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File thermo-chaos-ja/_sources/canonical-distributions.txt

+カノニカル分布
+==============
+
+.. index:: エントロピー最大の原理
+
+エントロピー最大の原理
+----------------------
+
+次のような問題を考える. :math:`R` 個(巨大な数)の状態をとりうる系があっ
+て,その状態 :math:`i = 1,2,...,R` ひとつひとつにある量 :math:`M_i` (例:
+エネルギー) が割り当てられている. つまり,状態 :math:`i` があたえら
+れたらその量 :math:`M_i` が計算出来る (我々は計算方法を知っている).
+しかし,この系が状態 :math:`i` をとる確率 :math:`p_i` は未知.
+ここで,量 :math:`M_i` の平均値 :math:`M = \sum_{i=1}^R p_i M_i` が
+与えられた時,どんな確率分布 :math:`p_i` を考えるべきか?
+
+ここでこの問題をもう少し一般化し,いくつかの量に対して平均値が与えられ
+ているとする.これらの量を添字 :math:`\sigma` でラベルづけする.これらの
+量の平均値は
+
+.. math:: M^\sigma = \sum_{i=1}^R p_i M^\sigma_i
+   :label: m_mean
+
+と書くことができる.
+
+:math:`p_i` は確率なので,以下の正規化条件を満たさなければならない.
+
+.. math:: \sum_{i=1}^R p_i = 1
+   :label: p_normalized
+
+式 :eq:`m_mean` と :eq:`p_normalized` を満たす確率分布 :math:`p_i` は
+色々と考えることが出きる.ここで考えたい分布はこれらの条件以外の正当性
+の無い条件に依らない分布である.そこで,この確率分布のシャノン情報量
+
+.. math:: I(p) = \sum_i p_i \ln p_i
+
+を最小化する分布を考える.シャノン情報量の符号を反転させた量は
+シャノンエントロピー :math:`S = - I` であるので,シャノン情報量の
+最小化はシャノンエントロピーの最大化にあたる.この,シャノン
+エントロピーを最大化する条件は **エントロピー最大の原理** と呼ばれる.
+
+エントロピー最大の条件を変分の形で書くと :math:`\delta I(p) = 0` となる.
+他の条件 :eq:`m_mean` と :eq:`p_normalized` もあわせて :math:`p_i` の
+変分で書き表すと以下の条件を得る.
+
+.. math::
+
+   \delta I(p) = \sum_i (1 + \ln p_i) \delta p_i &= 0 \\
+   \sum_{i=1}^R M^\sigma_i \delta p_i &= 0 \\
+   \sum_{i=1}^R \delta p_i &= 0
+
+これら三式より,
+
+.. math::
+
+   \sum_i (1 + \ln p_i) \delta p_i
+   &= \underbrace{ \sum_i  \delta p_i }_{= 0}
+      + \sum_i (\ln p_i) \delta p_i \\
+   &= \sum_i (\ln p_i) \delta p_i \\
+   &= \sum_i (\ln p_i) \delta p_i
+      - \Psi \underbrace{\sum_i \delta p_i}_{=0}
+      + \sum_\sigma \beta_\sigma
+        \underbrace{\sum_i M^\sigma_i \delta p_i}_{=0} \\
+   &= \sum_i ( \ln p_i - \Psi + \beta_\sigma M^\sigma_i) \delta p_i
+
+を得る.ここで, :math:`\Psi` や :math:`\beta_\sigma` は任意の定数である.
+また,最後の式では :math:`\sum_\sigma \beta_\sigma M^\sigma_i` の
+:math:`\sum_\sigma` を省略して書いた.以下,ギリシャ文字の
+上付き添字と下付き添字が出てきたときにはこの添字に関して和をとる
+こととする [#]_ .
+
+値が 0 の項を引いたり足したりしているので意味の無い計算に見えるが,
+最後の式には :math:`p_i` の制約条件である式 :eq:`m_mean` と
+:eq:`p_normalized` と同じ数だけ未知の定数 :math:`\Psi` と
+:math:`\beta_\sigma` が含まれることに注意しよう.つまり,最後の式
+では :math:`\delta p_i` は制限されてないので,括弧の中身はすべての
+:math:`i` に対して 0 でなければならない.よって,
+
+.. math:: \ln p_i - \Psi + \beta_\sigma M^\sigma_i = 0.
