Snippets

Camilo Rocha Basics on mathematical functions

Created by Camilo Rocha last modified
Funciones
=========

Una función f con conjunto de salida A y conjunto de llegada B, o
función de A en B, es una conjunto

 (i) de parejas (a,b) en donde a \in A y b \in B

(ii) en el cual si (a,b1) y (a,b2), entonces b1=b2

A la Condición (ii) la llamamos la propiedad de unicidad o propiedad
funcional. En este curso, una pareja (a,b) puede escribirse como:

  (a,,b)               o              a |-> b


A modo de ejemplo, considere los siguientes conjuntos A y B:

  A = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

  B = { compras, ropa, aseo, facturas }

Considere los siguientes conjuntos:

  f1 = { }                                 (Si es una función de A en B)

  f2 = { (lunes,martes) }                  (No es una función de A en B)

  f3 = { (lunes,ropa), (miércoles, aseo),
         (jueves,facturas), (viernes,ropa) } (Si es una función de A en B)

  f4 = { (lunes,ropa), (miércoles, aseo),
         (jueves,facturas), (lunes,ropa) }   (Si es una función de A en B)

  f5 = { (lunes,ropa), (miércoles, aseo),
         (jueves,facturas), (lunes,compras) } (No es una función de A en B)
  

Conceptos asociados a una función
---------------------------------

Considere dos conjuntos A y B. Se asocian los siguientes dos conceptos
a cualquier función f de A en B:

  dom(f) = { a \in A | hay un (a,b) \in f }

  ran(f) = { b \in B | hay un (a,b) \in f }

El conjunto dom(f) se llama el dominio de f, mientras que ran(f) se
llama el rango de f.

Considere los siguientes ejemplos, con base en las funciones del
ejemplo anterior:

  dom(f1) = { } = ran(f1).

  dom(f2) no está definido porque f2 no es una función de A en B;
  tampoco ran(f2).

  dom(f3) = { lunes, miércoles, jueves, viernes }    y
  ran(f3) = { ropa, aseo, facturas }

  dom(f4) = { lunes, miércoles, jueves }    y
  ran(f4) = { ropa, aseo, facturas }

Note que para cualquier función f de A en B se tiene que

  dom(f) es subconjunto de A
  ran(f) es subconjunto de B


Clasificación de funciones
--------------------------

Hay diferentes formas de clasificar las funciones. En este caso, nos
centramos en cómo una función relaciona los elementos del conjunto de
salida con los elementos en el conjunto de llegada.

Sea f una función de A en B.


  - f es total cuando dom(f) = A.

    Ejemplo: f(x) = sin x, con x \in reals

  - f es sobreyectiva cuando ran(f) = B.

    Ejemplo: f(x,y) = x + y, con x,y \in ints

  - f es inyectiva cuando a cada elemento en ran(f) le corresponde
    exactamente una preimagen en dom(f).

    Ejemplo: f(x) = x * x * x, con x \in reals

  - f es biyectiva cuando es sobreyectiva, inyectiva y total.

    Ejemplo: f(x) = x * x * x, con x \in reals


Representación de funciones
---------------------------

Hay diferentes maneras de representar funciones. En este curso, se
usarán tablas que permiten enumerar las parejas de una función.

Considere la función

  f3 = { (lunes,ropa), (miércoles, aseo), (jueves,facturas), (viernes,ropa) }

Esta función la podemos representar como tabla de la siguiente manera:

    A                       B
  ---------------------------------
  lunes                   ropa
  miércoles               aseo
  jueves                  facturas
  viernes                 ropa


Al considerar la función f3, agregándole la pareja (sábado,aseo),
se obtiene la función f4 de la siguiente manera

  f4 = f3  u  { (sábado,aseo) } 

la cual se puede representar como tabla de la siguiente manera

    A                       B
  ---------------------------------
  lunes                   ropa
  miércoles               aseo
  jueves                  facturas
  viernes                 ropa
  sábado                  aseo

Comments (0)