad \text{(surface isobare)}
-    \end{align*}
-    On conclut donc que \(\grad p \cdot \vv{\dd \ell}=0\), ce qui
-    prouve que les vecteurs \(\grad p\) et \(\dd \ell\) sont
-    orthogonaux.
-  \end{demonstration}
-
-  \begin{remarque}
-    Environnement 4 bis (méthodologie annexe)
-
-    Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de déterminer
-    facilement la résultante des forces de pression. En aucun cas
-    cependant cette poussée ne correspond à une nouvelle force.
-    Attention en particulier de ne pas compter d'une part la poussée
-    d'Archimède, et d'ajouter la somme des forces de pression; cela
-    n'aurait pas de sens.
-  \end{remarque}
-
-  \begin{remarques}
-    Texte d'un environnement contenant plusieurs remarques, qui
-    introduit à l'énumération des différentes idées qui constituent
-    toutes ces remarques importantes. On réutilise donc
-    l'environnement pointsimportants :
-
-    \begin{pointsimportants}
-    \item première remarque fdkj fdask hfjkdsah fjkadsh fjkldsah
-      fadjks hfadjks fhdjksah fdjksalfh djksah fsa,
-    \item deuxième remarque,
-    \item troisième remarque.
-    \end{pointsimportants}
-  \end{remarques}
-
-
-  En suivant la démarche vue en mécanique du point (voir \eqref{reftest}), isolons un élément
-  de fluide, dans le but d'établir un bilan des forces exercées sur ce
-  système.  Cet élément de fluide est caractérisé par un volume \(V\),
-  délimité par un surface fermée \(\Sigma\) (figure \ref{figvolumeV}).
-
-  \begin{figure}
-    \centering
-    \includestandalone{test-standalone}
-    \caption{Trois toutes petites figures avec la même légende. Le
-      volume \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\), sur
-      lequel on établit un bilan de forces.}
-    \label{figvolumeV}
-  \end{figure}
-
-  On peut penser au plongeur pour fixer les idées.
-		
-  Nous sommes amenés à distinguer deux types de forces qui s'exercent
-  sur ce système :
-  \begin{pointsimportants}
-  \item des forces volumiques d'une part,
-  \item des forces surfaciques d'autre part.
-  \end{pointsimportants}
-
-  \begin{itemize}
-  \item des forces volumiques d'une part,
-  \item des forces surfaciques d'autre part.
-  \end{itemize}
-
-	
-
-  \begin{figure}
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-      \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (2,0); \coordinate
-      (C) at (2,1.75); \coordinate (D) at (0,2); \coordinate (A1) at
-      (.7,-.5); \coordinate (A2) at (1.5,-5); \coordinate (B1) at
-      (1.75,1.25); \coordinate (C1) at (1.2,1.75); \coordinate (D1) at
-      (-.5,.5);
-			
-      \coordinate (V) at (-1,1); \coordinate (V1) at (.7,1.5);
-      \coordinate (V2) at (1,.9); \coordinate (S) at (2.5,1);
-      \coordinate (S1) at (2,1.15);
-			
-      \draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-      [rounded corners=.5cm] .. controls (B1) .. (C)%
-      [rounded corners=.5cm].. controls (C1) .. (D) .. controls (D1)
-      .. (A);
-				
-      \draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west]
-      {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1); \draw [rounded
-      corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1)
-      .. (V2); \filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-      % \draw [rounded corners] (A) .. controls (A1) and (C) .. (D) ..
-      % controls (C1) .. (A) ;
-      % \draw (A) .. controls (A1) .. (B);
-    \end{tikzpicture}
-    \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-      \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (2,0); \coordinate
-      (C) at (2,1.75); \coordinate (D) at (0,2); \coordinate (A1) at
-      (.7,-.5); \coordinate (A2) at (1.5,-5); \coordinate (B1) at
-      (1.75,1.25); \coordinate (C1) at (1.2,1.75); \coordinate (D1) at
-      (-.5,.5);
-			
-      \coordinate (V) at (-1,1); \coordinate (V1) at (.7,1.5);
-      \coordinate (V2) at (1,.9); \coordinate (S) at (2.5,1);
-      \coordinate (S1) at (2,1.15);
-			
-      \draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-      [rounded corners=.5cm] .. controls (B1) .. (C)%
-      [rounded corners=.5cm].. controls (C1) .. (D) .. controls (D1)
-      .. (A);
-				
-      \draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west]
-      {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1); \draw [rounded
-      corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1)
-      .. (V2); \filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-      % \draw [rounded corners] (A) .. controls (A1) and (C) .. (D) ..
-      % controls (C1) .. (A) ;
-      % \draw (A) .. controls (A1) .. (B);
-    \end{tikzpicture}
-		
-    \caption{Deux figures côtes-à-côtes, avec la même légende. Le
-      volume \(V\) délimité par la surface fermée \(\Sigma\), sur
-      lequel on établit un bilan de forces.}
-    \label{figvolumeV}
-  \end{figure}
-
-		
-  La force volumique la plus usuelle est la force de pesanteur.  Dans
-  les cas simples, la résultante des forces de pesanteur est
-  directement proportionnelle au volume de fluide considéré.
-		
-  Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
-  réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
-  \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas d'un
-  fluide statique est par définition la force de pression.
-	
-
-  \begin{figure}
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-      \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (2,0); \coordinate
-      (C) at (2,1.75); \coordinate (D) at (0,2); \coordinate (A1) at
-      (.7,-.5); \coordinate (A2) at (1.5,-5); \coordinate (B1) at
-      (1.75,1.25); \coordinate (C1) at (1.2,1.75); \coordinate (D1) at
-      (-.5,.5);
-			
-      \coordinate (V) at (-1,1); \coordinate (V1) at (.7,1.5);
-      \coordinate (V2) at (1,.9); \coordinate (S) at (2.5,1);
-      \coordinate (S1) at (2,1.15);
-			
-      \draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-      [rounded corners=.5cm] .. controls (B1) .. (C)%
-      [rounded corners=.5cm].. controls (C1) .. (D) .. controls (D1)
-      .. (A);
-				
-      \draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west]
-      {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1); \draw [rounded
-      corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1)
-      .. (V2); \filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-      % \draw [rounded corners] (A) .. controls (A1) and (C) .. (D) ..
-      % controls (C1) .. (A) ;
-      % \draw (A) .. controls (A1) .. (B);
-    \end{tikzpicture}
-				
-    \caption{Une figure seule et sa légende. Le volume \(V\) délimité
-      par la surface fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
-      de forces.}
-    \label{figvolumeV}
-  \end{figure}
-
-  % \newenvironment{sidecapfig}[2]{%
-  %   \begin{figure}
-  %     \captionsetup{font={footnotesize,corpsdesnotes},labelfont={bleu,bf},
-  %       labelsep=period,margin=0cm,justification=centerlast}
-  %     \centering \fcapside[\FBwidth]{#1}{\caption{#2}} }{\end{figure}}
-
-  % \begin{sidecapfig}{\includegraphics[width=8cm]{tiger}} {Placement
-  %     d'une légende sur le côté de sa figure. Le volume \(V\) délimité
-  %     par la surface fermée \(\Sigma\), sur lequel on établit un bilan
-  %     de forces. \label{figvolumeV}}
-  % \end{sidecapfig}
-	
-  \subsection{Forces volumiques}
-	
-	
-  Considérons d'abord la force de pesanteur. Pour un volume
-  élémentaire noté \(\delta \tau\) d'un fluide de masse volumique
-  \(\mu\), soumis au champ de pesanteur \(\vv{g}\), la force de
-  pesanteur (le poids) s'écrit :
-  \begin{equation}
-    \vv{\delta f}=\mu \vv{g} \delta \tau\label{test}
-  \end{equation}
-		
-  Renvoi vers l'équation \eqref{test}.
-
-  Cette force est donc proportionnelle au volume considéré.  Il est
-  donc pertinent d'introduire une force par unité de volume, ou
-  densité volumique de force de pesanteur :
-  \begin{equation}
-    \frac{\vv{\delta f}}{\delta \tau}=\mu \vv{g}
-  \end{equation}
-		
-  Dans le système international, on exprime une force en newtons
-  (\si{N}).  Cela vaut pour la force exercée sur un volume
-  infinitésimal de même que pour celle exercée sur un volume fini de
-  dimensions macroscopiques.  Une densité volumique de force
-  s'exprimera, elle, en \si{N.m^{-3}}.
-	
-  \begin{exemple}
-    Rappelons qu'une charge électrique \(q\) soumise à un champ
-    électrique \(\E\) subit une force électrique \(\vv{F}=q \E\).
