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    <title>Gibbs 測度 と SRB 測度 &mdash; カオスの熱力学 (勉強中)</title>
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  <div class="section" id="gibbs-srb">
<span id="gibbs-measures-and-srb-measures"></span><span id="index-0"></span><h1>Gibbs 測度 と SRB 測度<a class="headerlink" href="#gibbs-srb" title="Permalink to this headline"></a></h1>
<p>位相圧力の カノニカル分布 <img class="math" src="_images/math/6361e0be0623d1684f984ed504c95583b0f86836.png" alt="P(\xk)"/> は,自由エネルギー</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/052a8082f64632bc29d97c89dd5790189abc2e6f.png" alt="\Psi_N(\beta, p)
= \sum_j \left[ \pseq \beta N E_N(\xk[0][j]) + \pseq \ln \pseq \right]" /></p>
</div><p>を最小化する分布 <img class="math" src="_images/math/2d3226aa67748139b156df813d7827b188cf6f60.png" alt="\Pseq[] = \arg \min_p \Psi_N(\beta, p)"/>
として導くことが出来る
(<a class="reference internal" href="canonical-distributions.html#principle-of-minimum-free-energy"><em>自由エネルギー最小の原理</em></a> を参照).
ここで, 分布 <img class="math" src="_images/math/ccc8022ed7c27823fd109455b58773568b9b455f.png" alt="\Pseq[]"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/048588ad002d37e881be919a5def4cc6c7d2c20d.png" alt="\pseq = \sigma(J_j^{(N)})
= \int_{J_j^{(N)}} \D \sigma(x)
= \int_{J_j^{(N)}} \D x \rho (x)" /></p>
</div><p>のように 測度 <img class="math" src="_images/math/fa35d9fc104207e09a712110ac81612c5b279a6c.png" alt="\sigma"/> や 密度 <img class="math" src="_images/math/0027034d8a10372a06deaf4f4084c01956587479.png" alt="\rho"/> に依存していることを
考えれば, <img class="math" src="_images/math/9a3a8c09fb9ad6c3b01b5fe2c8bc2f1837158429.png" alt="\min_p"/><img class="math" src="_images/math/e998d7fefc543c83fcb698c941134f5906407fed.png" alt="\min_\sigma"/> などと読みかえる
ことが出来る.</p>
<p>さて, 自由エネルギー最小の原理 では確率分布 <img class="math" src="_images/math/ccc8022ed7c27823fd109455b58773568b9b455f.png" alt="\Pseq[]"/>
すなわち 測度 <img class="math" src="_images/math/fa35d9fc104207e09a712110ac81612c5b279a6c.png" alt="\sigma"/> に特別な制約は無かった.
ここで, 測度を不変測度 <img class="math" src="_images/math/2d8c833ed800824727cd7bd2fb9de1a12ad7e674.png" alt="\mu"/> のみに制約して 最小の
自由エネルギー <img class="math" src="_images/math/14305a8923c8c06249a40f2cd44080163a89e89b.png" alt="\min_\mu \Psi_N(\beta, p)"/> を探す問題を考える.
実は, <strong>拡大的</strong> (<strong>expanding</strong>) または <strong>双曲型</strong> (<strong>hyperbolic</strong>)
力学系では <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/> で,この自由エネルギー最小を
実現する分布は,制約なしの場合のカノニカル分布に収束することが知られている.