+
+.. _generalized-canonical-distribution:
+.. index:: カノニカル分布, canonical distribution,
+           一般化正準分布,
+           一般化カノニカル分布, generalized canonical distribution,
+           Gibbs 分布, Gibbs distribution,
+           一般化自由エネルギー, generalized free energy,
+           示強量, intensity, 示量量, extensity
+
+この式の解 :math:`P_i` は
+
+.. math:: P_i = \exp( \Psi - \beta_\sigma M^\sigma_i )
+
+である.この分布は **一般化カノニカル分布** (**generalized canonical
+distribution**), **一般化正準分布** , または **Gibbs 分布**
+(**Gibbs distribution**) と呼ばれる. :math:`\Psi` は
+**一般化自由エネルギー** (**generalized free energy**),
+:math:`\beta_\sigma` は **示強量** (**intensity**),
+:math:`M^\sigma` は **示量量** (**extensity**) とそれぞれ呼ばれる.
+
+正規化条件より,
+
+.. math::
+
+   1 = \sum_i P_i = \exp(\Psi) \sum_i \exp( - \beta_\sigma M^\sigma_i )
+
+   \therefore \Psi = - \ln \sum_i \exp( - \beta_\sigma M^\sigma_i )
+
+:math:`\ln` の中身
+
+.. math:: Z = \sum_i \exp( - \beta_\sigma M^\sigma_i )
+
+は **分配関数** (**partition function**) と呼ばれる.
+:math:`\Psi` と :math:`P_i` は :math:`Z` を用いて
+
+.. math:: \Psi = - \ln Z
+.. math:: P_i = \frac{\exp( - \beta_\sigma M^\sigma_i )}{Z}
+
+と書ける.
+
+エントロピーを計算すると,
+
+.. math::
+
+   S = - I(P)
+   &= - \sum_i P_i \ln P_i \\
+   &= - \sum_i P_i ( \Psi - \beta_\sigma M^\sigma_i ) \\
+   &= - \Psi + \beta_\sigma M^\sigma
+
+となる.
+
+.. [#] アインシュタインの縮約記法と呼ばれる.
+
+
+.. index:: 自由エネルギー最小の原理
+.. _principle-of-minimum-free-energy:
+
+自由エネルギー最小の原理
+------------------------
+
+エントロピー最大の原理は示量量 :math:`M^\sigma` が与えられた場合に
+最も仮定の少ない分布を導く方法であった.では,示強量 :math:`\beta_\sigma`
+が与えられた場合の対応する原理はなんであろうか.実は,その原理は
+**自由エネルギー最小の原理** (:math:`\delta \Psi = 0`) であることを
+以下で導く.
+
+.. math:: \delta S = 0
+   :label: delta_s
+.. math:: \delta M^\sigma = 0
+   :label: delta_m
+
+これらの式は,与えられた (固定された) 示強量 :math:`\beta_\sigma`
+を用いて以下のように書ける [#]_ .
+
+.. math:: \delta (S - \beta_\sigma M^\sigma) = 0
+   :label: delta_s_beta_m
+
+確かに,これは自由エネルギー
+
+.. math:: \Psi[p] = S - \beta_\sigma M^\sigma
+          = \sum_{i=1}^R (p_i \beta_\sigma M^\sigma_i + p_i \ln p_i)
+
+を最小化する条件 :math:`\delta \Psi = 0` である.
+
+.. [#] 式 :eq:`delta_s` と :eq:`delta_m` から 式 :eq:`delta_s_beta_m`
+       は導けても逆は無理だが,問題無いか?
+       問題ない. 式 :eq:`delta_s` と :eq:`delta_m` は :math:`M^\sigma`
+       が与えられた時にカノニカル分布を得る条件であり,
+       式 :eq:`delta_s_beta_m` は :math:`\beta_\sigma`
+       が与えられた時にカノニカル分布を得る条件である.
+       問題設定が違うので,当然同値ではなくて良い.

File thermo-chaos-ja/_sources/dynamical-renyi-entropies.txt

+.. index:: Rényi エントロピー, Rényi entropy
+
+Rényi エントロピー
+==================
+
+.. _renyi-information:
+.. index:: Rényi 情報量, Rényi information
+
+Rényi 情報量
+------------
+
+確率分布 :math:`p_i` に対して **Rényi 情報量** (**Rényi information**)
+:math:`I_\beta` を次のように定義する:
+
+.. math:: I_\beta(p) := \frac{1}{\beta - 1} \ln \sum_{i=1}^r (p_i)^\beta.
+
+ここで :math:`\beta` は任意の実数をとるパラメタで, :math:`r` は :math:`p_i`
+が零でない状態 :math:`i` の数である.
