¿Qué es un conjunto?

Es una colección de objetos en la cual siempre es posible determinar
si un objeto hace parte o no de la colección.


¿Cómo se pregunta si un objeto hace parte de un conjunto?

Para ello se utiliza el símbolo de la pertenencia \in (épsilon).  Dado
un objeto o y un conjunto X, se pregunta por la pertenencia de o a X
de la siguiente manera:

  o \in X

Cuando un objeto o hace parte de un conjunto X, se dice que o es
elemento de X.


¿Cómo se escriben o denotan los conjuntos?

Para denotar un conjunto se usan los corchetes { y }. Hay varios
estilos de escritura:

  - Enumeración:

     { o1, o2, o3 }

     { o1, o2, o3, ... }

  - Comprensión:

      { x | "tales que x ..." }


  Ejemplos

  (1)  { }                    (Conjunto vacío)

  (2)  { 0, 1, 2, 3 }         (Colección con 0, 1, 2 y 3)
  
  (3)  { 0, 1, 2, 3, ... }    (Colección de los números naturales)

  (4)  { x |  0 <= x <= 3 }   (La misma colección (2))

  (5)  { 2, 4, 6, 8, ... }    (Los números naturales pares sin el cero)

  (6)  { z | "z es par" y "z es impar" }
                              (La misma colección (1))

  (7)  { { } }                (La colección que contiene al conjunto vacío)

  (8)  { { }, a }             (La colección con los elementos {} y a)

  (9)  { 5, 5 }               (El conjunto { 5 })


  Comparaciones

  (1)  ¿ { 5, 5 } = { 5, { 5 } } ?      (no, son distintos: los agrupamientos
                                         importan)

  (2)  ¿ { 4, { 4 } } = { { 4 }, 4 } ?  (si, son iguales: el orden no importa)

  (3)  ¿ { 3 } = { 3, 3 } ?             (si, son iguales: las repeticiones no
                                         importan)


  Consultas

  (1) ¿ 5 \in { 5 } ?               (si)

  (2) ¿ 5 \in { { 5 } } ?           (no)

  (3) ¿ { 5 } \in { { 5 } } ?       (si)


Operaciones

  (*) Unión

      Dados dos conjuntos A,B, denotamos su unión como

        A u B

      Si C = A u B  y queremos saber si x \in C, basta
      con saber x \in A  o  x \in B.


  (*) Intersección

      Dados dos conjuntos A,B, denotamos su intersección como

        A n B

      Si C = A n B y queremos saber si x \in C, basta
      con saber x \in A  y  x \in B.


  (*) Diferencia

      Dados dos conjuntos A,B, denotamos la diferencia de
      A con B como

        A \ B

     Si C = A \ B y queremos saber si x \in C, basta con
     saber si x \in A y x \notin B


  Ejemplos

  (1) Si A = { 2 } y B = { 2, 3 }, entonces

      A u B = { 2, 3 }

      A n B = { 2 }

      A \ B = { }

      B \ A = { 3 }

  (2) Si A = { 2, 3, 4 } y B = { a, b }, entonces

      A u B = { 2, 3, 4, a, b }

      A n B = { }

      A \ B = { 2, 3, 4 }

      B \ A = { a, b }

  (3) Si A es un conjunto, entonces

      A u { } = A.   ¿Por qué? La razón es que el conjunto vacío no
                     aporta ningún elemento a la unión con
                     A. Entonces, un elemento está en A u { }
                     únicamente cuando está en A (y viceversa).

      A n { } = { }  ¿Por qué? La razón es que el conjunto vacío no
                     tiene elementos. Entonces, es imposible que haya
                     elementos en común entre el conjunto vacío y
                     cualquier conjunto.

      A \ { } = A

      { } \ A = { }

  (4) Si

        A = { x | "x es un número natural" y "x es par" }

      y

        B = { x | "x es un número natural" y "x es impar" },

      entonces A u B es el conjunto de todos los números naturales.
      ¿Por qué? La razón es porque cualquier número natural al ser
      divido entre 2 deja residuo 0 (par) o 1 (impar). Entonces, dado
      cualquier número natural x se tiene que x \in A o x \in
      B. Consecuentemente, x \in A u B.

      A su vez, A n B es el conjunto vacío porque, como se explica
      anteriormente, no hay un número natural alguno que sea par e
      impar a la vez.

      Como A y B no cmparten elementos, se tiene que A \ B = A  y
      B \ A = B.

   
Propiedades

  (*) Inclusión

      Dados dos conjuntos A,B, denotamos la inclusión de A
      en B como

        A c= B

      La comparación A c= B es cierta cuando cualquier elemento de A
      es un elemento de B. En otras palabras, si A c= B, entonces es
      imposible que algún elemento de A no sea elemento de B. Cuando A
      c= B es cierto, decimos que A está incluído en B o que A es
      subconjunto de B.

  (*) Igualdad

      Dados dos conjuntos A,B, denotamos la igualdad de A y B como se
      estableció anteriormente

        A = B

      La comparación A = B es cierta cuando A y B tienen los mismos
      elementos. Entonces es falsa, si hay al menos un elemento de A
      que no esté en B o si hay al menos un elemento de B que no está
      en A.

      Hay una relación muy importante entre la igualdad y la inclusión.
      Es muy común razonar sobre la igualdad de conjuntos con base en
      la inclusión, de la siguiente manera:

        A = B    si y solo si     A c= B  y  B c= A

      Dada esta equivalencia de propiedades, si se logra establecer
      que A es subconjunto de B y también que B es subconjunto de A,
      entonces necesariamente A y B son iguales.

      ¿Por qué si A y B son iguales se cumplen las dos inclusiones?

  (*) Cardinalidad

      Dado un conjunto A finito, denotamos su cardinalidad (o
      cantidad de elementos) como

        card(A)

      Para poder referirse a la cardinalidad de un conjunto, por lo
      menos en el caso de este curso, dicho conjunto debe ser finito.
      Intuitivamente, un conjunto es finito cuando no se pueden
      "eliminar" indefinidamente y uno a uno elementos de este.

      En los textos y artículos es común encontrar que la cardinalidad
      de un conjunto A también se escribe como | A |.


  Ejemplos

  (1) Si Si A = { 2 } y B = { 2, 3 }, entonces

      A c= B    es cierto

      B c= A    es falso

      A = B     es falso porque falla  B c= A  a pesar de que  A c= B  es cierto

      card(A) = 1

      card(B) = 2

  (2) Si A = { 2, 3, 4 } y B = { a, b }, entonces

      A c= B    es falso

      B c= A    es falso

      A = B     es falso

      card(A) = 3

      card(B) = 2

  (3) Si A es un conjunto, entonces

      { } c= A  es cierto

      A c= { }  es cierto únicamente si A = { }. La razón es que si A tiene al menos
                un elemento, dicho elemento no está { }. Entonces, el único conjunto
                que es subconjunto de { } es aquel que no tiene elementos, es decir,
                el conjunto vacío.

      A c= { }  es cierto únicamente si A = { }. ¿Por qué?

      card(A)   solo tiene sentido escribirlo cuando A es finito

  (4) Si

        A = { x | "x es un número natural" y "x es par" }

      y

        B = { x | "x es un número natural" y "x es impar" },

      entonces:

      A c= B    es falso. ¿Por qué?

      B c= A    es falso. ¿Por qué?

      A = B     es falso. ¿Por qué?

      card(A)   no tiene sentido como expresión porque A no es finito.

      card(B)   no tiene sentido como expresión porque B no es finito.

  (5) Como { } no tiene elementos, su cardinalidad es 0, es decir, card({ }) = 0.