-    Considérons à présent un fluide qui est caractérisé par une
-    densité volumique de charge électrique notée \(\rho(\vv{r})\).  En
-    chaque point de l'espace repéré par le vecteur \(\vv{r}\), le
-    champ électrique vaut \(\E(\vv{r})\).  Le volume élémentaire de
-    fluide \(\delta \tau\), de charge électrique \(\delta q=\rho
-    \,\delta \tau\), est soumis à la force élémentaire :
-    \begin{equation}
-      \vv{\delta f}=\rho(\vv{r}) \,\delta \tau \E(\vv{r}) =\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \,\delta \tau
-    \end{equation}
-    En plus de la force volumique de pesanteur, il faut alors prendre
-    en compte une densité volumique de force électrostatique que l'on
-    peut noter \(\vv{f}_{V,\text{élec}}\), avec:
-    \begin{equation}
-      \vv{f}_{V,\text{élec}}(\vv{r})=\rho(\vv{r}) \E(\vv{r}) \quad%
-      \text{ou plus simplement} \quad \vv{f}_{V,\text{élec}}=\rho \E
-    \end{equation}
-  \end{exemple}
-\end{cours}
-
-% \rappeltitre{Synthèse Cristaux métalliques, solides ioniques,\\
-%   solides macrocovalents et moléculaires}
-\begin{synthese}
-  % \section{Forces volumiques et surfaciques}
-  % \subsection{Plongeon introductif}
-
-  La force volumique la plus usuelle est la force de pesanteur.  Dans
-  les cas simples, la résultante des forces de pesanteur est
-  directement proportionnelle au volume de fluide considéré.
-
-  \begin{encadresynthese}[Titre d'un encadré dans la rubrique
-    Synthèse]
-    Environnement « encadré synthèse »
-
-    Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ telle que
-    \begin{itemize}
-    \item $f$ est continue sur $[a,b]$;
-    \item $f$ est dérivable sur $]a,b[$;
-    \item $f(a)=f(b)$.
-    \end{itemize}
-    Alors, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
-  \end{encadresynthese}
-
-  On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des forces
-  de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les projections
-  selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-  \begin{encadresynthese}[Attention]
-    Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière obligatoire,
-    sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
-
-    La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent
-    par l'établissement du bilan des forces exercées sur ce point
-    matériel
-  \end{encadresynthese}
-
-  Outre cette force de type volumique, il s'exerce des forces
-  réparties sur les éléments de surface qui composent la surface
-  \(\Sigma\). La seule force surfacique à envisager dans le cas d'un
-  fluide statique est par définition la force de pression.
-	
-
-  % \begin{exemple}
-  %   Environnement 4 (illustrations)
-
-  %   Pour l'eau, l'ordre de grandeur de la masse volumique dans
-  %   les conditions usuelles est
-  %   \(\SI{1,0e3}{kg.m^{-3}}\). Prenons
-  %   \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\), on conclut que la pression
-  %   a doublé par rapport à la surface lorsqu'on est à
-  %   \SI{10}{m} de profondeur,
-  % 		puis cette pression augmente d'un bar tous les
-  %   \SI{10}{m}.
-  %   L'ordre de grandeur des pressions dans les zones
-  %   abyssales, typiquement à \SI{5000}{m} de profondeur, vaut
-  %   \SI{500}{bar}.
-  %   Cette donnée mécanique est cruciale pour préparer les engins
-  %   qui vont étudier ces régions.
-  % \end{exemple}
-
-  \begin{figure}[h]
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-      \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (2,0); \coordinate
-      (C) at (2,1.75); \coordinate (D) at (0,2); \coordinate (A1) at
-      (.7,-.5); \coordinate (A2) at (1.5,-5); \coordinate (B1) at
-      (1.75,1.25); \coordinate (C1) at (1.2,1.75); \coordinate (D1) at
-      (-.5,.5);
-			
-      \coordinate (V) at (-1,1); \coordinate (V1) at (.7,1.5);
-      \coordinate (V2) at (1,.9); \coordinate (S) at (2.5,1);
-      \coordinate (S1) at (2,1.15);
-			
-      \draw [rounded corners=.5cm] (A) .. controls (A1) .. (B)
-      [rounded corners=.5cm] .. controls (B1) .. (C)%
-      [rounded corners=.5cm].. controls (C1) .. (D) .. controls (D1)
-      .. (A);
-				
-      \draw [rounded corners=.5cm,->] (S) node [anchor= west]
-      {$\Sigma$} .. controls (S1) .. (B1); \draw [rounded
-      corners=.5cm] (V) node [anchor= east] {$V$} .. controls (V1)
-      .. (V2); \filldraw (V2) circle (.05cm);
-			
-      % \draw [rounded corners] (A) .. controls (A1) and
-      % (C) .. (D) ..  controls (C1) .. (A) ;
-      % \draw (A) .. controls (A1) .. (B);
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{Le volume \(V\) délimité par la surface fermée
-      \(\Sigma\),\\ sur lequel on établit un bilan de forces.}
-    \label{figvolumeV}
-  \end{figure}
-
-
-  Afin d'appréhender concrètement quelques phénomènes physiques
-  essentiels dans ce chapitre, considérons une personne qui plonge
-  dans l'eau.  Lorsque les pieds ne reposent plus sur la surface du
-  plongeoir, la personne tombe sous l'effet de son poids dans l'air,
-  un premier fluide. Au fur et à mesure que son corps pénètre dans
-  l'eau, un autre fluide, il apparaît une force qui fait finalement
-  remonter le corps vers la surface.  Pendant la phase où le plongeur
-  descend dans l'eau, il ressent une douleur vive au niveau des
-  oreilles s'il descend à quelques mètres sous la surface sans
-  décompresser.
-
-  \begin{filetsynthese}[Titre optionnel de l'environnement « filetsynthese »]
-    Environnement 4 (illustrations)
-
-    Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de déterminer
-    facilement la résultante des forces de pression. En aucun cas
-    cependant cette poussée ne correspond à une nouvelle force.
-    Attention en particulier de ne pas compter d'une part la poussée
-    d'Archimède, et d'ajouter la somme des forces de pression; cela
-    n'aurait pas de sens.
-  \end{filetsynthese}
-
-  On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des forces
-  de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les projections
-  selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-  \begin{encadresynthese}[Attention]
-    Les encadrés doivent donc avoir un titre, de manière obligatoire,
-    sinon, on obtient ce bandeau gris, mais vide. ok ?
-
-    La résolution d'un problème de mécanique du point passe souvent
-    par l'établissement du bilan des forces exercées sur ce point
-    matériel
-  \end{encadresynthese}
-
-
-  On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante des forces
-  de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer les projections
-  selon \(\vv{e}_y\) des contributions élémentaires.
-
-\end{synthese}
+\chapter{Maquette Classes prépas}
 
 \begin{exercices}
 
-  \begin{ExosVF}
-    \begin{exoVF}
-      \vraioufaux{Tous les exercices de la collection « Classes
-        prépas. » sont numérotés}
-      \vraioufaux{Tous les exercices de la collection « Classes
-        prépas. » sont sur fond bleu}
-      \derniervraioufaux{Ils affichent tous un niveau de difficulté et
-        un temps estimé pour leur réalisation}
-    \end{exoVF}
+  \begin{ExosConcs}
+    \begin{exoConc}{20}{1}[sous-titre]
+      Test
+    \end{exoConc}
+
     \begin{correction}
-      \begin{questions}
-      \item Vrai (pas forcément avec des chiffres)
-      \item Faux (ce sont les corrigés qui sont sur fond bleu.
-      \item Faux (les exercices vrai ou faux n'affichent pas ces
-        informations).
-      \end{questions}
+      Correction
     \end{correction}
-  \end{ExosVF}
-  
-  \begin{ExosGuides}
-    \section{Titre de section dans un énoncé}
-
-    \begin{exoGuide}[\calcul]{30}{3}
-      \textsc{Complément.}  On prolonge l'exercice de cours (voir
-      \ref{exercice-etoile}).
-		
-
-      On peut chercher, avec ce modèle simple, à obtenir un critère
-      pour initier une réaction de fusion entre noyaux d'atomes
-      d'hydrogène dans une étoile.
-      \begin{questions}
-      \item Le gaz d'hydrogène dans le c{\oe}ur d'une étoile est
-        totalement ionisé.  Rappeler l'expression des niveaux
-        d'énergie de l'hydrogène, et en déduire un ordre de grandeur
-        de la température minimale qui permet cette ionisation grâce à
-        l'agitation thermique.
-      \item \textit{Culturel.}  Quel(s) noyau(x) atomique(s) peut-on
-        obtenir par fusion entre noyaux d'hydrogène (ou d'isotopes de
-        l'hydrogène, que l'on nommera) ?  Quel type de force ou
-        d'interaction peut entraîner ces réactions ?  La force
-        électrostatique entre protons favorise-t-elle ces réactions ?
-      \item
-        % \textit{Complément.}
-        Afin d'initier la fusion, l'énergie d'agitation thermique doit
-        permettre aux protons de s'approcher suffisamment pour vaincre
-        la répulsion électrostatique.  En introduisant comme
-        intermédiaire de calcul une distance typique $d$ entre protons
-        à atteindre, montrer que l'on atteint la température
-        nécessaire si la masse de l'étoile dépasse une valeur minimale
-        (on pourra introduire la constante de Boltzmann $k_B$).
-      \end{questions}
-    \end{exoGuide}
-    \begin{correction}
-      \section{Titre de section dans un corrigé}
-              
-      \begin{enumerate}
-      \item On obtient directement le champ de pression à partir de la
-        relation d'hydrostatique \(\Delta p=\mu g h\) entre la surface
-        du liquide et le point de cote \(z\):
-        \begin{align*}
-          p(z)-p(h)&=\mu g (h-z)\\
-          p(z)&=p_0+\mu g (h-z)
-        \end{align*}
-      \item
-        \begin{itemize}
-        \item Pour chaque paroi, il faut compter les forces associées
-          à la pression de l'air et celles associées à la pression de
-          l'eau pour les parties recouvertes d'eau.  Pour les parties
-          correspondant à \(z>h\), la pression est supposée uniforme
-          et égale à \(p_0\), donc la résultante des forces qui
-          s'exercent de part et d'autre de chaque plaque est nulle.