この自由エネルギー最小を実現する測度は <strong>Gibbs 測度</strong> (<strong>Gibbs measure</strong>)
と呼ばれる.</p>
<p>より詳しくは, Gibbs 測度 <img class="math" src="_images/math/e65fb3ce55995c08991faa44d2cfbe6c99762181.png" alt="\mu_\beta"/> から導かれる分布 <img class="math" src="_images/math/3f4bd5d3efbe2041065e5f18823c7cc307e52031.png" alt="\Pseq"/></p>
<div class="math" id="equation-gibbs-measure-canonical-prob">
<p><span class="eqno">(1)</span><img src="_images/math/1cb62bf1ecea6380c7d76592fb87c19606e5b6e4.png" alt="\Pseq
= \mu_\beta(J_j^{(N)})
= c_j^{(N)} \PseqL
= c_j^{(N)} \exp \left( - N \Ftop(\beta) - \beta N E_N(\xk[0][j]) \right)" /></p>
</div><div class="math">
<p><img src="_images/math/d0a3b221f5ffd60ae0eecd830ec7a8eb58c51c02.png" alt="\PseqL = \exp \left( - N \Ftop(\beta) - \beta N E_N(\xk[0][j]) \right)" /></p>
</div><p>の形で書け, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/> に依存しない定数で
<img class="math" src="_images/math/fe0e6580c5f53d78727ecd4fd3954d318002e929.png" alt="c_1 \le c_j^{(N)} \le c_2"/> のように バウンドされている.
<img class="math" src="_images/math/27e5ae1bb3f3d8bfa8e3a7c70fddb47516422373.png" alt="\PseqL"/> は制約なしの場合のカノニカル分布である.</p>
<p>また, <img class="math" src="_images/math/bd0841c3936bc875fefe9192ca5209033f156466.png" alt="\beta=1"/> の場合の Gibbs 測度 は
<strong>Sinai-Ruelle-Bowen 測度</strong> または <strong>SRB 測度</strong>
(<strong>Sinai-Ruelle-Bowen measure</strong>) と呼ばれ, 自然不変測度 と一致する.</p>
<div class="admonition-todo admonition " id="index-1">
<p class="first admonition-title">Todo</p>
<p class="last">Gibbs 測度が不変測度の中で位相圧力最大を与える解であることを示す.
<a class="reference internal" href="refs.html#beck1993">[Beck1993]</a> には詳しい説明が無い.
<a class="reference internal" href="refs.html#bowen2008">[Bowen2008]</a> に証明がまとまっているのを見つけたが,関数解析
の知識が必要.</p>
</div>
<p>(stub)</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/406eb865522d0e241a0fb4be77299cab19fa2d0a.png" alt="\Ftop(\beta)
= \sup_\mu \lim_{N \to \infty} \left(- \frac{1}{N} \Psi_N(\beta, p) \right)" /></p>
</div><div class="section" id="perron-frobenius">
<h2>Perron-Frobenius 演算子との関係<a class="headerlink" href="#perron-frobenius" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p>この節では, 式 <a href="#equation-gibbs-measure-canonical-prob">(1)</a> が不変測度となる
要請から, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/> の値を決定する.</p>
<p>拡大的 (expanding) 力学系 ならば,マルコフ分割が存在する <a class="footnote-reference" href="#id5" id="id3">[1]</a> ので,
<img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー <img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> の逆像は,
<img class="math" src="_images/math/f7a1d178284ff1610746d7b8039b834e68949b19.png" alt="(N+1)"/>-シリンダー <img class="math" src="_images/math/723d7b078db6ac4338ca430ec702c48d46c70c1d.png" alt="J_{k_l}^{(N+1)}"/> の和で表せる.</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/173c7183ff2b44610b93a86500a679a92d347193.png" alt="J_j^{(N)} = \bigcup_{\tau=1}^l J_{k_\tau}^{(N+1)}" /></p>
