Source

tkf.bitbucket.org / thermo-chaos-ja / topological-pressure.html

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  <div class="section" id="topological-pressure">
<span id="index-0"></span><span id="id1"></span><h1>位相圧力<a class="headerlink" href="#topological-pressure" title="Permalink to this headline"></a></h1>
<div class="section" id="id2">
<h2>定義<a class="headerlink" href="#id2" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p>軌跡の局所拡大率 <img class="math" src="_images/math/c70490da1875e52fb5841f57bb2db28109d9d711.png" alt="E_N(x_0)"/></p>
<div class="math" id="equation-local-expansion-rate">
<p><span class="eqno">(1)</span><img src="_images/math/8f989732de66911f3339d7c0732a725bff7cf287.png" alt="E_N(x_0) := \ooN \ln |{f^N}'(x_0)| = \ooN \sum_{n=0}^{N-1} \ln |f'(x_n)|" /></p>
</div><p>で定義する. ここでは初期値 <img class="math" src="_images/math/17f1249ad95b7682b8316ad21de8ce4ee9fdcf93.png" alt="x_0"/> のとり方に依らない拡大率を
考えたいので,初期値のアンサンブル <img class="math" src="_images/math/45725367611a5e4e87fe0b5a740ff6d6373b5d99.png" alt="\{\xk\}"/> を考えその上で
熱力学的に扱う.そのために,分配関数 <img class="math" src="_images/math/5f46ad6f7c1f8c87f6c620ca00254662d51bacff.png" alt="\Ztop_N"/>カノニカル分布 <img class="math" src="_images/math/6361e0be0623d1684f984ed504c95583b0f86836.png" alt="P(\xk)"/> を以下のように定義する.</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/71206e7cda475fb8c47e8417831cb55a280c8eb8.png" alt="\Ztop_N(\beta)
&amp;:= \sum_{k=1}^{K(N)} \exp \left( - \beta N E_N(\xk) \right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K(N)}
   \exp \left( - \beta \sum_{n=0}^{N-1} \ln |f'(\xk[n])| \right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K(N)} |{f^N}'(\xk)|^{-\beta}" /></p>
</div><div class="math">
<p><img src="_images/math/d30a1f6cce019edea8ef04a46e14f59b6f9c7ef7.png" alt="P(\xk) := \frac{1}{\Ztop_N(\beta)}
\exp \left( - \beta N E_N(\xk) \right)" /></p>
</div><p>ここで, <img class="math" src="_images/math/c4e37d581c30a02fff8718f459e6efee814865ce.png" alt="\xk[n] := f^n (\xk)"/><img class="math" src="_images/math/4d7cb4f42efc017261c37a2307e52ff0fa10a435.png" alt="K(N) = \# \{ \xk \}"/>
である.</p>
<p>初期値のアンサンブル <img class="math" src="_images/math/45725367611a5e4e87fe0b5a740ff6d6373b5d99.png" alt="\{\xk\}"/> として,ここでは
<img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダーの集合 <img class="math" src="_images/math/100f6399132861baef29b3614104b7977f1719fb.png" alt="\{J_j\}"/> を考える <a class="footnote-reference" href="#id4" id="id3">[1]</a><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー からは初期値のとり方は一意には決まらないので,
<img class="math" src="_images/math/794463eb73fa32cb4593da83a416afd61d6eab1e.png" alt="\xk[0][j] \in J_j"/> を満たす初期値を適当に選ぶ.</p>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id4" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id3">[1]</a></td><td><p class="first">実はアンサンブル <img class="math" src="_images/math/45725367611a5e4e87fe0b5a740ff6d6373b5d99.png" alt="\{\xk\}"/> のとり方は <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダーの集合
だけではない.</p>
<div class="admonition-todo last admonition " id="index-1">
<p class="first admonition-title">Todo</p>
<p class="last">アンサンブル <img class="math" src="_images/math/45725367611a5e4e87fe0b5a740ff6d6373b5d99.png" alt="\{\xk\}"/> のとり方は色々あって,
双曲型力学系ならそれらのとり方に依存しないなどの
話題にも触れる.</p>
</div>
</td></tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>位相圧力</strong> (<strong>topological pressure</strong>) は