-        \item Considérons la surface correspondant à (\(0\leq x\leq
-          \ell,\, y=0 ,\,0\leq z \leq h)\).  La contribution de
-          l'élément de surface \(\dd x\dd z\) donne:
-          \begin{align*}
-            \vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd x\dd z \vv{e}_x -p_\text{eau} \dd x\dd z \vv{e}_y\\
-            \vv{\delta F}&=\big(p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big) \dd x\dd z \vv{e}_y\\
-            \vv{\delta F}&=\big(-\mu g (h-z)\big) \dd x\dd z\vv{e}_y
-          \end{align*}
-          On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette
-          plaque:
-          \begin{align*}
-            \vv{F}&=\int_{x=0}^{x=\ell}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd x\dd z\vv{e}_y \\
-            \vv{F}&=\mu g \ell \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_y \\
-            \vv{F}&=\mu g \ell \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_y \\
-            \vv{F}&=-\mu g \ell \frac{h^2}{2} \vv{e}_y \\
-          \end{align*}
-          Sur la plaque opposée, il s'exerce une force opposé, par
-          symétrie.
-        \item On conduit un calcul similaire pour la surface
-          correspondant à:%
-          \[x=0,\,0\leq y\leq L,\,0\leq z \leq h\] La contribution de
-          l'élément de surface \(\dd y\dd z\) donne:
-          \begin{align*}
-            \vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd y\dd z \vv{e}_ -p_\text{eau} \dd y\dd z \vv{e}_x\\
-            \vv{\delta F}&=\big[p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big] \dd y\dd z \vv{e}_x\\
-            \vv{\delta F}&=-\mu g (h-z) \dd y\dd z\vv{e}_x
-          \end{align*}
-          On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette
-          plaque:
-          \begin{align*}
-            \vv{F}&=\int_{y=0}^{y=L}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd y\dd z\vv{e}_x \\
-            \vv{F}&=\mu g L \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_x \\
-            \vv{F}&=\mu g L \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_x \\
-            \vv{F}&=-\mu g L \frac{h^2}{2} \vv{e}_x \\
-          \end{align*}
-          Sur la plaque opposée, on a la force opposée.
-        \item On obtient respectivement \SI{2,5}{kN} et \SI{3,7}{kN}
-          en prenant \(\mu=\SI{1,0}{kg.m^{-3}}\) et
-          \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\),%
-          forces qui correspondent aux poids de masses de
-          \SI{0,25}{tonnes} et \SI{0,37}{tonnes} respectivement.  La
-          résultante des forces est nulle, donc le centre d'inertie
-          est en équilibre, mais le calcul montre que des contraintes
-          fortes tendent à séparer les quatre plaques les unes des
-          autres. En pratique, des solutions reposant seulement sur de
-          la colle conduisent souvent à des problèmes d'étanchéité,
-          voire de rupture.  Il est préférable d'avoir recours à des
-          vis.
-        \end{itemize}
-      \end{enumerate}
-      \begin{methode}
-        Test d'un environnement de type 4 dans les corrigés.
-
-        Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
-        déterminer facilement la résultante des forces de pression. En
-        aucun cas cependant cette poussée ne correspond à une nouvelle
-        force.  Attention en particulier de ne pas compter d'une part
-        la poussée d'Archimède, et d'ajouter la somme des forces de
-        pression; cela n'aurait pas de sens.
-      \end{methode}
-      
-      \begin{remarque}
-        Test d'un environnement de type 4bis dans les corrigés.
-      \end{remarque}
-      \begin{culturel}
-        Test d'un environnement de type 5 dans les corrigés.
-
-        Il est essentiel de comprendre que cet énoncé permet de
-        déterminer facilement la résultante des forces de pression. En
-        aucun cas cependant cette poussée ne correspond à une nouvelle
-        force.  Attention en particulier de ne pas compter d'une part
-        la poussée d'Archimède, et d'ajouter la somme des forces de
-        pression; cela n'aurait pas de sens.
-      \end{culturel}
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoGuide}{15}{1}
-      On considère une cuve parallélépipédique de longueur $L$,
-      largeur $\ell$, et de hauteur $H$, que l'on remplit d'eau
-      jusqu'à une hauteur $h$, pour une expérience typique de tipe.
-      On place un repère cartésien dont l'origine coïncide avec un
-      coin du fond de la cuve, de sorte que l'eau remplisse le domaine
-      (\(0\leq x\leq \ell,\, 0\leq y\leq L,\, 0\leq z\leq h \)).  On
-      note \(p_0\) la pression atmosphérique.
-
-      \begin{questions}
-      \item Exprimer le champ de pression $p(x,y,z)$ dans l'eau en
-        fonction de $h$.
-      \item Déterminer la force exercée sur chacune des parois.
-      \item Applications numériques pour \(L=\SI{1,5}{m},
-        \ell=\SI{1,0}{m},h=\SI{0,50}{m}\).
-      \end{questions}
-      \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-          % cube perpective de base
-          \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (A1) at (-.25,0);
-          \coordinate (A3) at (-.25,-.25); \coordinate (A2) at
-          (-.5,-.5); \coordinate (B) at (2,0); \coordinate (B1) at
-          (2.25,0); \coordinate (B3) at (2,-.25); \coordinate (C) at
-          (2,1.5); \coordinate (D) at (0,1.5); \coordinate (D1) at
-          (-.25,1.5); \coordinate (E) at (0.75,0.75); \coordinate (F)
-          at (2.75,.75); \coordinate (F1) at (3.,.75); \coordinate
-          (F2) at (3.5,.75); \coordinate (G) at (2.75,2.25);
-          \coordinate (G1) at (3,2.25); \coordinate (H) at
-          (0.75,2.25); \coordinate (H1) at (0.75,2.25); \coordinate
-          (H2) at (.75,2.75);
-				
-          \coordinate (Ae) at (0,1); \coordinate (Be) at (2,1);
-          \coordinate (Fe) at (2.75,1.75); \coordinate (Ee) at
-          (0.75,1.75);
-			
-          \coordinate (Fe1) at (3.,1.75); \draw [<->] (F1) -- (Fe1);
-          \path (Fe1) ++(0.25,-.25) node {\(h\)};
-				
-          % eau
-          \draw (Ae) -- (Be) -- (Fe) -- (Ee) -- cycle;
-				
-			
-          \draw (A) rectangle (C); \draw [dashed] (H) -- (E) -- (F);
-          \draw (F) -- (G) -- (H); \draw [dashed] (A) -- (E);
-				
-          \draw (B) -- (F); \draw (C) -- (G); \draw (D) -- (H);
-				
-          % dimensions
-				
-          \draw [<->] (A3) -- (B3); \path (A3) ++(1,-.25) node
-          {\(L\)}; \draw [<->] (B1) -- (F1); \path (A1) ++(-.25,1)
-          node {\(H\)}; \draw [<->] (A1) -- (D1); \path (B1)
-          ++(.8,.25) node {\(\ell\)};
-          % axes
-				
-          \draw [->] (E) -- (A2) node [anchor=east] {\(x\)}; \draw
-          [->] (E) -- (F2) node [anchor=south] {\(y\)}; \draw [->] (E)
-          -- (H2) node [anchor=south] {\(z\)};
-				
-        \end{tikzpicture}
-      \end{center}
-    \end{exoGuide}
-    \begin{correction}
-	
-      \textsc{début de rédaction à compléter}
-	
-      \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-          \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (A1) at (-2,0);
-          \coordinate (A2) at (2,0); \coordinate (B1) at (0,-1.5);
-          \coordinate (B2) at (0,1.5);
-				
-          \draw [->] (A1) -- (A2) node [anchor=south west] {\(x\)};
-          \draw [->] (B1) -- (B2) node [anchor=south west] {\(y\)};
-				
-          \draw (O) circle (1cm);
-				
-          \draw (O) --++(30:2) node {\tiny \(\bullet\)}; \draw [->]
-          (O) ++(30:2) -- +(30:.75) node [anchor=south]
-          {\(\vv{e}_{r}\)} ; \draw [->] (O) ++(30:2) -- +(120:.75)
-          node [anchor=south] {\(\vv{e}_{\theta}\)} ;
-				
-          \draw [->] (1.5,0) arc (0:30:1.5);; \path (1.75,.45) node
-          {\(\theta\)};
-				
-          \draw[->] (-3,1.85) -- ++(1,0) node [anchor=south west]
-          {\(\vv{v}_{\infty}\)};
-	\end{tikzpicture}
-      \end{center}
-          
-      % On a utilisé la valeur du dipôle obtenue précédemment :
-      % $D=-2\pi R^2 v_{\infty}$.