</div><p>つまり, Gibbs 測度 <img class="math" src="_images/math/e65fb3ce55995c08991faa44d2cfbe6c99762181.png" alt="\mu_\beta"/> には</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/fd83a4eb479c19b80700098b877f3eb8b874b88b.png" alt="\mu_\beta(J_j^{(N)})
= \mu_\beta(J_{k_1}^{(N)}) + \cdots
+ \mu_\beta(J_{k_l}^{(N)})
= \sum_{\tau=1}^l \mu_\beta(J_{k_\tau}^{(N+1)})" /></p>
</div><p>の関係式が成立する. 式 <a href="#equation-gibbs-measure-canonical-prob">(1)</a> をこの式に
代入すれば次の関係式が得られる.</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/03fe014103d76ba81dcaa18d30c81e63aebb0bf5.png" alt="c_j^{(N)} &amp; \exp \left( - N \Ftop(\beta) - \beta N E_N(\xk[0][j]) \right) \\
= \sum_{\tau=1}^l
c_{k_\tau}^{(N+1)} &amp;
\exp \left( - (N+1) \Ftop(\beta)
            - \beta (N+1) E_{N+1}(\xk[0][k_\tau]) \right)" /></p>
</div><p>両辺を <img class="math" src="_images/math/1bd775a1228c29313e5c50ca6a2dfa5e0e2e0de1.png" alt="\exp(- N \Ftop(\beta))"/> で割って,</p>
<div class="math" id="equation-cj-relation">
<p><span class="eqno">(2)</span><img src="_images/math/c169f4d122dcb08e4462b6df9364de724edfd216.png" alt="&amp;
c_j^{(N)} \exp \left( \beta N E_N(\xk[0][j]) \right) \\
&amp;= \exp (- \Ftop(\beta))
\sum_{\tau=1}^l c_{k_\tau}^{(N+1)}
\exp \left( \beta (N+1) E_{N+1}(\xk[0][k_\tau]) \right)" /></p>
</div><p>ここで,軌跡の局所拡大率 <img class="math" src="_images/math/c70490da1875e52fb5841f57bb2db28109d9d711.png" alt="E_N(x_0)"/> の定義
(参照: <a class="reference internal" href="topological-pressure.html#topological-pressure"><em>位相圧力</em></a>)</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/8f989732de66911f3339d7c0732a725bff7cf287.png" alt="E_N(x_0) := \ooN \ln |{f^N}'(x_0)| = \ooN \sum_{n=0}^{N-1} \ln |f'(x_n)|" /></p>
</div><p>を思い出せば,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/63055077ffb824e7a75d35993019953acd8c2b6d.png" alt="\exp \left( - \beta N E_N(x_0) \right)
&amp;= \exp \left( - \beta \sum_{n=0}^{N-1} \ln |f'(x_n)| \right) \\
&amp;= \left( \prod_{n=0}^{N-1} |f'(x_n)| \right)^{-\beta} \\
&amp;= \left| {f^N}'(x_0) \right|^{-\beta}" /></p>
</div><div class="math">
<p><img src="_images/math/1e1e539334c84102b028c7124c58749745f5d829.png" alt="\exp \left( - \beta (N+1) E_{N+1}(x_0) \right)
= \left| {f^{N+1}}'(x_0) \right|^{-\beta}" /></p>
</div><p>と書き直すことが出来る.</p>
<p><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー <img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/><img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/>一点に収束するから, <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダーの集合上の関数 <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/>
は, 相空間上の関数とみなせる. この関数を <img class="math" src="_images/math/920d76ff898b5f4c18aaae835de2e472405e3133.png" alt="\rho(x)"/> とおく <a class="footnote-reference" href="#id9" id="id4">[2]</a>また, <img class="math" src="_images/math/7de1372f34f371588b83c4c48cf130bc57fb0071.png" alt="\xk[0][j]"/><img class="math" src="_images/math/2161d18703853671aad734259e69d4c40e09b928.png" alt="\xk[0][k_\tau]"/><img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー の収束先で置き換えられる.