「一分子あたりの自由エネルギー」 <img class="math" src="_images/math/53f63ffb5ba0abf5c243aab1b0c21d06cb653e4c.png" alt="\ln \Ztop_N"/> の熱力学的極限として</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/1d84b0889449bfde6aea2ac3b0969b3714e968a1.png" alt="\Ftop(\beta) := \limooN \ln \Ztop_N(\beta)" /></p>
</div><p>と与えられる.</p>
</div>
<div class="section" id="topological-pressure-and-length-scale">
<span id="id5"></span><h2>幾何的な意味<a class="headerlink" href="#topological-pressure-and-length-scale" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p><a class="reference internal" href="dynamical-renyi-entropies.html#partition"><em>分割</em></a> <img class="math" src="_images/math/3a55639304a2de4ac266057be0520a725942b1a6.png" alt="\{A\} = {A_1, A_2, \cdots, A_R}"/>
のセル <img class="math" src="_images/math/34857b3ba74ce5cd8607f3ebd23e9015908ada71.png" alt="i"/> の長さを <img class="math" src="_images/math/4c6759431ae5276357305758563bff1e89d4e53e.png" alt="|A_i|"/><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー
<img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> の長さを <img class="math" src="_images/math/d4884ba10b103c8dc1e46e0b4cafbb2a434c2442.png" alt="l_j^{(N)} = |J_j^{(N)}|"/>
と表すことにする. また,記号列 <img class="math" src="_images/math/422e13d8b40a81f8162d80555dca81413f02a199.png" alt="j = (\iseq)"/> の最後の記号
<img class="math" src="_images/math/20d10f3b682d2c2f431649711934b4315a90266f.png" alt="i_{N-1}"/><img class="math" src="_images/math/3245b5434e01873cd3e0c31e978e805bfdd033a7.png" alt="j_{[-1]} := i_{N-1}"/> で表すことにする.</p>
<p><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー <img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> の定義より <img class="math" src="_images/math/c68536e2875fa4f2e5180ff06187d0887645b3a3.png" alt="J_j^{(N+1)}"/> <a class="footnote-reference" href="#id8" id="id6">[2]</a>
<img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/> 回,写像 <img class="math" src="_images/math/bb2c93730dbb48558bb3c4738c956c4e8f816437.png" alt="f"/> を適用すると,分割のセル <img class="math" src="_images/math/f93cef58db9daec6e698c220df28d82b44ddf82e.png" alt="j_{[-1]}"/>
を得る.すなわち,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/e7c23e7c142bb03df168d082f2ab6c47715c60a9.png" alt="A_{j_{[-1]}} = f^N (J_j^{(N+1)})" /></p>
</div><p>さて, <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/> 回の反復により,微小区間 <img class="math" src="_images/math/1eb29f9de3753a59530941141fcb5c7aa3fa2e38.png" alt="\Delta x"/><img class="math" src="_images/math/55a1b599d8fc5e37a8406c505bc0e26300bb9f95.png" alt="|{f^N}'(x)| \Delta x"/> に写像される.ここで,分割が生成的分割の場合は
<img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー <img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/>一点 <img class="math" src="_images/math/7de1372f34f371588b83c4c48cf130bc57fb0071.png" alt="\xk[0][j]"/> に収束する <a class="footnote-reference" href="#id9" id="id7">[3]</a> から, <img class="math" src="_images/math/2d76d851224460c8fa733ff387fa07da98ee74b7.png" alt="{f^N}(x)"/><img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> を写像した区間の長さは</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/6ea19daef2982963bbb94d5b6d66cc75843602c3.png" alt="|f^N (J_j^{(N+1)})|
= |{f^N}'(\xk[0][j])| \, |J_j^{(N+1)}|
= |{f^N}'(\xk[0][j])| \, l_j^{(N+1)}" /></p>
</div><p>となる(ただし <img class="math" src="_images/math/17cfb19085eb20221b3a4e7b31bbb655689292ae.png" alt="\xk[0][j] \in J_j^{(N+1)}"/>).