-
-      \begin{enumerate}
-      \item On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante
-        des forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer
-        les projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions
-        élémentaires. Il vient :
-        \begin{align*}
-          \vv{dF}&=-p(R,\theta) \,\vv{\delta S}\\
-          dF_y&=-p\vv{e}_r\cdot\vv{e}_y \delta S\\
-          \frac{F_y}{L}&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}-p(R,\,\theta)R\dd\theta
-          \sin\theta
-        \end{align*}
-        Examinons les différents termes qui vont intervenir dans la
-        pression, lorsqu'on multiplie par \(\sin\theta\) et que l'on
-        intègre de 0 à \(2\pi\).
-        \begin{itemize}
-        \item Le terme constant \(p_{\infty}+\dfrac{1}{2}\mu
-          v_{\infty}^2-%
-          \dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{\Gamma}{2\pi R}\right)^2\) donne
-          une contribution nulle puisque \(\dint_{0}^{2\pi}\sin\theta
-          \dd\theta=0\)
-        \item Le terme en \(\sin^2\theta\) dans la pression donne
-          aussi une contribution nulle parce que
-          \(\dint_{0}^{2\pi}\sin^3\theta \dd\theta=0\)
-        \item Le seul terme non nul vient du double produit
-          \(\dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{4v_{\infty}\sin\theta
-              \Gamma}{2\pi R}\right)\)
-        \end{itemize}
-
-        On a donc :
-        \begin{align*}
-          \frac{F_y}{L}&=\int_{0}^{2\pi}-\left(\frac{1}{2}\mu%
-            \left(4\frac{v_{\infty}\Gamma}{2\pi R}\right)\right)Rd\theta \sin^2\theta\\
-          \frac{F_y}{L}&=-\mu v_{\infty} \Gamma
-          \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta
-        \end{align*}
-        \begin{equation}
-          \boxed{\frac{F_y}{L}=-\mu v_{\infty}\Gamma}
-        \end{equation}
-      \end{enumerate}
-    \end{correction}
-
-    \begin{analysedoc}[Titre optionnel]
-      Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques,
-      définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité
-      du problème (on reste en petites déformations), on peut
-      considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire
-      considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une
-      seule sollicitation simple.
-
-      Le principe d'équivalence établit une relation entre chaque
-      effort de cohésion et les contraintes générées localement en
-      chaque point de la section. Pour les sollicitations complexes,
-      on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples
-      (principe de superposition).
-
-      Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont correctement
-      représentés lorsqu'on s'éloigne du point d'application. Ainsi,
-      si localement cette modélisation ne donne pas de bon résultats,
-      on peut les considérer comme presque corrects dès que la
-      distance au point d'application dépasse plusieurs fois le
-      diamètre de la section. Ce principe n'est valable que pour des
-      poutres massives, pour la plupart des autres cas il est faux. Il
-      faut en ce sens entendre « poutre massive » lorsqu'ici est
-      évoqué la notion de poutre.
-
-      Par la suite, la grandeur $S$ désigne l'aire de la section
-      droite.
-    \end{analysedoc}
-
-    \begin{analysedoc}
-      Version sans titre.
-      
-      Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques,
-      définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité
-      du problème (on reste en petites déformations), on peut
-      considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire
-      considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une
-      seule sollicitation simple.
-    \end{analysedoc}
-    
-    \begin{exoGuide}[\calcul]{15}{0}
-		
-      \textsc{Poussée sur une voile Flettner}
-			
-      On s'intéresse à la force exercée par un écoulement de vent
-      laminaire autour d'un cylindre (rayon \(R\), hauteur \(h\)). On
-      considère que le problème est invariant par translation selon
-      \(z\) (axe du cylindre) et on utilise des coordonnées polaires
-      dans le plan \(O,x,y\), l'origine étant sur l'axe du cylindre.
-      Loin du cylindre la pression est uniforme, égale à
-      \(p_{\infty}\), la vitesse du vent est elle aussi uniforme et
-      vaut \(v_{\infty}\vv{e}_x\).  L'air est considéré comme
-      incompressible, de masse volumique \(\mu\).
-						
-      \begin{questions}
-      \item Faire un schéma dans un plan \(z=Cte\).  Représenter les
-        vecteurs de la base polaire.
-				
-      \item On suppose d'abord le cylindre fixe dans le référentiel
-        d'étude.  Le champ de pression à la surface du cylindre admet
-        l'expression suivante:
-        \[p(R,\theta)=p_{\infty}+\frac{1}{2}\mu v_{\infty}^2-%
-        \frac{1}{2}\mu(2v_{\infty}\sin\theta)^2
-        \]
-        On cherche à déterminer la résultante des forces de pression
-        exercées par l'air sur le cylindre.
-        \begin{enumerate}
-        \item En considérant des éléments de surface symétriques dans
-          une relation géométrique simple, montrer que les
-          contributions des forces selon \(\vv{e}_x\) s'annulent.
-        \item \'{E}crire la force élémentaire correspondant à un
-          élément de surface du cylindre, en projection selon
-          \(\vv{e}_y\), puis l'intégrale qui donne la force totale
-          selon cet axe.  Déterminer sa valeur, soit explicitement,
-          soit en utilisant des considérations de symétrie.
-        \end{enumerate}
-      \item On suppose désormais que le cylindre est entraîné en
-        rotation autour de son axe.  Nous admettrons que la
-        perturbation du champ des vitesses due à cette rotation ajoute
-        un terme au champ de pression à la surface du cylindre, qui
-        devient:
-        \[p(R,\theta)=p_{\infty}+\frac{1}{2}\mu v_{\infty}^2-%
-        \frac{1}{2}\mu \left[-2v_{\infty}\sin\theta+\frac{\Gamma}{2\pi
-            R}\right]^2
-        \]
-        (où \(\Gamma\) est fonction du rayon du cylindre et de sa
-        vitesse angulaire de rotation \(\Gamma=2\pi \Omega R^2\)).
-			      	
-        Reprendre la détermination de la force exercée par l'air sur
-        ce cylindre.
-      \end{questions}
-						
-
-    \end{exoGuide}
-    \begin{correction}
-      Aucun texte de correction pour cet exercice ! J'ai
-      vérifié. C'est bien le cas. Dans la version précédente du
-      document, il y avait trois exercices (de A à C) et seulement
-      deux réponses correspondantes\dots{} Exemple typique de
-      l'avantage à coller la solution au texte de l'exercice.
-    \end{correction}
-  \end{ExosGuides}
-      
-  \begin{ExosApp}
-
-
-    % test caignot
-\begin{exoApp}[\calcul]{10}{1}[Asservissement de vitesse d'un moteur à courant continu]\label{Logique:chap2:exo_asserv_moteur}
-
-Le paragraphe \ref{SLCI:chap5:asserv_arduino_scilab} page \pageref{SLCI:chap5:asserv_arduino_scilab} a montré comment réaliser l'asservissement en position d'un moteur à courant continu à partir du module Arduino de Scilab. Néanmoins, cette solution a l'inconvénient d'être dépendant d'une connection USB entre l'ordinateur et la carte de commande. Pour développer une application embarquée pour un robot, il est nécessaire d'implanter le code dans le micro-contrôleur directement.
-
-le montage comporte une carte de commande Arduino, un hacheur PmodHB5 et un moteur à courant continu équipé d'un codeur incrémental (voir figure \ref{SLCI_chap5_montage_arduino} page \pageref{SLCI_chap5_montage_arduino}). Un potentiomètre impose une consigne de vitesse, mesurée sur la broche A0 du micro-contrôleur. Le hacheur admet en consigne un signal PWM connecté à la broche 5 et un signal logique de sens de rotation connecté à la broche 4.
-
-Le codeur incrémental délivre deux signaux carrés dont il faut compter les fronts montants ou descendants. Pour tenir compte immédiatement d'un front, les deux signaux sont connectés aux broches d'interruption 2 et 3 (interruptions 0 et 1). La figure \ref{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_signaux_codeur} montre les signaux mesurés pour les deux sens de rotation du moteur.
-
-
-\begin{figure}[!ht]
-\centering
-%\includegraphics[width=8cm]{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_signaux_codeur}
-%\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
-%\draw[fill=cyan!20] (0,0) -- ++(60:1) -- ++(1,0) node[midway,name=y2] {} 
-%                     -- ++(-120:2) node[midway,name=cs] {}
-%                     -- ($(0,0)+(120:1)+(-1,0)+(-60:2)$) node[midway,name=z] {} 
-%                     -- ++(120:2) node[midway,name=a] {}
-%                     -- ++(1,0) node[midway,name=y1] {} --cycle;
-%\draw[<-,>=latex] (y1.center) -- ++(0,.6) node[above] {$Y_1$};
-%\draw[<-,>=latex] (y2.center) -- ++(0,.6) node[above] {$Y_2$};
-%\draw[->,>=latex] (z.center) -- ++(0,-.6) node[below] {$Z$};
-%\draw[<-,>=latex] (a.center) -- ++(-1,0) node[left] {$A$};
-%\draw[->,>=latex] (cs.center) -- ++(1,0) node[right] {$C,S$};
-%\end{tikzpicture}
-\caption{Signaux issus du codeur incrémental pour les deux sens de rotation du moteur.}
-\label{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_signaux_codeur}
-\end{figure}
-
-
-L'objectif est de concevoir le programme d'asservissement à implanter dans le micro-contrôleur. La phase d'initialisation du programme est donnée ci-dessous :
-
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-int position=0;    // déplacement compté sur le codeur
-int b2, b3;        // état logique lu sur les broches 2 et 3
-int K=3;           // gain du correcteur proportionnel
-int ecart, consigne, vitesse;
-void setup() {
-pinMode(4, OUTPUT);   //Sortie sens moteur
-pinMode(5, OUTPUT);   //Sortie PWM
-attachInterrupt(0, frontBroche2, CHANGE);
-attachInterrupt(1, frontBroche3, CHANGE);
-}
-\end{lstlisting}
-
-Les fonctions \emph{frontBroche2} et \emph{frontBroche3} traitent les fronts des deux signaux codeur en incrémentant ou décrémentant la variable \emph{position} selon le sens de rotation.