まとめると, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/76c16efd342502d16506de4189a820b1149c3aa7.png" alt="\xk[0][j] &amp;\to y \\
\xk[0][k_\tau] &amp;\to x_\tau \\
c_j^{(N)} &amp;\to \rho(y) \\
c_{k_\tau}^{(N+1)} &amp;\to \rho(x_\tau)" /></p>
</div><p>となる. ここで, <img class="math" src="_images/math/f7a1d178284ff1610746d7b8039b834e68949b19.png" alt="(N+1)"/>-シリンダー は <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー
の逆像だったから, <img class="math" src="_images/math/6e5d1bcbc9ac74a12b5f6732d7255669b54d25bd.png" alt="f(x_\tau) = y"/> が成り立つことに注意.</p>
<p>以上を 式 <a href="#equation-cj-relation">(2)</a> に代入して,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/727d90f54cc65f0ded1d7de3d623df4b236e7de2.png" alt="\rho(y) \left| {f^N}'(y) \right|^{-\beta}
= \exp (- \Ftop(\beta))
\sum_{\tau=1}^l \rho(x_\tau)
{\underbrace{ \left| {f^{N+1}}'(x_\tau)
\right|}_{= |f'(x_\tau) {f^N}'(y)|}}^{-\beta}" /></p>
</div><p>を得る. この式を整理すれば</p>
<div class="math" id="equation-re-gene-perron-frobenius-eq">
<p><span class="eqno">(3)</span><img src="_images/math/3d0f68d1c2f146de16682d2141bb0156e7574bfb.png" alt="\rho(y)
= \exp (- \Ftop(\beta))
\sum_{\tau=1}^l \rho(x_\tau) \left| f'(x_\tau) \right|^{-\beta}" /></p>
</div><p>となる. この式 <a href="#equation-re-gene-perron-frobenius-eq">(3)</a> は,
一般化した Perron-Frobenius の式である.
<img class="math" src="_images/math/bd0841c3936bc875fefe9192ca5209033f156466.png" alt="\beta=1"/> を代入すれば,</p>
<div class="math" id="equation-re-perron-frobenius-eq">
<p><span class="eqno">(4)</span><img src="_images/math/3625825400e147582bebfe4df6dea665ba91754b.png" alt="\rho(y) = \exp (\kappa) \sum_{\tau=1}^l
\rho(x_\tau) \left| f'(x_\tau) \right|^{-1}" /></p>
</div><p>となる. これは, 流出 (escape) のある場合の Perron-Frobenius の式
とみなすことが出来る. 流出が無い場合は, <img class="math" src="_images/math/0544f690b92d76645e7f4c401c3086069dfc815a.png" alt="\kappa=0"/>
通常の Perron-Frobenius の式 を得る. つまり, <img class="math" src="_images/math/920d76ff898b5f4c18aaae835de2e472405e3133.png" alt="\rho(x)"/>自然不変密度 であることが予想される.</p>
<p>自然不変密度 であるためには,規格化(相空間全体で積分した値が1)されてな
ければならないから, <img class="math" src="_images/math/5fcdb312d37614acb5d27fd0b5ea94b24c609228.png" alt="\rho(x) \to A \rho_\beta(x)"/> (<img class="math" src="_images/math/019e9892786e493964e145e7c5cf7b700314e53b.png" alt="A"/>: 定数)
と置き換えて,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/8c62f01c5480a07e810336df9caad8a3ab37d407.png" alt="\lim_{N\to\infty} c_j^{(N)} = A \rho_\beta(\xk[0][j])" /></p>
</div><p>を得る.</p>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id5" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id3">[1]</a></td><td><p class="first">らしい. 力学系の基礎 (<a class="reference internal" href="refs.html#id2">[国府2000]</a>) によれば:</p>
<blockquote>
<div>相空間 <img class="math" src="_images/math/5d1e4485dc90c450e8c76826516c1b2ccb8fce16.png" alt="M"/> 上の力学系 <img class="math" src="_images/math/586ea0faa19c8c814fc844a2e69a0bf65f5eabb6.png" alt="f: M \to M"/> がコンパクトな
双曲型不変集合 <img class="math" src="_images/math/2d295c3b71504a216422e5fffdfbad742c7add64.png" alt="\Lambda"/> を持つとき, <img class="math" src="_images/math/2d295c3b71504a216422e5fffdfbad742c7add64.png" alt="\Lambda"/>孤立している,すなわち <img class="math" src="_images/math/2d295c3b71504a216422e5fffdfbad742c7add64.png" alt="\Lambda"/> に孤立近傍が存在するな
らば <img class="math" src="_images/math/2d295c3b71504a216422e5fffdfbad742c7add64.png" alt="\Lambda"/> をマルコフ分割出来ることが知られている.