以上の二式をあわせれば, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/d7d28eb5e556a787be10808a4db92b0a07254409.png" alt="|A_{j_{[-1]}}| = |{f^N}'(\xk[0][j])| \, l_j^{(N+1)}" /></p>
</div><p>が成立することが分かる.これは,軌跡の局所拡大率
<img class="math" src="_images/math/cf43f02b5987119a87475e835973c536f021e145.png" alt="E_N(x_0) = \ooN \ln |{f^N}'(x_0)|"/>
<a href="#equation-local-expansion-rate">(1)</a> を用いて,</p>
<div class="math" id="equation-local-expansion-rate-and-cylinder">
<p><span class="eqno">(2)</span><img src="_images/math/c918877fb0b00fc0d99ff8bb21a7b6ca2dd260a0.png" alt="\frac{l_j^{(N+1)}}{|A_{j_{[-1]}}|}
= |{f^N}'(\xk[0][j])|^{-1}
= \exp \left( - N E_N(\xk[0][j]) \right)" /></p>
</div><p>と書き直すことが出来る.</p>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id8" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id6">[2]</a></td><td><img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> ではなくて <img class="math" src="_images/math/c68536e2875fa4f2e5180ff06187d0887645b3a3.png" alt="J_j^{(N+1)}"/> であることに注意.
記号列 <img class="math" src="_images/math/b4430aad260f8e995bc9053221442766c3b73107.png" alt="j = \iseq"/> には初期値に対応する記号 <img class="math" src="_images/math/1b5590d608ffe24233396eb2e4f8ca142ae42963.png" alt="i_0"/><img class="math" src="_images/math/a256c70ad4c46ec1127c5be68f8bb3075e9ced31.png" alt="N-1"/> 回の反復に対応する <img class="math" src="_images/math/a256c70ad4c46ec1127c5be68f8bb3075e9ced31.png" alt="N-1"/> 個の記号
<img class="math" src="_images/math/2ef9ae7fb8a31f87c94d7e2ca304cb278e3d5590.png" alt="i_1, \cdots i_{N-1}"/> が含まれていることを思い出そう.</td></tr>
</tbody>
</table>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id9" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id7">[3]</a></td><td>生成的分割は無限長の記号列から初期値が決まる.すなわち,
記号列を生成する初期値の集合である <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー
は一点になる.</td></tr>
</tbody>
</table>
<p>この関係式から,分割関数 <img class="math" src="_images/math/fd22dd925d754543c385c6ee2006ae01f2876b54.png" alt="\Ztop"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/f6037891b716e9cec93075daa3064b1c8274f3c9.png" alt="\Ztop_N(\beta) = \sum_j \pob{\frac{l_j^{(N+1)}}{|A_{j_{[-1]}}|}}" /></p>
</div><p>と書けることが分かる.分割のセル数は有限であるから, <img class="math" src="_images/math/7b9c30653fbad124d4c4a5dd6428d39829c112ef.png" alt="|A_{j_{[-1]}}|"/>
には最小値 <img class="math" src="_images/math/00322295674c54c5413520f7493470ff32ae3cec.png" alt="c_1"/> と最大値 <img class="math" src="_images/math/a6d4142d351ef99cc26a94e44c1912d904dd4a0c.png" alt="c_2"/> が存在する.