-
-\begin{questions}
-\item Déterminer, lorsque le signal de la broche 2 vient de subir un front montant, la condition pour que le sens de rotation soit positif. En déduire l'équation logique permettant de déterminer, pour tous les fronts de la broche 2, si le sens est positif.
-\item Écrire la fonction \emph{frontBroche2} permettant d'incrémenter ou décrémenter la variable \emph{position} à chaque front de la broche 2. Écrire de même la fonction \emph{frontBroche3}.
-\interenum{La consigne moteur est réactualisée toutes les \SI{100}{ms}. Durant ce temps, la variable \emph{position} évolue. Au terme des \SI{100}{ms}, le rapport déplacement/temps donne la vitesse du moteur. Celle-ci peut alors être comparée à la consigne afin d'élaborer la commande moteur. L'asservissement de vitesse est uniquement dans le sens de rotation positif.}
-\item Proposer un schéma bloc fonctionnel traduisant l'asservissement de vitesse du moteur, en utilisant une correction proportionnelle.
-\item Traduire le schéma bloc sous la forme d'un programme.
-\item La consigne PWM est définie à partir d'un entier sur 8 bits (donc entre 0 et 255). Compléter le programme afin de saturer la commande moteur entre 0 et 255.
-\interenum{Le frottement sec dans le moteur ne permet pas à l'asservissement précédent d'être précis : si la vitesse atteint la consigne, la commande moteur devient nulle donc la vitesse diminue.}
-\item Proposer une modification du programme pour assurer une correction proportionnelle-intégrale.
-
-\end{questions}
-
-\end{exoApp}
-
-
-
-\begin{correction}
-
-\begin{questions}
-\item Lorsque le signal de la broche 2 vient de subir un front montant, le sens de rotation est positif si la broche 3 est à 0, et négatif si la broche 3 est à 1. De même pour un front descendant, le sens de rotation est positif si la broche 3 est à 1, et négatif si la broche 3 est à 0. L'équation logique déterminant, pour tous les fronts de la broche 2, si le sens de rotation est positif vaut $b2.\overline{b3}+\overline{b2}.b3$.
-\item Les fonctions traitées lors des interruptions levées sur les broche 2 et 3 sont donc :
-
-%%\begin{minipage}{0.47\linewidth}
-%%\lstset{language=C}
-%%\begin{lstlisting}
-%%void frontBroche2() {
-%%  b2=digitalRead(2);     // Lecture des états des broches
-%%  b3=digitalRead(3);     // juste après le front
-%%  if ( (b2 & !b3) | (!b2 & b3) ) {    // Condition
-%%     position++;         // Incrémentation (sens +)
-%%     }
-%%  else {
-%%     position--;         // Décrémentation (sens -)
-%%     }
-%%  }
-%%\end{lstlisting}
-%%\end{minipage}\hfill
-%%\begin{minipage}{0.47\linewidth}
-%%\lstset{language=C}
-%%\begin{lstlisting}
-%%void frontBroche3() {
-%%  b2=digitalRead(2);     // Lecture des états des broches
-%%  b3=digitalRead(3);     // juste après le front
-%%  if ( (b2 & b3) | (!b2 & !b3) ) {    // Condition
-%%     position++;         // Incrémentation (sens +)
-%%     }
-%%  else {
-%%     position--;         // Décrémentation (sens -)
-%%     }
-%%  }
-%%\end{lstlisting}
-%%\end{minipage}
-
-
-%% SANS LES COMMENTAIRES DANS LE PROGRAMME
-\begin{minipage}{0.47\linewidth}
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-void frontBroche2() {
-  b2=digitalRead(2);
-  b3=digitalRead(3);
-  if ( (b2 & !b3) | (!b2 & b3) ) {
-     position++;
-     }
-  else {
-     position--;
-     }
-  }
-\end{lstlisting}
-\end{minipage}\hfill
-\begin{minipage}{0.47\linewidth}
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-void frontBroche3() {
-  b2=digitalRead(2);
-  b3=digitalRead(3);
-  if ( (b2 & b3) | (!b2 & !b3) ) {
-     position++;
-     }
-  else {
-     position--;
-     }
-  }
-\end{lstlisting}
-\end{minipage}
-
-\item Le schéma bloc fonctionnel figure \ref{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_schema_bloc} montre le principe de l'asservissement. La rotation du potentiomètre conduit à une tension variable, convertie en entier par le CAN. Le codeur incrémental génère des tops qui sont comptés dans le micro-controleur. Le bloc $p$ désigne une dérivation, dans cet exercice le rapport du nombre de tops comptés sur le temps écoulé, permettant d'obtenir la vitesse de rotation en top pour \SI{0,1}{s}. Le bloc $K$ représente la correction proportionnelle, c'est-à-dire une simple amplification de l'écart $\varepsilon$.
-
-\begin{figure}[!ht]
-\centering
-%\includegraphics[width=10cm]{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_schema_bloc}
-\caption{Schéma bloc représentant l'architecture de l'asservissement.}
-\label{Logique_chap2_exo_asserv_moteur_schema_bloc}
-\end{figure}
-
-
-\item Le programme d'asservissement s'écrit dans la fonction \emph{loop()}.
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-void loop() {
-  consigne = analogRead(0);   // Mesure de la consigne
-  vitesse = position * 10;    // Vitesse = déplacement / 0.1s
-  ecart = consigne - vitesse;
-  commande = K * ecart;       // Correction proportionnelle
-  digitalWrite(4,HIGH);       // Sens +
-  analogWrite(5,commande);    // Génération du PWM de commande
-  delay(100);                 // Attente de 100 ms avant de reboucler
-  }
-\end{lstlisting}
-
-
-\item La saturation doit intervenir juste avant de générer le signal PWM par la commande \emph{analogWrite} en insérant le code suivant :
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-  if (commande > 255) commande = 255;
-  if (commande < 0) commande = 0;
-\end{lstlisting}
-
-\item L'action intégrale est réalisée en sommant l'écart à chaque boucle dans une variable \emph{integrale} qui sera prise en compte dans le calcul de la commande :
-\lstset{language=C}
-\begin{lstlisting}
-  ecart = consigne - vitesse;
-  integrale = integrale + ecart;          // Integration numérique
-  commande = K * ecart + integrale;       // Correction proportionnelle et intégrale
-\end{lstlisting}
-Il est évidement possible d'ajouter un coefficient en facteur de l'action intégrale, en faisant attention au fait que les calculs se font sur des entiers.
-\end{questions}
-
-\end{correction}
-
-
-
-%fin test caignot
-
-
-    \begin{exoApp}[\calcul]{25}{3}[Tour de magie]
-      Retenir l'eau dans un verre retourné avec une feuille d'eau.
-	
-      Expliquer comment un simple morceau de papier posé sur un verre
-      rempli d'eau peut permettre de retenir l'eau lorsque l'on
-      retourne l'ensemble, comme dans la figure
-      \ref{figVerreEauRetourne}.
-
-      \begin{compl}
-        Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques,
-        définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité
-        du problème (on reste en petites déformations), on peut
-        considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire
-        considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une
-        seule sollicitation simple.
-
-        Le principe d'équivalence établit une relation entre chaque
-        effort de cohésion et les contraintes générées localement en
-        chaque point de la section. Pour les sollicitations complexes,
-        on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples
-        (principe de superposition).
-
-        Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont
-        correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point
-        d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne
-        donne pas de bon résultats, on peut les considérer comme
-        presque corrects dès que la distance au point d'application
-        dépasse plusieurs fois le diamètre de la section. Ce principe
-        n'est valable que pour des poutres massives, pour la plupart
-        des autres cas il est faux. Il faut en ce sens entendre «
-        poutre massive » lorsqu'ici est évoqué la notion de poutre.
-
-        Par la suite, la grandeur $S$ désigne l'aire de la section
-        droite.
-      \end{compl}
-
-      \begin{figure}[h]
-        \begin{center}
-          \includegraphics[width=5cm, keepaspectratio=true]{tiger}
-        \end{center}
-        \label{figVerreEauRetourne}
-        \caption{Une feuille de papier retient l'eau dans le verre
-          retourné !}
-      \end{figure}
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      \textsc{Détailler encore la correction}
-						
-      \begin{enumerate}
-      \item On vérifie que la pression est uniforme et égale à \(p_0\)
-        loin de la sphère.  Ces trois conditions sont vérifiées avec
-        le champ des vitesses et le champ de pression proposés.
-      \item \textbf{Résultante des forces de pression} L'axe \(Oz\)
-        porte nécessairement la résultante des forces, vu la symétrie
-        de révolution du problème.