&#8211; p81</div></blockquote>
<p class="last"><a class="reference internal" href="refs.html#robinson1999">[Robinson1999]</a> (<a class="reference internal" href="refs.html#id4">[ロビンソン2001]</a> の下巻) の VIII.5.1
が参考文献になっていた. マルコフ分割自体は,何次元でも
条件さえ満たせば可能ってことか.</p>
</td></tr>
</tbody>
</table>
<table class="docutils footnote" frame="void" id="id9" rules="none">
<colgroup><col class="label" /><col /></colgroup>
<tbody valign="top">
<tr><td class="label"><a class="fn-backref" href="#id4">[2]</a></td><td><p class="first">実は, <img class="math" src="_images/math/f3e17c000d283d99cf4c9d02a982b79d33d0163a.png" alt="\rho(y)"/> を 自然不変密度 とみなした場合
(この節の後の方でそうなることを示す), <img class="math" src="_images/math/73631a4c969266ef138ffcfa7cc62cb3751cb36d.png" alt="c_j^{(N)} \to \rho(y)"/>
とおくことは間違いである. 正しくは,自然不変密度の定数倍
に収束する, つまり
<img class="math" src="_images/math/4aa704cb480179fc9d1cc8ff69605b84dbfc3686.png" alt="c_j^{(N)} \to \rho(y) \times \text{const.}"/> とおくべきである.
ただし,式 <a href="#equation-re-gene-perron-frobenius-eq">(3)</a> では両辺に
<img class="math" src="_images/math/f3e17c000d283d99cf4c9d02a982b79d33d0163a.png" alt="\rho(y)"/> が出てくるので,この定数倍の違いは
その後の議論に影響を及ぼさない.</p>
<p>Perron-Frobenius の式で求められるのは固有値1に対応する固有関数で
あり,その関数が確率密度であるには,別に規格化の条件が必要だった
ことを思い出せば,これは当然である.</p>
<p>なぜ <img class="math" src="_images/math/f3e17c000d283d99cf4c9d02a982b79d33d0163a.png" alt="\rho(y)"/> を自然不変密度とみなした時に
<img class="math" src="_images/math/73631a4c969266ef138ffcfa7cc62cb3751cb36d.png" alt="c_j^{(N)} \to \rho(y)"/> が正しく無いか?
その議論のために,相空間 <img class="math" src="_images/math/6a47ca0fe7cb276abc022af6ac88ddae1a9d6894.png" alt="X"/> を別の軸で測り直した場合に
何が起こるかを考えてみよう. ここで新しい相空間 <img class="math" src="_images/math/3ead47fb9fb4a4c273feee398f72ff2a09702b84.png" alt="Z"/> は元の
相空間の定数(<img class="math" src="_images/math/9e87f6139f9e102f6c6ee9dec8393daff1e9d24f.png" alt="=A"/>)倍で, <img class="math" src="_images/math/14f348add0a5b53ecb889d7d2d7bc692273fcca5.png" alt="z=Ax"/> (<img class="math" src="_images/math/805adb67e19c27850f15dc11d7cbaf8748f9459e.png" alt="x \in X"/>,
<img class="math" src="_images/math/a027278f665e3510809fb33fd15bd60ece45f21a.png" alt="z \in Z"/>) とする.</p>
<p>この変換では力学系に変化を及ぼさないので, <img class="math" src="_images/math/3ead47fb9fb4a4c273feee398f72ff2a09702b84.png" alt="Z"/> 上の
シリンダーは,元のシリンダーと定数倍だけ位置と大きさが変化する
だけであり, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/> の値は変わらない.</p>
<p>一方, <img class="math" src="_images/math/3ead47fb9fb4a4c273feee398f72ff2a09702b84.png" alt="Z"/> 上の自然不変密度 <img class="math" src="_images/math/fa35d9fc104207e09a712110ac81612c5b279a6c.png" alt="\sigma"/><img class="math" src="_images/math/08e93f3697193dc9ecdc7462cdcec4cf07ce94bb.png" alt="\sigma(z) = \rho(z/A) / A"/> となる (<img class="math" src="_images/math/3ead47fb9fb4a4c273feee398f72ff2a09702b84.png" alt="Z"/> 上で,