ゆえに, <img class="math" src="_images/math/94743da67e328791ae9ab18722eb0783f1201bfe.png" alt="\beta &gt; 0"/> の場合は,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/0bbfcb299d199515344f41f52187b57f843ec621.png" alt="c_2^{-\beta} \sum_j \pob{l_j^{(N+1)}}
\le \Ztop_N(\beta) \le
c_1^{-\beta} \sum_j \pob{l_j^{(N+1)}}" /></p>
</div><p>が成り立つ. 各辺に <img class="math" src="_images/math/b74c2f56a1025254d767f5821733b6064208d834.png" alt="\frac{1}{N+1} \ln"/> を適用して,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/e3ef35af5361204bf7dfc6ec74ba75a5e2517353.png" alt="&amp;
\frac{1}{N+1} \ln c_2^{-\beta} + \frac{1}{N+1} \ln \sum_j \pob{l_j^{(N+1)}}
\\ \le&amp; \frac{1}{N+1} \ln \Ztop_N(\beta) \\ \le&amp;
\frac{1}{N+1} \ln c_1^{-\beta} + \frac{1}{N+1} \ln \sum_j \pob{l_j^{(N+1)}}" /></p>
</div><p>を得る. <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> では <img class="math" src="_images/math/00322295674c54c5413520f7493470ff32ae3cec.png" alt="c_1"/><img class="math" src="_images/math/a6d4142d351ef99cc26a94e44c1912d904dd4a0c.png" alt="c_2"/>
に依存する項は消えるので,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/fc025968ebbe188625068c991703b1b0f1c2c01e.png" alt="\frac{1}{N+1} \ln \Ztop_N(\beta)
= \frac{1}{N+1} \ln \sum_j \pob{l_j^{(N+1)}}" /></p>
</div><p>を得る.両辺は, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/dda17cce0a5a12731a3896790ffc320125a54d81.png" alt="\Ftop(\beta) = \limooN \ln \sum_j \pob{l_j^{(N)}}" /></p>
</div><p>となる. <img class="math" src="_images/math/6c91781cdae8bfea45a3c015c8af8f26b1ed42a6.png" alt="\beta &lt; 0"/> の場合でも同様の議論が成り立つ.
以上の議論より,分配関数</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/311c4de7e4607654977c86ebec4163135e357cb9.png" alt="\ZtopL_N(\beta) := \sum_j \pob{l_j^{(N)}}" /></p>
</div><p>から, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> の極限で <img class="math" src="_images/math/4ded8af3d2a79a483a534e90080e18adff1821c4.png" alt="\Ztop(\beta)"/> と同様の
自由エネルギー密度 <img class="math" src="_images/math/705ac32118e62bc7b95348085ac331b2965c4588.png" alt="\Ftop(\beta)"/> を計算することが出来ること
が分かる.つまり, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> の極限で <img class="math" src="_images/math/b8cad47d1bbf9dc004ec14fc9366f371a1da2825.png" alt="\Ztop_N(\beta)"/>
<img class="math" src="_images/math/356fe2cd2a2c92e8ca5fee8a615ed082a4f67bdf.png" alt="\ZtopL_N(\beta)"/> は区別する必要が無い.</p>
<p>また,同様の議論から, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> の極限で
位相圧力 の カノニカル分布 <img class="math" src="_images/math/0818bdb742af1adb1d7d2dbc5d47cd9637d630dd.png" alt="P(\xk[0][j])"/></p>
<div class="math" id="equation-pseq-scale-l">
<p><span class="eqno">(3)</span><img src="_images/math/9cb2fcca82113cb8908404b6aedc0f1b6604bb3d.png" alt="P(\xk[0][j]) \sim \frac{\pob{l_j^{(N)}}}{\sum_j \pob{l_j^{(N)}}}" /></p>
</div><p>とスケールすることが分かる. 具体的な計算は, <a class="reference internal" href="#appendix-pseq-scale-l"><em>補足: 位相圧力のカノニカル分布のシリンダー長による近似</em></a>
を参照.</p>
</div>
<div class="section" id="escape-rate">
<span id="index-2"></span><span id="id10"></span><h2>流出率<a class="headerlink" href="#escape-rate" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p><img class="math" src="_images/math/ed74e1fe1af469dda3514568dd916dfe462d2575.png" alt="\beta = 1"/> の場合の位相圧力は,</p>