-			      
-        On conduit le calcul en intégrant les contributions
-        élémentaires, par couronnes comprises entre \(\theta\) et
-        \(\theta+d\theta\) et en projetant systématiquement chaque
-        contribution selon \(\vv{e}_z\).  On a alors:
-        \begin{align*}
-          \delta F_z&=-p(\theta)\,\delta S\,\cos\theta\\
-          \delta F_z&=-\left(p_0-\frac{3}{2}\eta
-            \frac{Ua}{a^2}\cos\theta\right)2\pi a\sin\theta
-          a\,\dd\theta\,\cos\theta\\
-          F_z&=(2\pi a)\left[\int_0^{\pi}-p_0\sin\theta\cos\theta
-            \dd\theta+%
-            \int_0^{\pi}\frac{3}{2}\frac{\eta U}{a}\cos^2\theta \sin\theta \dd\theta\right]\\
-          F_z&=2\pi
-          a^2p_0\left[\frac{\cos^2\theta}{2}\right]^{\pi}_0-(2\pi a^2)
-          \left(\frac{3}{2}\eta \frac{U}{a}\right)\left[\frac{\cos^3\theta}{3}\right]^{\pi}_0\\
-          F_z&=0+2\pi \eta U a
-        \end{align*}
-        \begin{equation}
-          \boxed{\vv{ F}_p=2\pi \eta U a\vv{e}_z}
-        \end{equation}
-      \end{enumerate}
-    \end{correction}
-    
-    \begin{exoApp}{30}{3}			
-      On considère une bille sphérique de rayon \(a\), maintenue
-      immobile dans le référentiel d'étude.  Un fluide incompressible
-      de masse volumique \(\rho\) s'écoule en régime stationnaire
-      autour de la bille. Loin de la bille le mouvement du fluide est
-      rectiligne uniforme, de vitesse \(U\vv{e}_z\), et la pression
-      vaut \(p_0\). La pesanteur est négligée.  On note \(\eta\) la
-      viscosité du fluide.
-      \begin{enumerate}
-      \item On admet que dans la limite des faibles
-        vitesses %nombres de Reynolds,
-        on puisse écrire, en coordonnées sphériques au point
-        \(M(r,\,\theta,\,\phi)\) :
-        \begin{align*}
-          p&=p_0-\frac{3}{2}\frac{\eta U a}{r^2}\cos\theta
-        \end{align*}
-        Discuter la compatibilité de ce champ avec le problème posé.
-      \item Déterminer la résultante des forces de pression.
-      \item On admet que les forces de viscosité produisent une
-        contribution similaire, deux fois plus importante. Exprimer la
-        force de frottement à laquelle la bille est soumise à petite
-        vitesse (formule de Stokes).
-      \end{enumerate}
-			
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      \begin{enumerate}
-      \item L'idée est d'intégrer la relation fondamentale de statique
-        des fluides.  La boule de fluide qui modélise une étoile est
-        placée dans le vide, la pression va donc s'annuler sur la
-        surface extérieure de la boule, en \(r=R_0\), ce qui fournit
-        une condition limite pour le champ de pression.  Il vient
-        donc, avec le champ de pesanteur fourni:
-        \begin{align*}
-          \grad p&=\mu \vv{g}\\
-          \diffp{p}{r}\vv{e}_r+\frac{1}{r}\diffp{p}{{\theta}}\vv{e}_{\theta}+%
-          \frac{1}{r\sin\theta}\diffp{p}{{\varphi}}\vv{e}_{\varphi}%
-          &=-\mu \times \frac{4\pi}{3} \mathcal{G} \rho \,r \,\vv{e}_r
-        \end{align*}
-        En projetant selon \(\vv{e}_{\theta}\) et
-        \(\vv{e}_{\varphi}\), on montre que la pression ne dépend ni
-        de \(\theta\) ni de \(\varphi\).  La projection selon
-        \(\vv{e}_r\) donne alors:
-        \begin{align*}
-          \diff{p}{r}&=-\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\\
-          \int_{p(R)}^{p(r)} \dd p&=\int_R^r -\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\,\dd r\\
-          p(r)-\cancel{p(R)}&=-%
-          \frac{4\pi\mathcal{G}
-            \rho}{3}\left(\frac{r^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)
-        \end{align*}
-        On peut exprimer la masse volumique:
-        \[\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\]
-        D'où l'expression de la pression en fonction des paramètres
-        demandés:
-        \begin{align*}
-          p(r)&=\frac{4\pi\mathcal{G} }{3}\times%
-          \frac{M}{{\frac{4}{3}\pi R_0^3}}\left(\frac{R^2}{2}-\frac{r^2}{2}\right)\\
-          p(r)&=\frac{\mathcal{G}M}{2R_0^3}(R^2-r^2)
-        \end{align*}
-			
-        La pression présente un profil parabolique, avec un maximum
-        bien sûr obtenu au centre de l'étoile et donné par:
-        \[p_\text{max}=\frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\]
-			
-        \begin{center}
-          \begin{tikzpicture}[thick, >=latex, scale=4]
-            \draw [->] (0,0) -- (1.25,0) node [anchor=south west]
-            {\(r/R_{0}\)}; \draw [->] (0,0) -- (0,1.25) node
-            [anchor=south west] {\(p/p_\text{max}\)} ; \draw plot
-            [domain=0:1] (\x,{-\x^2+1});
-          \end{tikzpicture}
-        \end{center}
-      \item On obtient la température avec la loi des gaz parfaits.
-        Il faut se ramener aux grandeurs demandées:
-        \begin{align*}
-          pV&=nRT\\
-          pV&=\frac{m}{M_H}RT\\
-          p&=\frac{\rho RT}{M_H}
-        \end{align*}
-        On a donc:
-        \begin{align*}
-          T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\,p_\text{max}\\
-          T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\times \frac{\mathcal{G}
-            M}{2R_0}
-        \end{align*}
-        On utilise \(\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\) et
-        \(R=\mathcal{N}_Ak_B\) pour finir.
-        \begin{align*}
-          T_\text{max}&=\frac{M_H}{\dfrac{M}{4\pi
-              R_0^3/3}\mathcal{N}_A\, k_B}\times %
-          \frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\\
-          T_\text{max}&=\frac{2\pi}{3}\times \frac{M_H
-            \mathcal{G}}{\mathcal{N}_A\, k_B}\times R_0^2
-        \end{align*}
-      \end{enumerate}
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoApp}[\calcul]{5}{0}
-      La différence entre eau douce et eau salée est-elle
-      significative pour un nageur ?
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      C'est encore pire que pour le chapitre précédent. Ici, il y a
-      sept énoncés d'exercices et on ne didpose que de deux corrigés.
-
-      Donc pas de correction pour le nageur en eau douce ou salée.
-      \begin{culturel}
-        Test d'un environnement de catégorie 4 bis dans la partie
-        Corrigés.
-      \end{culturel}
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoApp}{10}{1}
-      Dans un thermomètre de Galilée, on dispose dans une colonne de
-      liquide un ensemble d'ampoules de verre scellées, partiellement
-      remplies de liquide coloré, et dont la masse est précisément
-      ajustée grâce à de petits poids solides suspendus, sur lesquels
-      on lit une température.
-
-      % Chercher à expliquer le principe du thermomètre de
-      % Galilée.
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      Pas de correction pour le thermomètre de Galilée.
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoApp}{20}{2}
-      \begin{questions}
-      \item On considère une boule de fluide dans le vide, en
-        équilibre gravitationnel, de rayon \(R_0\), de masse volumique
-        supposée uniforme \(\rho\).  On admet ici que le champ de
-        pesanteur à l'intérieur de la boule de fluide peut s'écrire en
-        coordonnées sphérique sous la forme:
-        \[\vv{g}(r\leq R_0)=-\frac{4\pi}{3} \mathcal{G}
-        \rho \,r \,\vv{e}_r\] Déterminer le champ de pression \(p(r)\)
-        en fonction de la constante gravitationnelle \(\mathcal{G}\),
-        de la masse totale \(M\) de l'étoile, de \(r\) et \(R_0\).
-        Tracer le graphe de \(r\mapsto p(r)\).
-      \item En considérant que le fluide peut être modélisé par un gaz
-        parfait d'hydrogène (masse molaire \(M_H\)), en déduire la
-        température maximale \(T_\text{max}\) en fonction de \(M_H\),
-        \(\mathcal{G}\), \(R_0\), \(\mathcal{N}_A\) et \(k_B\).
-      \end{questions}
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      Pas de corrigé pour la boule de fluide dans le vide.
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoApp}{20}{2}
-      La compressibilité isotherme de l'eau, définie par
-      \(\chi_T=\dfrac{1}{V}\left(\diffp{V}{p}\right)_T\) est de
-      l'ordre \(\chi_\text{eau}=\SI{5e-10}{Pa^{-1}}\).  Quelle
-      pression faut-il exercer pour diminuer d'un centième la masse
-      volumique ?  Quel est l'ordre de grandeur de la profondeur
-      correspondante ?
-
-      \begin{methode}
-        Cette donnée mécanique est cruciale pour préparer les engins
-        qui vont étudier ces régions.
-      \end{methode}
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      Pas de correction pour la compressibilité isotherme de l'eau.
-    \end{correction}
-
-    \begin{exoApp}{10}{1}
-      Déterminer l'ordre de grandeur de la force exercée sur chaque
-      centimètre carré de notre peau, puis sur l'ensemble du dos par
-      la la pression atmosphérique.