<img class="math" src="_images/math/574f50037b0ab544e404c759439b008861f1665e.png" alt="B \rho(z/A)"/> を積分して1となるような <img class="math" src="_images/math/ff5fb3d775862e2123b007eb4373ff6cc1a34d4e.png" alt="B"/> を求めよ).</p>
<p>ところが,
<img class="math" src="_images/math/8eaafa9311c2555cca9c2ffc09ab024ae010720e.png" alt="c_j^{(N)} \to \rho(x)"/><img class="math" src="_images/math/89fd6087839f5d25b6eb92c31da059da4a61bc71.png" alt="c_j^{(N)} \to \sigma(z) = \rho(z/A) / A"/> が両方成り立つ
ことは <img class="math" src="_images/math/f18428217dcd07944b2adbebcafd0978587a770a.png" alt="A=1"/> の場合以外ありえない.
このことから, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/> は自然不変密度の定数倍に収束する
ということが分かる.</p>
<p class="last">また,次のように考えることも出来る <img class="math" src="_images/math/920d76ff898b5f4c18aaae835de2e472405e3133.png" alt="\rho(x)"/>[1/長さ] の次元を持つが, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/> は, 式
<a href="#equation-re-gene-perron-frobenius-eq">(3)</a> を見れば無次元である
ことが分かる (左辺の <img class="math" src="_images/math/3f4bd5d3efbe2041065e5f18823c7cc307e52031.png" alt="\Pseq"/> も右辺の <img class="math" src="_images/math/7d4f52db3f954e14a84ed30b32ce271b7206377a.png" alt="\exp (...)"/>
も無次元である).よって, <img class="math" src="_images/math/b27a916783f6e75bec525e8ea688b3d4e7c8cdb1.png" alt="c_j^{(N)}"/> が単位の変換
(上の <img class="math" src="_images/math/14f348add0a5b53ecb889d7d2d7bc692273fcca5.png" alt="z=Ax"/> に相当) に関して不変であるためには,
<img class="math" src="_images/math/920d76ff898b5f4c18aaae835de2e472405e3133.png" alt="\rho(x)"/> に長さの次元のある定数をかけて無次元化
しなくてはならない.</p>
</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div class="section" id="srb">
<h2>SRB 測度 と 自然不変測度<a class="headerlink" href="#srb" title="Permalink to this headline"></a></h2>
<p>さて, Gibbs 測度 <img class="math" src="_images/math/e65fb3ce55995c08991faa44d2cfbe6c99762181.png" alt="\mu_\beta"/> が不変である条件から <img class="math" src="_images/math/3f4bd5d3efbe2041065e5f18823c7cc307e52031.png" alt="\Pseq"/>
(式 <a href="#equation-gibbs-measure-canonical-prob">(1)</a>) は,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/37b5456c6b4047dfd1bf40c8f5d0d251ab3d1495.png" alt="\Pseq = \mu_\beta(J_j^{(N)}) = A \rho_\beta(\xk[0][j]) \PseqL" /></p>
</div><p>とかけることが分かった. しかし, この式からは Gibbs 測度 <img class="math" src="_images/math/e65fb3ce55995c08991faa44d2cfbe6c99762181.png" alt="\mu_\beta"/>
と対応する密度 <img class="math" src="_images/math/5f78aa2a65a28beb854b9385ad6e39b0ae93ad33.png" alt="\rho_\beta"/> の関係が分かりづらい.