<div class="math" id="equation-ztopl_1">
<p><span class="eqno">(4)</span><img src="_images/math/f9a663291cec9bdd65543194c042c1c978c12cf8.png" alt="\ZtopL_N(1) = \sum_j l_j^{(N)}" /></p>
</div><p>である. 一次元写像の場合, <img class="math" src="_images/math/ffbf0e3d6449ddf18d2352976ba403dc41dd46b5.png" alt="N=1"/> ならこれは位相空間の長さを
与える <a class="footnote-reference" href="#id13" id="id11">[4]</a> .ここで,この一次元写像のすべての軌跡のうちいくらかが
有限ステップ内で相空間 <img class="math" src="_images/math/6a47ca0fe7cb276abc022af6ac88ddae1a9d6894.png" alt="X"/> の外へ出て行ってしまうような力学系
を考える. <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/> ステップ後に残っている全ての軌跡は
<img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダーの中から出発した軌跡であるから (軌跡が相空間内
にあれば,対応する記号列が存在する), 式 <a href="#equation-ztopl_1">(4)</a><img class="math" src="_images/math/d43891b6932e2ed0959cb8b47a2d407d0fa1e5ac.png" alt="\ZtopL_N(1)"/> は, <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/> ステップ後に残っている全ての軌跡の
「数」を与えることが分かる.</p>
<p>軌跡が指数関数的に減っていく場合,係数 <img class="math" src="_images/math/da61bb0fa48fe71269aebf9c8e56b39275813994.png" alt="\kappa"/> を用いて</p>
<div class="math" id="equation-escape-rate-scaling">
<p><span class="eqno">(5)</span><img src="_images/math/88c05f34a661bf7b3f8439a26766ecc580537482.png" alt="\ZtopL_N(1) = \sum_j l_j^{(N)} \sim \exp (- \kappa N)" /></p>
</div><p>と書ける.ここで <img class="math" src="_images/math/e55156a4008b0944ad00d5bc71bc5aa6315aabb7.png" alt="\sim"/> は定数倍を無視して等しいことを表す.
これを <img class="math" src="_images/math/da61bb0fa48fe71269aebf9c8e56b39275813994.png" alt="\kappa"/> について書けば,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/f63f5358f2f6cebc8dff1dda91bfb1591fa0e40e.png" alt="\kappa
= - \frac{1}{N} (\ln \ZtopL_N(1) + \text{const.})
\xrightarrow{N \to \infty} - \Ftop(1)" /></p>
</div><p>を得る.すなわち, <img class="math" src="_images/math/ed74e1fe1af469dda3514568dd916dfe462d2575.png" alt="\beta = 1"/> の場合の位相圧力は軌跡が
相空間 <img class="math" src="_images/math/6a47ca0fe7cb276abc022af6ac88ddae1a9d6894.png" alt="X"/> から逃げていく率 <img class="math" src="_images/math/da61bb0fa48fe71269aebf9c8e56b39275813994.png" alt="\kappa"/> を表す.
この <img class="math" src="_images/math/da61bb0fa48fe71269aebf9c8e56b39275813994.png" alt="\kappa"/> を 流出率 <a class="footnote-reference" href="#id14" id="id12">[5]</a> (escape rate) と呼ぶ.</p>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id13" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id11">[4]</a></td><td><a class="reference internal" href="dynamical-renyi-entropies.html#partition"><em>分割</em></a> <img class="math" src="_images/math/3a55639304a2de4ac266057be0520a725942b1a6.png" alt="\{A\} = {A_1, A_2, \cdots, A_R}"/>
<img class="math" src="_images/math/074429413afa0da234796cab1f713aecd9b8c5fd.png" alt="\bigcup_{i=1}^R A_i = X"/> を満たすことを思い出そう.</td></tr>
</tbody>
</table>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id14" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id12">[5]</a></td><td>日本語の訳語は知らないので今適当に考えた.
正しい訳語があれば置き換える予定.