-    \end{exoApp}
-    \begin{correction}
-      Sur \SI{1}{cm^2}, on a:
-      \[F=pS=10^5\times 10^{-4}=\SI{10}{N}.\]
-      Cette force correspond au poids d'une masse de \SI{1}{kg}.  Sur
-      le dos, d'aire environ \SI{0,5}{m^2}=\SI{500}{cm^2}, on a
-      l'équivalent du poids d'une masse de \SI{500}{kg} !
-
-      \begin{exemple}
-        Test d'un exemple (environnement de catégorie 4) dans un corrigé.
-      \end{exemple}
-    \end{correction}
-  \end{ExosApp}
-
-  \begin{ExosTP}
-    \begin{exoTP}{20}{1}
-      Énoncé d'un exercice de TP.
-    \end{exoTP}
-    \begin{correction}
-      Correction de l'exercice de TP.
-    \end{correction}
-  \end{ExosTP}
- 
+  \end{ExosConcs}
 \end{exercices}
 
-\chapter{Le langage SysML pour la modélisation des systèmes}
-
-\chapter{Le langage SysML pour la modélisation des systèm}
-
-\chapter{Le langage SysML pour la modélisation des syst}
-
-
-% \AfficheCorrections
-
-% \begin{ExosSynthese}
-%   \begin{exoSynthese}{25}{2}
-%     Essai d'exercice de synthèse afin de tester le mécanisme
-%     d'écriture des corrections en deux parties dans un même chapitre
-%   \end{exoSynthese}
-%   \begin{correction}
-%     Il s'agirait de la correction du premier exercice de synthèse.
-%   \end{correction}
-%   \begin{exoSynthese}{90}{3}
-%     Deuxième exercice de synthèse pour obtenir un essai plus réaliste.
-%   \end{exoSynthese}
-%   \begin{correction}
-%     Il s'agirait de la correction du deuxième exercice de synthèse.
-%   \end{correction}
-% \end{ExosSynthese}
-
-% \AfficheCorrectionsSynthese
-
-% \begin{corriges}
-  % \begin{CorrVF}
-  %   \begin{enumerate}
-  %   \item première réponse
-  %   \item deuxième réponse
-  %   \item troisième réponse
-  %   \end{enumerate}
-  %   %%% JCC %%% Qu'est-ce que cela vient faire ici !
-  %   L'augmentation de pression doit valoir \(\Delta
-  %   p=\dfrac{\frac{\Delta V}{V}}{\chi_T}=\SI{2e6}{Pa}\), ce qui
-  %   correspond à environ \SI{20}{m}.
-  % \end{CorrVF}
-
-  %%% JCC %%% Ce n'est pas un QCM !
-  % \begin{CorrQCM}
-  %   Sur \SI{1}{cm^2}, on a:
-  %   \[F=pS=10^5\times 10^{-4}=\SI{10}{N}\] Cette force correspond au
-  %   poids d'une masse de \SI{1}{kg}.  Sur le dos, d'aire environ
-  %   \SI{0,5}{m^2}=\SI{500}{cm^2}, on a l'équivalent du poids d'une
-  %   masse de \SI{500}{kg} !
-  % \end{CorrQCM}
-
-  % \begin{exemple}
-  %   Test d'un exemple (environnement de catégorie 4) dans un corrigé.
-  % \end{exemple}
-
-
-  % \begin{CorrExosGuides}
-
-    % \begin{corrige}
-    %   \begin{enumerate}
-    %   \item On obtient directement le champ de pression à partir de la
-    %     relation d'hydrostatique \(\Delta p=\mu g h\) entre la surface
-    %     du liquide et le point de cote \(z\):
-    %     \begin{align*}
-    %       p(z)-p(h)&=\mu g (h-z)\\
-    %       p(z)&=p_0+\mu g (h-z)
-    %     \end{align*}
-    %   \item
-    %     \begin{itemize}
-    %     \item Pour chaque paroi, il faut compter les forces associées
-    %       à la pression de l'air et celles associées à la pression de
-    %       l'eau pour les parties recouvertes d'eau.  Pour les parties
-    %       correspondant à \(z>h\), la pression est supposée uniforme
-    %       et égale à \(p_0\), donc la résultante des forces qui
-    %       s'exercent de part et d'autre de chaque plaque est nulle.
-    %     \item Considérons la surface correspondant à (\(0\leq x\leq
-    %       \ell,\, y=0 ,\,0\leq z \leq h)\).  La contribution de
-    %       l'élément de surface \(\dd x\dd z\) donne:
-    %       \begin{align*}
-    %         \vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd x\dd z \vv{e}_x -p_\text{eau} \dd x\dd z \vv{e}_y\\
-    %         \vv{\delta F}&=\big(p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big) \dd x\dd z \vv{e}_y\\
-    %         \vv{\delta F}&=\big(-\mu g (h-z)\big) \dd x\dd z\vv{e}_y
-    %       \end{align*}
-    %       On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette
-    %       plaque:
-    %       \begin{align*}
-    %         \vv{F}&=\int_{x=0}^{x=\ell}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd x\dd z\vv{e}_y \\
-    %         \vv{F}&=\mu g \ell \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_y \\
-    %         \vv{F}&=\mu g \ell \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_y \\
-    %         \vv{F}&=-\mu g \ell \frac{h^2}{2} \vv{e}_y \\
-    %       \end{align*}
-    %       Sur la plaque opposée, il s'exerce une force opposé, par
-    %       symétrie.
-    %     \item On conduit un calcul similaire pour la surface
-    %       correspondant à:%
-    %       \[x=0,\,0\leq y\leq L,\,0\leq z \leq h\] La contribution de
-    %       l'élément de surface \(\dd y\dd z\) donne:
-    %       \begin{align*}
-    %         \vv{\delta F}&=p_\text{air} \dd y\dd z \vv{e}_ -p_\text{eau} \dd y\dd z \vv{e}_x\\
-    %         \vv{\delta F}&=\big[p_0-(p_0+\mu g (h-z))\big] \dd y\dd z \vv{e}_x\\
-    %         \vv{\delta F}&=-\mu g (h-z) \dd y\dd z\vv{e}_x
-    %       \end{align*}
-    %       On intègre pour obtenir la résultante des forces sur cette
-    %       plaque:
-    %       \begin{align*}
-    %         \vv{F}&=\int_{y=0}^{y=L}\int_{z=0}^{z=h}\mu g (z-h) \dd y\dd z\vv{e}_x \\
-    %         \vv{F}&=\mu g L \int_{z=0}^{z=h}(z-h) \dd z\vv{e}_x \\
-    %         \vv{F}&=\mu g L \left(\frac{h^2}{2}-h^2\right)\vv{e}_x \\
-    %         \vv{F}&=-\mu g L \frac{h^2}{2} \vv{e}_x \\
-    %       \end{align*}
-    %       Sur la plaque opposée, on a la force opposée.
-    %     \item On obtient respectivement \SI{2,5}{kN} et \SI{3,7}{kN}
-    %       en prenant \(\mu=\SI{1,0}{kg.m^{-3}}\) et
-    %       \(g=\SI{10}{m.s^{-2}}\),%
-    %       forces qui correspondent aux poids de masses de
-    %       \SI{0,25}{tonnes} et \SI{0,37}{tonnes} respectivement.  La
-    %       résultante des forces est nulle, donc le centre d'inertie
-    %       est en équilibre, mais le calcul montre que des contraintes
-    %       fortes tendent à séparer les quatre plaques les unes des
-    %       autres. En pratique, des solutions reposant seulement sur de
-    %       la colle conduisent souvent à des problèmes d'étanchéité,
-    %       voire de rupture.  Il est préférable d'avoir recours à des
-    %       vis.
-    %     \end{itemize}
-				
-    %   \end{enumerate}
-    % \end{corrige}
-
-    % \begin{corrige}
-	
-    %   \textsc{début de rédaction à compléter}
-	
-    %   \begin{center}
-    %     \begin{tikzpicture}[thick, >=latex]
-    %       \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (A1) at (-2,0);
-    %       \coordinate (A2) at (2,0); \coordinate (B1) at (0,-1.5);
-    %       \coordinate (B2) at (0,1.5);
-				
-    %       \draw [->] (A1) -- (A2) node [anchor=south west] {\(x\)};
-    %       \draw [->] (B1) -- (B2) node [anchor=south west] {\(y\)};
-				
-    %       \draw (O) circle (1cm);
-				
-    %       \draw (O) --++(30:2) node {\tiny \(\bullet\)}; \draw [->]
-    %       (O) ++(30:2) -- +(30:.75) node [anchor=south]
-    %       {\(\vv{e}_{r}\)} ; \draw [->] (O) ++(30:2) -- +(120:.75)
-    %       node [anchor=south] {\(\vv{e}_{\theta}\)} ;
-				
-    %       \draw [->] (1.5,0) arc (0:30:1.5);; \path (1.75,.45) node
-    %       {\(\theta\)};
-				
-    %       \draw[->] (-3,1.85) -- ++(1,0) node [anchor=south west]
-    %       {\(\vv{v}_{\infty}\)};
-    %     \end{tikzpicture}
-    %   \end{center}
-          
-    %   % On a utilisé la valeur du dipôle obtenue précédemment :
-    %   % $D=-2\pi R^2 v_{\infty}$.