+和は :math:`p_i` が非零の場合についてのみとられている.
+これは, :math:`\beta` がどんな実数をとっても良いようにである.
+
+いくつかの :math:`\beta` の値について :math:`I_\beta` を計算してみよう.
+:math:`\beta = 0` の場合は :math:`I_0(p) = - \ln r` となる.
+:math:`\beta = 1` の場合について計算するために, :math:`\epsilon = \beta -1`
+とおけば,
+
+.. math::
+
+   I_{\epsilon + 1}(p)
+   &= \frac{1}{\epsilon} \ln \sum_{i=1}^r (p_i)^{(\epsilon + 1)} \\
+   &= \frac{1}{\epsilon} \ln \sum_{i=1}^r \exp( (\epsilon + 1) (\ln p_i) ) \\
+   &\xrightarrow{\epsilon \to 0}
+      \left.
+      \frac{\sum_{i=1}^r (\ln p_i) \exp( (\epsilon + 1) (\ln p_i) )}
+           {\sum_{i=1}^r \exp( (\epsilon + 1) (\ln p_i) )}
+      \right|_{\epsilon = 0} \\
+   &= \frac{\sum_{i=1}^r p_i \ln p_i}{\sum_{i=1}^r p_i} \\
+   &= \sum_{i=1}^r p_i \ln p_i = I(p)
+
+を得る.つまり, :math:`I_1(p) = I(p)` であり,
+Shannon 情報量 :math:`I(p)` は Rényi 情報量の特別なケースである.
+
+
+.. _escort-distribution:
+
+.. index:: エスコート分布, escort distribution
+
+エスコート分布
+--------------
+
+確率分布 :math:`p_i` が与えられた時に,
+
+.. math:: P_i = \frac{(p_i)^\beta}{\sum_j^r (p_j)^\beta}
+
+で定義される確率分布は **エスコート分布** (**escort distribution**) と呼ばれる
+(ただしここでは :math:`p_i \neq 0` とする).
+
+エスコート分布は次のように書き直すことが出来る.
+
+.. math::
+
+   P_i &= \exp( \Psi - \beta b_i ) \\
+   b_i &= - \ln p_i \\
+   \Psi(\beta) &= - \ln Z(\beta) \\
+   Z(\beta) &= \sum_{i=1}^r \exp(- \beta b_i) = \sum_{i=1}^r p_i^\beta
+
+エスコート分布は :ref:`カノニカル分布 <generalized-canonical-distribution>`
+の形をしていることが分かる.ここで,
+:math:`b_i` はビット量 (bit-number) [#]_ ,
+:math:`\Psi` は自由エネルギー,
+:math:`Z(\beta)` は 分配関数である.
+
+.. [#] bit-number の訳語は「ビット番号」だと量(示量量)を表していると
+       分かり辛いので「ビット量」とした.もっと良い訳語があれば知りたい.
+
+:ref:`Rényi 情報量 <renyi-information>` :math:`I_\beta`,
+自由エネルギー :math:`\Psi(\beta)`,
+分配関数 :math:`Z(\beta)` には次の関係がある.
+
+.. math::
+
+   I_\beta(p)
+   = \frac{1}{\beta - 1} \ln \sum_{i=1}^r p_i^\beta
+   = \frac{1}{\beta - 1} \ln Z(\beta)
+   = - \frac{1}{\beta - 1} \Psi(\beta)
+
+
+
+記号列
+------
+
+.. _partition:
+.. index:: 分割, partition, セル, cell
+
+相空間 :math:`X` の :math:`R` 個の **セル** (**cell**) :math:`A_i`
+
+.. math:: \{ A \} := {A_1, A_2, \cdots, A_R}
+
+への **分割** (**partition**) を考える [#]_ .
+そして相空間 :math:`X` からの添字 :math:`i` への写像を
+
+.. math:: i(x) \defarrow x \in A_{i}
+
+で定義する.
+
+.. [#] 分割 :math:`\{ A \}` のセル同士は被らず,かつ相空間
+       を埋め尽くさなければならない.つまり,
+       :math:`A_i \cap A_j = \emptyset` (:math:`i \neq j`)
+       かつ :math:`\bigcup_{i=1}^R A_i = X` である.
+
+また,初期値 :math:`x_0` から始まる長さ :math:`N` の記号列
+:math:`j(x_0, N)` を
+
+.. math:: j(x_0, N) := \left( i(f^n(x_0)) \right)_{n=0}^{N-1}
+          = (i(x_0), i(x_1), \cdots, i(x_{N-1}))
+
+で定義する [#]_ .