中国語だと「逃脱率」というようである.</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div class="section" id="appendix-pseq-scale-l">
<span id="id15"></span><h2>補足: 位相圧力のカノニカル分布のシリンダー長による近似<a class="headerlink" href="#appendix-pseq-scale-l" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p>位相圧力 のカノニカル分布</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/23594333135aa7fdf8657de325e79abc96d1cee3.png" alt="P(\xk[0][j]) := \frac{1}{\Ztop_N(\beta)}
\exp \left( - \beta N E_N(\xk[0][j]) \right)" /></p>
</div><p>は, 自由エネルギー</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/052a8082f64632bc29d97c89dd5790189abc2e6f.png" alt="\Psi_N(\beta, p)
= \sum_j \left[ \pseq \beta N E_N(\xk[0][j]) + \pseq \ln \pseq \right]" /></p>
</div><p>を最小化する確率分布であり, 自由エネルギー と 分配関数 <img class="math" src="_images/math/5f46ad6f7c1f8c87f6c620ca00254662d51bacff.png" alt="\Ztop_N"/>
には</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/5e02d4509c3b4ea0fbb0a4fd8bf7128eacc06639.png" alt="\min_p \Psi_N(\beta, p) = \Psi_N(\beta, P) = \Psi_N(\beta)
= - \ln \Ztop_N(\beta)" /></p>
</div><p>なる関係があった. 位相圧力 は, この 自由エネルギー (の符号を反転した値)
の1ステップあたりの大きさ</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/3500bd2c44d10260b1d229e6ec3fe3e8456ff06e.png" alt="\Ftop(\beta) = - \limooN \Psi_N(\beta)" /></p>
</div><p>で定義されていた.</p>
<p>ここで, カノニカル分布が, <img class="math" src="_images/math/b37def453f4ace585171c2d094080f973bb1992a.png" alt="\ZtopL_N"/><img class="math" src="_images/math/5f46ad6f7c1f8c87f6c620ca00254662d51bacff.png" alt="\Ztop_N"/>場合と同様に, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/e97f0624d3d51687646983e668b3419e0c4c2991.png" alt="\tilde P(\xk[0][j]) = \frac{\pob{l_j^{(N)}}}{\sum_j \pob{l_j^{(N)}}}" /></p>
</div><p>とスケールすることを示す.</p>
<p><a href="#equation-local-expansion-rate">(1)</a>, <a href="#equation-local-expansion-rate-and-cylinder">(2)</a>
を思い出せば,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/415342e011ac89f78da721a497ac0e43e88e9176.png" alt="E_N(x_0) = \ooN \ln |{f^N}'(x_0)|
= - \ooN \ln \frac{l_j^{(N+1)}}{|A_{j_{[-1]}}|}" /></p>
</div><p>とかけるので, 自由エネルギーは以下のように計算できる.</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/f8ec37b2f26bd065a5f9671ecde78148924ee3a3.png" alt="\Psi_{N-1}(\beta, \tilde P)
&amp;= \sum_j \left[ \tilde P(\xk[0][j]) \beta N E_{N-1}(\xk[0][j])
                 + \tilde P(\xk[0][j]) \ln \tilde P(\xk[0][j]) \right] \\
&amp;= \sum_j \tilde P(\xk[0][j])
   \left[ - \beta \ln \frac{l_j^{(N)}}{|A_{j_{[-1]}}|}
          + \ln \frac{\pob{l_j^{(N)}}}{\sum_{j'} \pob{l_{j'}^{(N)}}}
   \right] \\
&amp;= \sum_j \tilde P(\xk[0][j])
   \left[ \beta \ln |A_{j_{[-1]}}|
          - \ln \sum_{j'} \pob{l_{j'}^{(N)}}
   \right] \\
&amp;= \sum_j \tilde P(\xk[0][j])
   \left[ \beta \ln |A_{j_{[-1]}}|
          - \ln \ZtopL_N(\beta)
   \right]" /></p>
</div><p>ここで, <img class="math" src="_images/math/b37def453f4ace585171c2d094080f973bb1992a.png" alt="\ZtopL_N"/> の時と同様に, 分割のセル数は有限だから,
<img class="math" src="_images/math/7b9c30653fbad124d4c4a5dd6428d39829c112ef.png" alt="|A_{j_{[-1]}}|"/> は最小値と最大値が存在して
<img class="math" src="_images/math/483af1e7a2ffefc6e00c222b0c03373cf379f72f.png" alt="c_1 \le |A_{j_{[-1]}}| \le c_2"/> と挟み込めることを利用すれば,
<img class="math" src="_images/math/a94c504beef546a33494a7820d5fbd2a1658200e.png" alt="[...]"/> 内の <img class="math" src="_images/math/8122aa89ea6e80784c6513d22787ad86e36ad0cc.png" alt="j"/> 依存の項をなくすことが出来る.