-
-    %   \begin{enumerate}
-    %   \item On s'intéresse à la composante selon $y$ de la résultante
-    %     des forces de pression. On va donc, pour la calculer, intégrer
-    %     les projections selon \(\vv{e}_y\) des contributions
-    %     élémentaires. Il vient :
-    %     \begin{align*}
-    %       \vv{dF}&=-p(R,\theta) \,\vv{\delta S}\\
-    %       dF_y&=-p\vv{e}_r\cdot\vv{e}_y \delta S\\
-    %       \frac{F_y}{L}&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}-p(R,\,\theta)R\dd\theta
-    %       \sin\theta
-    %     \end{align*}
-    %     Examinons les différents termes qui vont intervenir dans la
-    %     pression, lorsqu'on multiplie par \(\sin\theta\) et que l'on
-    %     intègre de 0 à \(2\pi\).
-    %     \begin{itemize}
-    %     \item Le terme constant \(p_{\infty}+\dfrac{1}{2}\mu
-    %       v_{\infty}^2-%
-    %       \dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{\Gamma}{2\pi R}\right)^2\) donne
-    %       une contribution nulle puisque \(\dint_{0}^{2\pi}\sin\theta
-    %       \dd\theta=0\)
-    %     \item Le terme en \(\sin^2\theta\) dans la pression donne
-    %       aussi une contribution nulle parce que
-    %       \(\dint_{0}^{2\pi}\sin^3\theta \dd\theta=0\)
-    %     \item Le seul terme non nul vient du double produit
-    %       \(\dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{4v_{\infty}\sin\theta
-    %           \Gamma}{2\pi R}\right)\)
-    %     \end{itemize}
-
-    %     On a donc :
-    %     \begin{align*}
-    %       \frac{F_y}{L}&=\int_{0}^{2\pi}-\left(\frac{1}{2}\mu%
-    %         \left(4\frac{v_{\infty}\Gamma}{2\pi R}\right)\right)Rd\theta \sin^2\theta\\
-    %       \frac{F_y}{L}&=-\mu v_{\infty} \Gamma
-    %       \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta
-    %     \end{align*}
-    %     \begin{equation}
-    %       \boxed{\frac{F_y}{L}=-\mu v_{\infty}\Gamma}
-    %     \end{equation}
-    %   \end{enumerate}
-    % \end{corrige}
-  % \end{CorrExosGuides}
-
-  % \begin{CorrExos}
-    
-    % \begin{corrige}
-    %   \textsc{Détailler encore la correction}
-						
-    %   \begin{enumerate}
-    %   \item On vérifie que la pression est uniforme et égale à \(p_0\)
-    %     loin de la sphère.  Ces trois conditions sont vérifiées avec
-    %     le champ des vitesses et le champ de pression proposés.
-    %   \item \textbf{Résultante des forces de pression} L'axe \(Oz\)
-    %     porte nécessairement la résultante des forces, vu la symétrie
-    %     de révolution du problème.
-			      
-    %     On conduit le calcul en intégrant les contributions
-    %     élémentaires, par couronnes comprises entre \(\theta\) et
-    %     \(\theta+d\theta\) et en projetant systématiquement chaque
-    %     contribution selon \(\vv{e}_z\).  On a alors:
-    %     \begin{align*}
-    %       \delta F_z&=-p(\theta)\,\delta S\,\cos\theta\\
-    %       \delta F_z&=-\left(p_0-\frac{3}{2}\eta
-    %         \frac{Ua}{a^2}\cos\theta\right)2\pi a\sin\theta
-    %       a\,\dd\theta\,\cos\theta\\
-    %       F_z&=(2\pi a)\left[\int_0^{\pi}-p_0\sin\theta\cos\theta
-    %         \dd\theta+%
-    %         \int_0^{\pi}\frac{3}{2}\frac{\eta U}{a}\cos^2\theta \sin\theta \dd\theta\right]\\
-    %       F_z&=2\pi
-    %       a^2p_0\left[\frac{\cos^2\theta}{2}\right]^{\pi}_0-(2\pi a^2)
-    %       \left(\frac{3}{2}\eta \frac{U}{a}\right)\left[\frac{\cos^3\theta}{3}\right]^{\pi}_0\\
-    %       F_z&=0+2\pi \eta U a
-    %     \end{align*}
-    %     \begin{equation}
-    %       \boxed{\vv{ F}_p=2\pi \eta U a\vv{e}_z}
-    %     \end{equation}
-    %   \end{enumerate}
-			
-    % \end{corrige}
-
-    % \begin{corrige}
-    %   \begin{enumerate}
-    %   \item L'idée est d'intégrer la relation fondamentale de statique
-    %     des fluides.  La boule de fluide qui modélise une étoile est
-    %     placée dans le vide, la pression va donc s'annuler sur la
-    %     surface extérieure de la boule, en \(r=R_0\), ce qui fournit
-    %     une condition limite pour le champ de pression.  Il vient
-    %     donc, avec le champ de pesanteur fourni:
-    %     \begin{align*}
-    %       \grad p&=\mu \vv{g}\\
-    %       \diffp{p}{r}\vv{e}_r+\frac{1}{r}\diffp{p}{{\theta}}\vv{e}_{\theta}+%
-    %       \frac{1}{r\sin\theta}\diffp{p}{{\varphi}}\vv{e}_{\varphi}%
-    %       &=-\mu \times \frac{4\pi}{3} \mathcal{G} \rho \,r \,\vv{e}_r
-    %     \end{align*}
-    %     En projetant selon \(\vv{e}_{\theta}\) et
-    %     \(\vv{e}_{\varphi}\), on montre que la pression ne dépend ni
-    %     de \(\theta\) ni de \(\varphi\).  La projection selon
-    %     \(\vv{e}_r\) donne alors:
-    %     \begin{align*}
-    %       \diff{p}{r}&=-\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\\
-    %       \int_{p(R)}^{p(r)} \dd p&=\int_R^r -\frac{4\pi\mathcal{G} \rho}{3}r\,\dd r\\
-    %       p(r)-\cancel{p(R)}&=-%
-    %       \frac{4\pi\mathcal{G}
-    %         \rho}{3}\left(\frac{r^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)
-    %     \end{align*}
-    %     On peut exprimer la masse volumique:
-    %     \[\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\]
-    %     D'où l'expression de la pression en fonction des paramètres
-    %     demandés:
-    %     \begin{align*}
-    %       p(r)&=\frac{4\pi\mathcal{G} }{3}\times%
-    %       \frac{M}{{\frac{4}{3}\pi R_0^3}}\left(\frac{R^2}{2}-\frac{r^2}{2}\right)\\
-    %       p(r)&=\frac{\mathcal{G}M}{2R_0^3}(R^2-r^2)
-    %     \end{align*}
-			
-    %     La pression présente un profil parabolique, avec un maximum
-    %     bien sûr obtenu au centre de l'étoile et donné par:
-    %     \[p_\text{max}=\frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\]
-			
-    %     \begin{center}
-    %       \begin{tikzpicture}[thick, >=latex, scale=4]
-    %         \draw [->] (0,0) -- (1.25,0) node [anchor=south west]
-    %         {\(r/R_{0}\)}; \draw [->] (0,0) -- (0,1.25) node
-    %         [anchor=south west] {\(p/p_\text{max}\)} ; \draw plot
-    %         [domain=0:1] (\x,{-\x^2+1});
-    %       \end{tikzpicture}
-    %     \end{center}
-    %   \item On obtient la température avec la loi des gaz parfaits.
-    %     Il faut se ramener aux grandeurs demandées:
-    %     \begin{align*}
-    %       pV&=nRT\\
-    %       pV&=\frac{m}{M_H}RT\\
-    %       p&=\frac{\rho RT}{M_H}
-    %     \end{align*}
-    %     On a donc:
-    %     \begin{align*}
-    %       T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\,p_\text{max}\\
-    %       T_\text{max}&=\frac{M_H}{\rho R}\times \frac{\mathcal{G}
-    %         M}{2R_0}
-    %     \end{align*}
-    %     On utilise \(\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}\) et
-    %     \(R=\mathcal{N}_Ak_B\) pour finir.
-    %     \begin{align*}
-    %       T_\text{max}&=\frac{M_H}{\dfrac{M}{4\pi
-    %           R_0^3/3}\mathcal{N}_A\, k_B}\times %
-    %       \frac{\mathcal{G} M}{2R_0}\\
-    %       T_\text{max}&=\frac{2\pi}{3}\times \frac{M_H
-    %         \mathcal{G}}{\mathcal{N}_A\, k_B}\times R_0^2
-    %     \end{align*}
-    %   \end{enumerate}
-    % \end{corrige}
-
-    % \begin{culturel}
-    %   Test d'un environnement de catégorie 4 bis dans la partie
-    %   Corrigés.
-    % \end{culturel}
-
-%   \end{CorrExos}
-
-% \end{corriges}
-
-% \chapter{Un autre chapitre}
-
-% La numérotation des titres de sections, exercices, etc. est remise à
-% zéro à chaque chapitre.
-
-% \begin{ExosTP}
-%   \begin{exoTP}{20}{1}
-%     Énoncé d'un exercice de TP.