+
+.. [#] つまり,記号列 :math:`j = (\iseq)` は
+       :math:`f^n(x_0) = x_n \in A_{i_n}` を満たす.
+
+.. index:: N-シリンダー, N-cylinder
+
+記号列 :math:`j = (\iseq)` を生成する初期値 :math:`x_0` 全体の集合は
+:math:`N`-**シリンダー** (:math:`N`-**cylinder**) と呼ばれ
+
+.. math:: J_j = J(\iseq) := \{x_0 | j(x_0, N) = j \}
+
+で定義される.
+
+長さ :math:`N` の記号列 :math:`j` の確率は, :math:`\pseq` または
+:math:`p(\iseq)` と書かれ,次のように定義される [#]_ .
+
+.. math:: \pseq = p(\iseq) := \int_{J(\iseq)} \D \mu(x)
+          = \int_{J(\iseq)} \D x \rho(x)
+
+ここで, :math:`\mu` は自然不変測度 (natural invariant measure) で
+:math:`\rho` は自然不変密度 (natural invariant density) である.
+
+.. [#] 記号列の確率 :math:`\pseq` は一般の測度 :math:`\sigma`
+       について定義することが出来る.つまり,
+
+       .. math:: \pseq := \int_{J(\iseq)} \D \sigma(x).
+
+
+.. _dynamical-renyi-entropy:
+.. index:: ダイナミカル Rényi エントロピー, dynamical Rényi entropy
+
+ダイナミカル Rényi エントロピー
+-------------------------------
+
+ここではまず, :ref:`エスコート分布 <escort-distribution>`,
+分配関数,Rényi 情報量,そして Rényi エントロピー
+を力学系の記号列の確率分布 :math:`\pseq` に関して定義する.
+すなわち,
+ダイナミカルエスコート分布 :math:`\Pseq` ,
+ダイナミカル分配関数 :math:`\Zdyn_N`,
+ダイナミカル Rényi 情報量 :math:`I_\beta` を以下のように定義する.
+
+.. math:: \Pseq = \frac{\pob{\pseq}}{\sum_{j'} \pob{\pseq[j']}}
+   :label: dynamical-escort-distribution
+.. math:: \Zdyn_N = \sum_j \pob{\pseq}
+   :label: dynamical-partition-function
+.. math:: I_\beta = \oobmo \ln Z(\beta) = \ooomb \Psi(\beta)
+   :label: dynamical-renyi-information
+
+ここで,負の Rényi 情報量
+
+.. math:: H_\beta = H_\beta(\mu, \{A\}, N) = - I_\beta = \ooomb \ln Z(\beta)
+
+の :math:`N \to \infty` を
+
+.. math:: h_\beta (\mu, \{A\}) = \limooN H_\beta = \limooN \ooomb \ln \Zdyn
+
+と書くことにする. :math:`h_\beta (\mu, \{A\})` を全ての分割
+:math:`\{A\}` についての上限 :math:`\sup_{\{A\}}` [#]_ を とった値
+
+.. math:: K(\beta) = \sup_{\{A\}} h_\beta (\mu, \{A\})
+   :label: dynamical-renyi-entropy
+
+を **ダイナミカル Rényi エントロピー** (**dynamical Rényi entropy**)
+あるいは単に
+**Rényi エントロピー** (**Rényi entropy**)
+と呼ぶ.
+
+.. [#] 上限 :math:`\sup_{\{A\}}` はセルについての上限 :math:`\sup_{A_i}`
+       *ではなく*, 分割 :math:`\{A\}` のとり方についての上限であることに
+       注意.
+
+分割 :math:`\{A\}` が生成的分割 [#]_ の場合,これは
+上限 :math:`\sup_{\{A\}}` を実現する分割であり [#]_ ,その場合には
+Rényi エントロピー は
+
+.. math:: K(\beta) = - \limooN I_\beta = \limooN \ooomb \ln \sum_j \pob{\pseq}
+   :label: dynamical-renyi-entropy-genep
+
+で与えられる.
+
+.. [#] 生成的分割とは,無限長の記号列 :math:`i_0, i_1, \cdots` から
+       初期値 :math:`x_0` が一意に決まる分割である.
+.. [#] 生成的分割が上限を与えるかについての証明は [Beck1993]_
+       には載っていなかった.