測度と密度ならば</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/9c6191bf394cb26490e16fad4616a941faf49650.png" alt="\mu_\beta(J_j^{(N)}) = \rho_\beta(\xk[0][j]) l_j^{(N)}" /></p>
</div><p>の関係が成り立っているはずである
(ここで, <img class="math" src="_images/math/d4884ba10b103c8dc1e46e0b4cafbb2a434c2442.png" alt="l_j^{(N)} = |J_j^{(N)}|"/> は, <img class="math" src="_images/math/fc97ef67268cd4e91bacdf12b8901d7036c9a056.png" alt="N"/>-シリンダー
<img class="math" src="_images/math/e66a36b723f7bd5ebc39ab9ff8aa41843855af65.png" alt="J_j^{(N)}"/> の長さ.
<a class="reference internal" href="topological-pressure.html#topological-pressure-and-length-scale"><em>幾何的な意味</em></a> 参照).</p>
<p><img class="math" src="_images/math/bd0841c3936bc875fefe9192ca5209033f156466.png" alt="\beta=1"/> の場合にこの関係が成り立つことを示す.</p>
<p>測度が不変であるという条件の無い場合のカノニカル分布</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/d0a3b221f5ffd60ae0eecd830ec7a8eb58c51c02.png" alt="\PseqL = \exp \left( - N \Ftop(\beta) - \beta N E_N(\xk[0][j]) \right)" /></p>
</div><p>は, <img class="math" src="_images/math/587deaa115238bac53970a4d6e0a68e303834080.png" alt="N \to \infty"/></p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/6c9765b9a6765f108f3e72b4624dfdcfbd8a5b9b.png" alt="\PseqL = \frac{\pob{l_j^{(N)}}}{\sum_{j'} \pob{l_{j'}^{(N)}}}" /></p>
</div><p>と近似出来たことを思い出そう (<a class="reference internal" href="topological-pressure.html#appendix-pseq-scale-l"><em>補足: 位相圧力のカノニカル分布のシリンダー長による近似</em></a> 参照).
この近似を用いれば,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/86f29b839670981912d65af15fbec3bae01d0f73.png" alt="\Pseq = A \rho_\beta(\xk[0][j])
\frac{\pob{l_j^{(N)}}}{\sum_{j'} \pob{l_{j'}^{(N)}}}" /></p>
</div><p>とかける. 規格化条件</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/886528b6a3df43c668c811de0b47e35bea333676.png" alt="\sum_j \Pseq = 1" /></p>
</div><p>から <img class="math" src="_images/math/bd0841c3936bc875fefe9192ca5209033f156466.png" alt="\beta=1"/> の場合の定数 <img class="math" src="_images/math/019e9892786e493964e145e7c5cf7b700314e53b.png" alt="A"/> を求めると,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/b0d9b2fc78b789483f1ee650bd37f6bb8e2895a9.png" alt="A =
\frac{\sum_{j'} l_{j'}^{(N)}}
{\sum_j \rho_\beta(\xk[0][j]) l_j^{(N)}}
= \sum_{j'} l_{j'}^{(N)}" /></p>
</div><p>となる. ここで,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/f064ee6e4b7e9c3f52b5dc183134c1bc10536b8a.png" alt="\sum_j \rho_\beta(\xk[0][j]) l_j^{(N)} \simeq \int \rho_\beta(x) dx = 1" /></p>
</div><p>を用いた. よって, <img class="math" src="_images/math/bd0841c3936bc875fefe9192ca5209033f156466.png" alt="\beta=1"/> の場合,</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/17c92287568d6b46f76d99fbff2e41931a428bed.png" alt="\Pseq = \mu_1(J_j^{(N)}) = \rho_1(\xk[0][j]) l_j^{(N)}" /></p>
</div><p>が成り立つことが分かる. つまり, SRB 測度 と 自然不変測度 は一致する.</p>
</div>
</div>


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  <h3><a href="index.html">Table Of Contents</a></h3>
  <ul>
<li><a class="reference internal" href="#">Gibbs 測度 と SRB 測度</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#perron-frobenius">Perron-Frobenius 演算子との関係</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#srb">SRB 測度 と 自然不変測度</a></li>
</ul>
</li>
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