<img class="math" src="_images/math/fca9d498ccfcd2d7a1864d523705cabcb5e27b8a.png" alt="\beta \ge 0"/> の場合 (<img class="math" src="_images/math/6c91781cdae8bfea45a3c015c8af8f26b1ed42a6.png" alt="\beta &lt; 0"/> の場合は <img class="math" src="_images/math/00322295674c54c5413520f7493470ff32ae3cec.png" alt="c_1"/><img class="math" src="_images/math/a6d4142d351ef99cc26a94e44c1912d904dd4a0c.png" alt="c_2"/> を入れ替える), <img class="math" src="_images/math/d6ef8a29d3821df5632b83e293ffcf98a880e2fe.png" alt="\Psi_{N-1}(\beta, \tilde P)"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/b9a0d7713c62be2c6beb30e8caa81e8fe1ce8f11.png" alt="\beta \ln c_1
- \ln \ZtopL_N(\beta)
\le
\Psi_{N-1}(\beta, \tilde P)
\le
\beta \ln c_2
- \ln \ZtopL_N(\beta)" /></p>
</div><p>と評価出来る. <img class="math" src="_images/math/a256c70ad4c46ec1127c5be68f8bb3075e9ced31.png" alt="N-1"/> で割って <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> での振る舞いを
考えれば,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/56857b01e6e155cd1ebc5414766d2afcb9bbaf3b.png" alt="\underbrace{ \ooN[N-1] \beta \ln c_1 }_{\to 0}
\underbrace{ - \ooN[N-1] \ln \ZtopL_N(\beta)
             }_{\to - \Ftop(\beta)}
\le \\
\ooN[N-1] \Psi_{N-1}(\beta, \tilde P)
\le \\
\underbrace{ \ooN[N-1] \beta \ln c_2 }_{\to 0}
\underbrace{ - \ooN[N-1] \ln \ZtopL_N(\beta)
             }_{\to - \Ftop(\beta)}" /></p>
</div><p>より,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/2e98f07f4b3321f6c8745eca70041c97d15e97c0.png" alt="\ooN[N-1] \Psi_{N-1}(\beta, \tilde P)
\to - \Ftop(\beta)" /></p>
</div><p>となることが分かる.</p>
<p>よって, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/><img class="math" src="_images/math/027061d4ec4bf370ec03ac7433b492c9c7836e49.png" alt="\tilde P"/><img class="math" src="_images/math/4b4cade9ca8a2c8311fafcf040bc5b15ca507f52.png" alt="P"/>
から,同じ位相圧力 <img class="math" src="_images/math/705ac32118e62bc7b95348085ac331b2965c4588.png" alt="\Ftop(\beta)"/> が計算出来るので,
位相圧力を計算することが目的ならばこの二つは区別する必要が無い.</p>
</div>
</div>


<h1>Comments</h1>
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  <h3><a href="index.html">Table Of Contents</a></h3>
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<li><a class="reference internal" href="#">位相圧力</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#id2">定義</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#topological-pressure-and-length-scale">幾何的な意味</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#escape-rate">流出率</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#appendix-pseq-scale-l">補足: 位相圧力のカノニカル分布のシリンダー長による近似</a></li>
</ul>
</li>
</ul>

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                        title="next chapter">Perron-Frobenius 演算子</a></p>
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  </ul>
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