+
+       .. todo:: 生成的分割が Rényi エントロピー の上限を与えることに
+                 ついての説明を加える
+
+
+
+.. index:: 位相エントロピー, topological entropy
+
+位相エントロピー :math:`K(0)`
+^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
+
+:math:`\beta = 0` の場合の Rényi エントロピー は
+**位相エントロピー** (**topological entropy**) と呼ばれる.
+式 :eq:`dynamical-renyi-entropy-genep` に :math:`\beta = 0` を代入すると
+
+.. math:: K(0) = \limooN \ln \# \{j(N)\}
+
+となる.ここで :math:`\{j(N)\} := \{j | \pseq \neq 0 \}` は長さ
+:math:`N` のとり得る記号列の集合を,
+:math:`\# \{j(N)\}` はその集合の要素の数を表している.
+つまり,位相エントロピー :math:`K(0)` は記号列が :math:`N`
+について増えていく割合を表している.
+
+
+
+.. index:: KS エントロピー, KS entropy,
+           Kolmogorov-Sinai エントロピー, Kolmogorov-Sinai entropy
+
+Kolmogorov-Sinai エントロピー :math:`K(1)`
+^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
+
+:math:`\beta = 0` の場合の Rényi エントロピー は
+**Kolmogorov-Sinai エントロピー** (**Kolmogorov-Sinai entropy**) あるいは
+**KS エントロピー** (**KS entropy**) と呼ばれる.
+Shannon 情報量 が :math:`\beta = 1` の場合の
+:ref:`Rényi 情報量 <renyi-information>` であったことを思い出せば,
+:math:`\beta = 1` を式 :eq:`dynamical-renyi-entropy-genep` に代入すると
+
+.. math:: K(1) = - \limooN I(\pseq[]) = \limooN \sum_j \pseq \ln \pseq
+
+を得る. 以下では KS エントロピー を :math:`h` で表す.
+生成的分割が分からない場合の Rényi エントロピー の定義式
+:eq:`dynamical-renyi-entropy` と同様に, KS エントロピー :math:`h` は
+
+.. math:: h := h(\mu) = \sup_{\{A\}} h (\mu, \{A\})
+          = \sup_{\{A\}} \limooN \sum_j \pseq \ln \pseq
+   :label: ks-entropy
+
+は定義される.ただし,
+
+.. math::
+
+   h(\sigma) &:= \sup_{\{A\}} h (\sigma, \{A\}) \\
+   h(\sigma, \{A\}) &:= \limooN \sum_j \pseq \ln \pseq.
+
+:math:`h(\sigma)` は一般の測度 :math:`\sigma` について定義された
+KS エントロピー である.

File thermo-chaos-ja/_sources/gibbs-measures-and-srb-measures.txt

+.. index:: Gibbs measure, SRB measure, Sinai-Ruelle-Bowen measure
+           Gibbs 測度, SRB 測度, Sinai-Ruelle-Bowen 測度
+.. _gibbs-measures-and-srb-measures:
+
+Gibbs 測度 と SRB 測度
+======================
+
+位相圧力の カノニカル分布 :math:`P(\xk)` は,自由エネルギー
+
+.. math::
+
+   \Psi_N(\beta, p)
+   = \sum_j \left[ \pseq \beta N E_N(\xk[0][j]) \pseq \ln \pseq \right]
+
+を最小化する分布 :math:`\Pseq[] = \arg \min_p \Psi_N(\beta, p)`
+として導くことが出来る
+(:ref:`principle-of-minimum-free-energy` を参照).
+ここで, 分布 :math:`\Pseq[]` が
+
+.. math::
+
+   \pseq = \sigma(J_j^{(N)})
+   = \int_{J_j^{(N)}} \D \sigma(x)
+   = \int_{J_j^{(N)}} \D x \rho (x)
+
+のように 測度 :math:`\sigma` や 密度 :math:`\rho` に依存していることを
+考えれば, :math:`\min_p` は :math:`\min_\sigma` などと読みかえる
+ことが出来る.
+
+さて, 自由エネルギー最小の原理 では確率分布 :math:`\Pseq[]`
+すなわち 測度 :math:`\sigma` に特別な制約は無かった.
+ここで, 測度を不変測度 :math:`\mu` のみに制約して 最小の
+自由エネルギー :math:`\min_\mu \Psi_N(\beta, p)` を探す問題を考える.
+実は, **拡大的** (**expanding**) または **双曲型** (**hyperbolic**)
+力学系では :math:`N \to \infty` で,この自由エネルギー最小を
+実現する分布は,制約なしの場合のカノニカル分布に収束することが知られている.